第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
[核心提煉]
1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d.
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝＝(q≠1)．
[典型例題]
(1)(2019·嘉興市高考一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2019·浙江名校協(xié)作體高三下學(xué)期考試)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，則a1＝________，公比q＝________．
【解析】　(1)設(shè)公差為d，則＝，d＝a1，
所以＝＝，故選A.
(2)由Sn＋3＝8Sn＋3，則Sn＋2＝8Sn－1＋3，
兩式相減得，an＋3＝8an?anq3＝8an，則q3＝8?q＝2，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，＝8·＋3，
即2n＋3a1－a1＝8·2na1－8a1＋3，
從而解得a1＝.
【答案】　(1)A　(2)　2

關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過(guò)其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)造關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決，如果所給出的是遞推關(guān)系式，可通過(guò)將遞推關(guān)系式變形，構(gòu)造出滿足等差(等比)數(shù)列定義的新數(shù)列，然后再按等差(等比)數(shù)列進(jìn)行基本運(yùn)算．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·溫州瑞安七中高考模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝(　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
解析：選A.由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
兩式相減得：an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
則an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，
得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后，為首項(xiàng)是3，公比為4的等比數(shù)列，
所以an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)，
a6＝3×44，故選A.
2．(2019·名校新高考研究聯(lián)盟)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈(　　)
A．186盞 B．189盞
C．192盞 D．96盞
解析：選C.設(shè)塔的底層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x，公比為的等比數(shù)列.＝381，解得x＝192.
3．(2019·紹興市柯橋區(qū)高三期中考試)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn和2的等比中項(xiàng)等于an和2的等差中項(xiàng)，則a1＝________，Sn＝________．
解析：由題意知＝，
平方可得Sn＝，①
由a1＝S1得＝，
從而可解得a1＝2.
又由①式得Sn－1＝(n≥2)，②
①－②可得an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，
整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，
所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.
故數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，
所以Sn＝2n＋×4＝2n2.
當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2.
故Sn＝2n2.
答案：2　2n2
4．(2019·杭州市學(xué)軍中學(xué)高三模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0，前n項(xiàng)和為Sn，若2a3，a5，3a4成等差數(shù)列，a2a4a6＝64，則q＝________，Sn＝________．
解析：由2a3，a5，3a4成等差數(shù)列得2a5＝2a3＋3a4?2q2＝2＋3q?q＝2(負(fù)舍)，a2a4a6＝64?a＝64?a4＝4?a1＝＝，Sn＝＝.
答案：2　

等差、等比數(shù)列的判定與證明
[核心提煉]
1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法
(1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)；
(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
2．證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法
(1)利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)；
(2)利用等比中項(xiàng)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)．
[典型例題]
(1)如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　)

A．{Sn}是等差數(shù)列　　　　　 B．{S}是等差數(shù)列
C．{dn}是等差數(shù)列 D．em8mkk4是等差數(shù)列
(2)(2019·溫州市高考二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
①求a4的值；
②證明：為等比數(shù)列；
③求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】　(1)選A.由題意，過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分別作直線B1Bn＋1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差數(shù)列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|為定值，所以{Sn}是等差數(shù)列．故選A.
(2)①當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5＝8＋1，
解得：a4＝.
②證明：因?yàn)?Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，
因?yàn)?a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1，
因?yàn)椋剑?br /> ＝＝.
所以數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；
③由②知，是以a2－a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以an＋1－an＝.
即－＝4，
所以是以＝2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
所以＝2＋(n－1)×4＝4n－2，即an＝(4n－2)×＝(2n－1)×，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(2n－1)×.

(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法，但不作為證明方法．
(2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可．
(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·金華十校高考模擬)已知a，b為實(shí)常數(shù)，{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列，直線ax＋by＋ci＝0與拋物線y2＝2px(p>0)均有兩個(gè)交點(diǎn)，所成弦的中點(diǎn)為Mi(xi，yi)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A．?dāng)?shù)列{xi}可能是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{yi}是常數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{xi}可能是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{xi＋yi}可能是等比數(shù)列
解析：選C.由直線ax＋by＋ci＝0，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，直線by＋ci＝0與拋物線y2＝2px(p>0)僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，直線ax＋ci＝0，化為：
x＝－，則xi＝－，yi＝0，xi＋yi＝－，
由{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列，可得{xi}是等比數(shù)列，{xi＋yi}是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列．
當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，直線ax＋by＋ci＝0化為：x＝－y－，代入拋物線y2＝2px(p>0)，所以y2＋y＋＝0.
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：
Mi，即yi＝－，{yi}是常數(shù)列，是等比數(shù)列，是等差數(shù)列．
綜上可得：A，B，D都有可能，只有C不可能．故選C.
2．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．
解：(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)可得

解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2[－＋
(－1)n]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．

數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
[核心提煉]
1.

等差數(shù)列
等比數(shù)列
性
質(zhì)
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
則am＋an＝ap＋aq；
(2)an＝am＋(n－m)d；
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列
(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
則am·an＝ap·aq；
(2)an＝amqn－m；
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(q≠－1)
2.遞增(減)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，即an>an－1(n≥2)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，即an0且a1>0”是“數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
【解析】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0.
Sn＝na1＋d＝n2＋n
＝－，
因?yàn)閿?shù)列{Sn}單調(diào)遞增，
所以d>0，≤1，
可得d＋2a1≥0.
由a2>0且a1>0，可得a2＝a1＋d>0.
所以“a2>0且a1>0”是“數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件．
(2)設(shè){an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，則a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
【答案】　(1)D　(2)64

等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略
(1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．
(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．
(3)利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，要利用整體思想(如本例(2))，可以減少計(jì)算量，此方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問題．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2019·麗水市高考數(shù)學(xué)模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，下列結(jié)論一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)1＋a3≥2a2　　　　　　 B．a(chǎn)1＋a3≤2a2
C．a(chǎn)1S3>0 D．a(chǎn)1S30，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，a1(a1＋a2＋a3)＝a1(a1＋a1q＋a1q2)＝a(1＋q＋q2)，因?yàn)榈缺葦?shù)列的項(xiàng)不為0，故a>0，而1＋q＋q2＝＋>0，故a(1＋q＋q2)>0，故C正確．
2．設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，－0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－0，所以前8項(xiàng)和為前n項(xiàng)和的最小值，故選C.
5．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，a3a5＝4，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．{an}是單調(diào)遞減數(shù)列 B．{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列
C．{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列 D．{S2n}是單調(diào)遞減數(shù)列
解析：選C.由于{an}是等比數(shù)列，則a3a5＝a＝4，又a2＝12，則a4＞0，a4＝2，q2＝，當(dāng)q＝－時(shí)，{an}和{Sn}不具有單調(diào)性，選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；a2n＝a2q2n－2＝12×單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；當(dāng)q＝－時(shí)，{S2n}不具有單調(diào)性，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
6．(2019·溫州市高考數(shù)學(xué)模擬)已知{an}是等差數(shù)列，其公差為非零常數(shù)d，前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)，Tn有最大值，則的取值范圍是(　　)
A.
B．(－3，＋∞)
C.
D．(－∞，－3)∪
解析：選C.因?yàn)椋絥＋(a1－)，由題意知d

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