（山東專用）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案（含解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第一講　數(shù)列的概念與簡單表示法
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識梳理·雙基自測

知識點(diǎn)一　數(shù)列的有關(guān)概念
概念
含義
數(shù)列
按照__一定順序__排列的一列數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)
數(shù)列中的__每一個數(shù)__
數(shù)列的通項(xiàng)
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an
通項(xiàng)公式
數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式__an＝f(n)__表達(dá)，這個公式叫做數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
前n項(xiàng)和
數(shù)列{an}中，Sn＝__a1＋a2＋…＋an__叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
知識點(diǎn)二　數(shù)列的表示方法
列表法
列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系
圖象法
把點(diǎn)__(n，an)__畫在平面直角坐標(biāo)系中
公
式
法
通項(xiàng)
公式
把數(shù)列的通項(xiàng)使用__公式__表示的方法
遞推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法
知識點(diǎn)三　an與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
則an＝
知識點(diǎn)四　數(shù)列的分類

1．?dāng)?shù)列與函數(shù)
數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量__從小到大__依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是__一群孤立的點(diǎn)__.
2．常見數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)自然數(shù)列：1,2,3,4，…，an＝n.
(2)奇數(shù)列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.
(3)偶數(shù)列：2,4,6,8，…，an＝2n.
(4)平方數(shù)列：1,4,9,16，…，an＝n2.
(5)2的乘方數(shù)列：2,4,8,16，…，an＝2n.
(6)乘積數(shù)列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)．
(7)正整數(shù)的倒數(shù)列：1，，，，…，an＝.
(8)重復(fù)數(shù)串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1.
(9)符號數(shù)列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.

題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列命題正確的是(　BD　)
A．所有數(shù)列的第n項(xiàng)都可以用公式表示出來
B．依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個
C．若an＋1－an>0(n≥2)，則函數(shù){an}是遞增數(shù)列
D．如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
[解析]　對于A，因?yàn)閿?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，如我班某次數(shù)學(xué)測試成績，按考號從小到大的順序排列，這個數(shù)列肯定沒有通項(xiàng)公式，所以錯誤．
對于B，比如數(shù)列1,0,1,0，……的通項(xiàng)公式為：an＝或an＝或an＝，所以正確．
對于C，因?yàn)閚＝1時，a2與a1不確定大小關(guān)系．
對于D，由數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可知，當(dāng)n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，所以正確．故選B、D．
題組二　走進(jìn)教材
2．(必修5P31T4改編)數(shù)列0，－，，－，…的一個通項(xiàng)公式是an＝(　A　)
A．(－1)n＋1·　　 B．(－1)n·
C．(－1)n－1·　　 D．(－1)n·
[解析]　奇數(shù)項(xiàng)符號為正，偶數(shù)項(xiàng)符號為負(fù)，故用(－1)n－1或(－1)n＋1調(diào)節(jié)，變?yōu)椋^察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分子項(xiàng)數(shù)的是立方數(shù)減1，分母是項(xiàng)數(shù)的平方數(shù)加1，故得an＝(－1)n＋1·.故選A．
3．(必修5P33A組T4改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
4．(必修5P33A組T5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an＝__5n－4__.

題組三　考題再現(xiàn)
5．(2019·浙江，4分)設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝a＋b，n∈N*，則(　A　)
A．當(dāng)b＝時，a10>10
B．當(dāng)b＝時，a10>10
C．當(dāng)b＝－2時，a10>10
D．當(dāng)b＝－4時，a10>10
[解析]　當(dāng)b＝時，因?yàn)閍n＋1＝a＋，所以a2≥，又an＋1＝a＋≥an，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10>a≥32>10.當(dāng)b＝時，an＋1－an＝(an－)2，故a1＝a＝時，a10＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4時，均存在小于10的數(shù)x0，只需a1＝a＝x0，則a10＝x010不成立．所以選A．
6．(2018·全國卷Ⅰ，5分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝__－63__.
[解析]　方法一：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
當(dāng)n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
當(dāng)n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
方法二：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動探究
考點(diǎn)一　由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式——自主練透
例1　根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5555，…；
(5)－1，，－，，－，，….
[解析]　(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用(－1)n調(diào)節(jié)，觀察各項(xiàng)的絕對值，后一項(xiàng)的絕對值總比它前一項(xiàng)的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(2)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積．故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝.
(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝.
(4)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)．
(5)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因式(－1)n；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可寫為an＝
名師點(diǎn)撥　?
由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略
(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等．
(2)具體策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項(xiàng)的變化特征；
③拆項(xiàng)后的特征；
④各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征；
⑤化異為同．對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；
⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理．
注意：并不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式，有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式也不一定唯一．
考點(diǎn)二　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式——多維探究
角度1　已知Sn求an問題
例2　(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝__2n－11__.
(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝____.
[解析]　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1－10＝－9；
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.
當(dāng)n＝1時，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.
故填2n－11.
(2)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21＋1＝3；
當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
綜上有an＝
故填
角度2　Sn與an的關(guān)系問題
例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝__(－)n－1__.
[解析]　當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1＝1，公比q＝－的等比數(shù)列，故an＝(－)n－1.　
名師點(diǎn)撥　?
Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
已知Sn求an的一般步驟
(1)當(dāng)n＝1時，由a1＝S1，求a1的值．
(2)當(dāng)n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達(dá)式．
(3)檢驗(yàn)a1的值是否滿足(2)中的表達(dá)式，若不滿足，則分段表示an.
(4)寫出an的完整表達(dá)式．
〔變式訓(xùn)練1〕
(1)(角度1)(2020·福建三明一中期中)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(　B　)
A．a(chǎn)n＝2n　　 B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝2n－1　　 D．a(chǎn)n＝2n＋1
(2)(角度2)(2020·遼寧部分重點(diǎn)高中高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2an－1，則{an}的通項(xiàng)公式為(　B　)
A．a(chǎn)n＝2n－1　　 B．a(chǎn)n＝2n－1
C．a(chǎn)n＝2n－1　　 D．a(chǎn)n＝2n＋1
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝故選B．
(2)當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2)．又n＝1時，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故選B．
考點(diǎn)三　由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式——多維探究
角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
例4　(2020·河南師大附中月考)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋，a1＝1，則an＝__2－__.
[解析]　由題意知an－an－1＝
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋1
＝＝2－.
角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an
例5　(2020·寧夏銀川月考)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3an＋1＝(1＋)2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　A　)
A．a(chǎn)n＝　　 B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝　　 D．a(chǎn)n＝
[解析]　解法一：由已知得＝×
∴an＝××…××a1
＝××××…×××1＝.
解法二：由題意得＝·.又n＝1時，＝1，故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．從而＝，即an＝.故選A．
解法三：當(dāng)n＝1時，選項(xiàng)A為1，B為1，C為，D為1，否定C，當(dāng)n＝2時，由已知得a2＝，選項(xiàng)A為，B為，D為，否定B，D，故選A．
角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
例6　(2020·西北師大附中調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，則an＝__3n－1－3__.
[解析]　∵an＋1＝3an＋6，
∴an＋1＋3＝3(an＋3)，
又a1＝－2，∴a1＋3＝1，
∴{an＋3}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.
名師點(diǎn)撥　?
已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)，一般有三種常見思路
(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想．
(2)形如“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列．
(3)遞推公式化簡整理后，若為an＋1－an＝f(n)型，則采用累加法；若為＝f(n)型，則采用累乘法．
〔變式訓(xùn)練2〕
根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，則an＝__n2－2n＋2__；
(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝____；
(3)(角度3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝__2×3n－1－1__.
[解析]　(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴當(dāng)n≥2時，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
∴an－a1＝＝(n－1)2，∴an＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，
又當(dāng)n＝1時，12－2×1＋2＝1，∴n＝1時符合上式．
∴an＝n2－2n＋2.
(2)∵nan－1＝(n＋1)an，∴＝，又a1＝1，∴an＝··…··a1＝···…·＝.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首項(xiàng)為2公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
考點(diǎn)四　數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)——多維探究
角度1　數(shù)列的單調(diào)性
例7　若數(shù)列{an}滿足an＝n2＋kn＋4(n∈N*)且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為__k>－3__.
[解析]　由數(shù)列是一個遞增數(shù)列，得an＋1>an，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.
角度2　數(shù)列的周期性
例8　(2020·福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，若a1＝，且an＋1＝(n?N*)，則6S100＝(　A　)
A．425　　 B．428　　
C．436　　 D．437
[分析]　由遞推公式逐項(xiàng)求解，探求規(guī)律．
[解析]　由數(shù)列的遞推公式可得：
a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝＝a1，
據(jù)此可得數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，則：6S100＝6×25×(＋＋3－2)＝425.選A．
角度3　數(shù)列的最大、小項(xiàng)問題
例9　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n＋1)()n，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是第__9、10__項(xiàng)．
[解析]　解法一：∵an＋1－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝()n×，
當(dāng)n0，即an＋1>an；
當(dāng)n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>9時，an＋1－an