數(shù)列不等式的證明
[核心提煉]
數(shù)列不等式的證明問題能有效地考查學生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力．與數(shù)列有關的不等式除利用數(shù)學歸納法證明外，還可以借助以下方法：若所證數(shù)列不等式能夠轉化為函數(shù)，可借助函數(shù)的單調性證明；若所證數(shù)列不等式兩邊均是整式多項式，可以借助比較法；若所證數(shù)列能夠求和，且所證不等式與和式有關，可先求出其和，再借助放縮法證明．
[典型例題]
已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
證明：當n∈N*時，
(1)00.
假設n＝k時，xk>0，
那么n＝k＋1時，若xk＋1≤0時，則00.
因此xn>0(n∈N*)．
所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.
因此00)，
函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，
故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)因為xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以xn≥.
由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，
故xn≤.
綜上，≤xn≤(n∈N*)．

證明數(shù)列不等式常用的四種方法
(1)構造函數(shù)，結合數(shù)列的單調性證明．
(2)若待證不等式的兩邊均為關于n的整式多項式，常用作差比較法證明數(shù)列不等式．
(3)與數(shù)列前n項和有關的不等式的證明方法主要有兩種：一是若數(shù)列的通項能夠直接求和，則先求和后，再根據(jù)和的性質證明不等式；二是若數(shù)列的通項不能夠直接求和，則先放縮后再求和證明．
(4)當待證不等式隨n的變化呈現(xiàn)的規(guī)律較明顯，且初始值n0易于確定時，用數(shù)學歸納法證明．　
[對點訓練]
1．設數(shù)列{an}滿足≤1，n∈N*.
(1)證明：|an|≥2n－1(|a1|－2)，n∈N*；
(2)若|an|≤，n∈N*，證明：|an|≤2，n∈N*.
證明：(1)由≤1，得
|an|－|an＋1|≤1，故－≤，n∈N*，
所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＜1，
因此|an|≥2n－1(|a1|－2)．
(2)任取n∈N*，由(1)知，對于任意m＞n，
－＝＋＋…＋
≤＋＋…＋＜，
故|an|＜·2n≤·2n
＝2＋·2n.
從而對于任意m＞n，均有|an|＜2＋·2n.①
由m的任意性得|an|≤2.
否則，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整數(shù)m0＞log且m0＞n0，則2n0·＜2n0·
＝|an0|－2，與①式矛盾，
綜上，對于任意n∈N*，均有|an|≤2.
2．已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，an＝－.
(1)求證：≤an≤1；
(2)求證：|an＋1－an|≤.
證明：(1)由已知得an＋1＝，計算a2＝，a3＝，a4＝，猜想≤an≤1.
下面用數(shù)學歸納法證明．
①當n＝1時，命題顯然成立；
②假設n＝k時，有≤an≤1成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝≤＜1，
ak＋1＝≥＝，即當n＝k＋1時也成立，
所以對任意n∈N*，都有≤an≤1.
(2)當n＝1時，|a1－a2|＝，
當n≥2時，因為(an＋)(an－1＋)＝(an＋)·＝1＋≥1＋＝，
所以|an＋1－an|＝
＝≤|an－an－1|
≤…≤|a2－a1|＝·1，則(　　)
A．a1a4
(2)已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
①求數(shù)列{xn}的通項公式；
②如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，…，Pn＋1(xn＋1, n＋1)得到折線P1 P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn.

【解】　(1)選B.法一：因為ln x≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，
所以－10，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，
所以－160n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n60n＋800成立，n的最小值為41.
綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的n；
當an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.

要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象是否存在或某一結論是否成立，“是否存在”的問題的命題形式有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需要說明理由．這類問題常用“肯定順推”的方法．　
[對點訓練]
數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常數(shù)．
(1)當a2＝－1時，求λ及a3的值；
(2)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由．
解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，
所以當a2＝－1時，得－1＝2－λ，故λ＝3.
從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列，理由如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)·(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}為等差數(shù)列，則a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
這與{an}為等差數(shù)列矛盾，所以，對任意λ，{an}都不可能是等差數(shù)列．
專題強化訓練
1．(2019·臺州市高三期末考試)在正項數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且滿足an＋1＝2an－(n∈N*)．
(1)求a2，a3；
(2)證明：an≥()n－1.
解：(1)因為在正項數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝2an－(n∈N*)，
所以a2＝2×1－＝，
a3＝2×－＝.
(2)證明：①當n＝1時，由已知a1＝1≥()1－1＝1，不等式成立；
②假設當n＝k時，不等式成立，即ak≥()k－1，
因為f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以ak＋1＝2ak－≥2()k－1－
＝()k＋()k－
＝()k＋
＝()k＋，
因為k≥1，所以2×()k－3≥2×－3＝0，
所以ak＋1≥()k，
即當n＝k＋1時，不等式也成立．
根據(jù)①②知不等式對任何n∈N*都成立．
2．(2019·嘉興調研)已知Sn為各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和，a1∈(0，2)，a＋3an＋2＝6Sn.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對任意的n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實數(shù)t的最大值．
解：(1)當n＝1時，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6a1，即a－3a1＋2＝0.
又a1∈(0，2)，解得a1＝1.
由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1.
兩式相減，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.
由于an＞0，可得an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，
所以{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由an＝3n－2 ，可得
bn＝＝
＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
因為Tn＝＝－隨著n的增大而增大，所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，
所以t≤4Tn?≤Tn?≤T1＝?t≤1，所以實數(shù)t的最大值是1.
3．(2019·金華模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1an＝2an＋1－1(n∈N*)，令bn＝an－1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝，求證：c1＋c2＋…＋cn0時，x＋y≥2，＋≥2，
所以(x＋y)≥4，
所以＋≥，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，上述(*)式中，k>7，n>0，n＋1，n＋2，…，nk－1全為正，所以2S>＋＋＋…＋＝，
所以S>>＝2
>2＝，得證．
7．(2019·寧波市諾丁漢大學附中高三期中考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a＋2an，n∈N*，設bn＝log2(an＋1)．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求證：1＋＋＋…＋＜n(n≥2)；
(3)若2cn＝bn，求證：2≤()n＜3.
解：(1)由an＋1＝a＋2an，則an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，
由a1＝3，則an＞0，兩邊取對數(shù)得到
log2(an＋1＋1)＝log2(an＋1)2＝2 log2(an＋1)，即bn＋1＝2bn.
又b1＝log2(a1＋1)＝2≠0，
所以{bn}是以2為公比的等比數(shù)列．
即bn＝2n.
又因為bn＝log2(an＋1)，
所以an＝22n－1.
(2)證明：用數(shù)學歸納法證明：①當n＝2時，左邊為1＋＋＝＜2＝右邊，此時不等式成立；
②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立，
則當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋＜k＋＋＋…＋2k個,＜k＋1＝右邊，
所以當n＝k＋1時，不等式成立．
綜上可得：對一切n∈N*，n≥2，命題成立．
(3)證明：由2cn＝bn得cn＝n，
所以()n＝()n＝(1＋)n，
首先(1＋)n＝C＋C＋C＋…＋
C＋…＋C≥2，
其次因為C＝＜≤＝－(k≥2)，
所以(1＋)n＝C＋C＋C＋…＋
C＋…＋C，
＜1＋1＋1－＋－＋…＋－＝3－＜3，
當n＝1時顯然成立．所以得證．
8．數(shù)列{an}滿足a1＝，an＝(n≥2，n∈N)．
(1)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(2)設bn＝ansin，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：對任意的n∈N*，Tn＜.
解：(1)an＝?＝＝(－1)n－，
所以＋(－1)n＝2·(－1)n－?所以＋(－1)n＝(－2)·，
所以為公比是－2的等比數(shù)列．
(2)證明：＋(－1)1＝3，由(1)可得
＋(－1)n＝·(－2)n－1＝3·(－2)n－1，
所以an＝.
而sin＝(－1)n－1，
所以bn＝an·sin＝＝，所以bn＝＜，
當n≥3時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜(b1＋b2)＋＋＋…＋
＝＋＋＜＋＋＝＜.
因為{bn}為正項數(shù)列，所以T1＜T2＜T3＜…＜Tn，
所以n∈N*，Tn＜.


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