知識點 用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二


次方程


1．解：6x2－x－1＝0


eq \(――→,\s\up7(兩邊同時除以6),\s\d5(第一步))x2－eq \f(1,6)x－eq \f(1,6)＝0


eq \(――→,\s\up7(移項),\s\d5(第二步))x2－eq \f(1,6)x＝eq \f(1,6)


eq \(――→,\s\up7(配方),\s\d5(第三步))(x－eq \f(1,9))2＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)


eq \(――→,\s\up7(兩邊開方),\s\d5(第四步))x－eq \f(1,9)＝±eq \r(\f(5,18))


eq \(――→,\s\up7(移項),\s\d5(第五步))x1＝eq \f(1,9)＋eq \f(\r(10),6)，x2＝eq \f(1,9)－eq \f(\r(10),6).


上述步驟中，發(fā)生第一次錯誤是在( )


A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步


2．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，則方程可變形為( )


A．(x－3)2＝eq \f(1,3) B．3(x－1)2＝eq \f(1,3)


C．(x－1)2＝eq \f(2,3) D．(3x－1)2＝1


3．方程2x2＋3＝7x，經(jīng)配方后得(x－eq \f(7,4))2＝________．


4．將2x2－12x－12＝0變形為(x－m)2＝n的形式，則m＋n＝________．


5．當x＝________時，代數(shù)式3x2＋2x＋5的值是6.


6．用配方法解下列方程：


(1)3x2＋4x－4＝0；

















(2)2x2＋1＝4x.


























7．如果一個一元二次方程的二次項是2x2，經(jīng)過配方整理得(x＋eq \f(1,2))2＝1，那么它的一次項和常數(shù)項分別是( )


A．x，－eq \f(3,4) B．2x，－eq \f(1,2)


C．2x，－eq \f(3,2) D．x，－eq \f(3,2)


8．2016·貴陽期末已知等腰三角形兩邊a，b滿足a2＋b2－4a－10b＋29＝0，則此等腰三角形的周長為( )


A．9 B．10 C．12 D．9或12


9．把方程3x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，則m＝________，k＝________．


10．已知a，b，c是△ABC的三條邊長，且滿足a2＋2b2－2ab－2bc＋c2＝0，則該三角形是________三角形．


11．證明：關于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不論a為何值，該方程都是一元二次方程．




















12．已知代數(shù)式A＝2m2＋3m＋7，代數(shù)式B＝m2＋5m＋5，試比較代數(shù)式A與B的大?。?br/>



















13．已知x＝4滿足方程x2－eq \f(3,2)mx＝m2，試求出所有滿足該方程的x和m的值．
































14．教材習題2.4第3題變式題如圖2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2 cm/s的速度移動．點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動．


(1)經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ的面積為8 cm2?


(2)經(jīng)過幾秒鐘，P，Q兩點間的距離為eq \r(53) cm?





圖2－2－2

















15．請你參考黑板中老師的講解，完成下列解答：





圖2－2－3


(1)通過上面例題的講解可知，當x＝________時，代數(shù)式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．


(2)對于代數(shù)式x4－2x2＋5，先用配方法說明不論x為何實數(shù)，這個代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當x為何實數(shù)時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是多少．


(3)設一個邊長為a(a＞3)的正方形的面積為S1，另一個矩形的面積為S2.若矩形的一邊長比該正方形的邊長小3，另一邊長為4，試比較S1和S2的大小，并說明理由．





























詳解


1．C [解析] 開始錯誤的步驟是第三步：(x－eq \f(1,9))2＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)，等號左邊括號內(nèi)eq \f(1,9)應為eq \f(1,12)，等號右邊的eq \f(1,9)應為eq \f(1,144).故選C.


2．C 3.eq \f(25,16) 4.18


5．－1或eq \f(1,3) [解析] 解方程3x2＋2x＋5＝6即可．


6．解：(1)方程的各項都除以3，


得x2＋eq \f(4,3)x－eq \f(4,3)＝0.


移項，得x2＋eq \f(4,3)x＝eq \f(4,3).


配方，得x2＋eq \f(4,3)x＋(eq \f(2,3))2＝eq \f(4,3)＋(eq \f(2,3))2，


即(x＋eq \f(2,3))2＝eq \f(16,9).


直接開平方，得x＋eq \f(2,3)＝±eq \f(4,3)，


∴x1＝eq \f(2,3)，x2＝－2.


(2)移項，得2x2－4x＝－1，


方程的各項都除以2，得x2－2x＝－eq \f(1,2)，


配方，得x2－2x＋1＝1－eq \f(1,2)，


即(x－1)2＝eq \f(1,2)，


直接開平方，得x－1＝±eq \f(\r(2),2)，


∴x1＝eq \f(2＋\r(2),2)，x2＝eq \f(2－\r(2),2).


7．C [解析] 將(x＋eq \f(1,2))2＝1展開，得x2＋x＋eq \f(1,4)＝1.化為一般形式，得x2＋x－eq \f(3,4)＝0.方程x2＋x－eq \f(3,4)＝0兩邊同乘2，得2x2＋2x－eq \f(3,2)＝0.故選C.


8．C [解析] ∵a2＋b2－4a－10b＋29＝0，


∴(a2－4a＋4)＋(b2－10b＋25)＝0，


∴(a－2)2＋(b－5)2＝0，


∴a＝2，b＝5，


∴當腰為5時，等腰三角形的周長為5＋5＋2＝12；


當腰為2時，2＋2＜5，構不成三角形．


故選C.


9.eq \f(2,3) eq \f(7,9)


10．等邊


11．證明：因為a2－8a＋20＝a2－8a＋16＋4＝(a－4)2＋4≥4，所以不論a為何值，a2－8a＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定義可知，關于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0必為一元二次方程．


12．解：∵A－B＝2m2＋3m＋7－(m2＋5m＋5)＝


m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，


∴A>B.


13．解：把x＝4代入已知方程，得16－6m＝m2，


整理，得m2＋6m＝16，


配方，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋3))eq \s\up12(2)＝25，


解得m1＝－8，m2＝2.


當m＝－8時，方程為x2＋12x＝64，解得x＝4或x＝－16；


當m＝2時，方程為x2－3x＝4，解得x＝4或x＝－1.


14．解：(1)設經(jīng)過x s，△PBQ的面積為8 cm2.


由題意，得eq \f(1,2)(6－x)×2x＝8，


解得x1＝2，x2＝4.


所以經(jīng)過2 s或4 s，△PBQ的面積為8 cm2.


(2)設經(jīng)過y s，P，Q兩點間的距離為eq \r(53) cm.


由題意得AP＝y(tǒng) cm，BQ＝2y cm，BP＝(6－y)cm.


由勾股定理得(6－y)2＋(2y)2＝(eq \r(53))2，


解得y1＝3.4，y2＝－1(不合題意，舍去)．


所以經(jīng)過3.4 s，P，Q兩點間的距離為eq \r(53) cm.


15．解：(1)∵x2＋2x＋3＝x2＋2x＋1＋2＝(x＋1)2＋2，


∴當x＝－1時，代數(shù)式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是2.


故答案為：－1，2.


(2)x4－2x2＋5


＝x4－2x2＋1＋4


＝(x2－1)2＋4，


∵(x2－1)2≥0，


∴(x2－1)2＋4＞0，


∴代數(shù)式x4－2x2＋5的值一定是正數(shù)．


當x＝±1時，這個代數(shù)式的值最小，最小值是4.


(3)S1＞S2.理由如下：由題意，得S1＝a2，S2＝4(a－3)＝4a－12，


則S1－S2＝a2－(4a－12)＝a2－4a＋12＝(a－2)2＋8.


∵(a－2)2＞0，∴(a－2)2＋8＞0，


∴S1－S2＞0，∴S1＞S2.


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2 用配方法求解一元二次方程

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