ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)

知識(shí)點(diǎn)一　公式法求和
(1)如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝__na1＋d__＝__n2＋(a1－)n__.
(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝
注意等比數(shù)列公比q的取值情況，要分q＝1，q≠1.
知識(shí)點(diǎn)二　分組求和法
一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．如若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列．則可用分組求和法求其前n項(xiàng)和．
知識(shí)點(diǎn)三　倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等且等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．
知識(shí)點(diǎn)四　錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．
知識(shí)點(diǎn)五　裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
知識(shí)點(diǎn)六　并項(xiàng)求和法
在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩合并求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．如{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{(－1)nan}的前n項(xiàng)和，可用并項(xiàng)求和法求解．
形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可考慮采用兩項(xiàng)合并求解．

1．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式
(1)＝－；
(2)＝(－)；
(3)＝(－)；
(4)＝(－)；
(5)＝－；＝(－)；
(6)＝[－]．

題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列列命題正確的是(　BCD　)
A．如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝
B．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和
C．當(dāng)n≥2時(shí)，＝(－)
D．求數(shù)列{＋2n＋3}的前n項(xiàng)和可用分組求和
[解析]　對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1.則其前n項(xiàng)和為Sn＝，在a＝1，則an＝a，故A錯(cuò)．
對(duì)于B，因?yàn)閟in21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．
對(duì)于C，因?yàn)?－)＝·＝.
對(duì)于D，因?yàn)閿?shù)列{＋2n＋3)是由一個(gè)等比數(shù)列{}與一個(gè)等差數(shù)列的和數(shù)列，所以求數(shù)列{＋2n＋3}的前n項(xiàng)和可以用分組求和．故選B、C、D．
題組二　走進(jìn)教材
2．(必修5P61T4改編)Sn＝＋＋＋…＋等于(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　由Sn＝＋＋＋…＋①
得Sn＝＋＋…＋＋②
①－②得，
Sn＝＋＋＋…＋－，
＝－，∴Sn＝.
3．(必修5P47T4改編)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n＝(　B　)
A．9　　 B．99　　
C．10　　 D．100
[解析]　因?yàn)閍n＝＝－.所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.所以－1＝9，即＝10，所以n＝99.故選B．
4．(必修5P47T4改編)若Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，則S2 020＝____.
[解析]　∵2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.∴S2 020＝.
題組三　考題再現(xiàn)
5．(2017·天津)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*)．
[解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)．由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)．所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.　
(2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，由a2n＝6n－2，有
Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，③
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，④
③－④，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1
＝－4－(6n－2)×2n＋1
＝－(3n－4)2n＋2－16.
得Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為(3n－4)2n＋2＋16.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　分組求和法——師生共研
例1　(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　C　)
A．2n＋n2－1　　 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2　　 D．2n＋n－2
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，則S15＋S22－S31的值是(　D　)
A．13　　 B．76　　
C．46　　 D．－76
[解析]　(1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝＋2×－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n
＝2n＋1＋n2－2.
(2)因?yàn)镾n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
名師點(diǎn)撥　?
分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．
(2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．
〔變式訓(xùn)練1〕
(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－()n，則其前20項(xiàng)和為(　C　)
A．379＋　　 B．399＋
C．419＋　　 D．439＋
(2)若數(shù)列{an}是2,2＋22,2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__2n＋2－4－2n__.
[解析]　(1)令數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－(＋＋＋…＋)＝420－(1－)＝419＋.
(2)an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，
所以Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)
＝－2n＝2n＋2－4－2n.
考點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法——多維探究
角度1　形如bn＝({an}為等差數(shù)列)型
例2　(2020·湖南五市十校聯(lián)考)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝，設(shè)bn＝log2an.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(3)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
[解析]　(1)依題意得a1＝2，則n＝1時(shí)，
S1＝＝a1，∴a2＝8.
n≥2時(shí)，Sn－1＝，
則an＝Sn－Sn－1＝－，
整理得＝4.
又＝4，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，
∴an＝2·4n－1＝22n－1.
(2)bn＝log2an＝log222n－1＝2n－1，
則bn＋1－bn＝2n＋1－(2n－1)＝2，
且b1＝1，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
(3)由(2)得bn＝2n－1，
∴＝＝＝－，
∴Tn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.
角度2　形如an＝型
例3　(2020·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N＋.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2020等于(　C　)
A．－1　　 B．－1
C．－1　　 D．＋1
[解析]　由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，
則f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
角度3　形如bn＝×({an}為等比數(shù)列)型
例4　(2020·遼寧凌源二中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an，n∈N*，bn＝，若對(duì)任意的n∈N*，k>Tn恒成立，則k的最小值是(　C　)
A．　　 B．49　　
C．　　 D．
[解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，6a1＝a＋3a1，解得a1＝3或a1＝0(舍去)，又6Sn＝a＋3an，∴6Sn＋1＝a＋3an＋1，兩式作差可得6an＋1＝a－a＋3an＋1－3an，整理可得(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，結(jié)合an>0可得an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，∴an＝3＋(n－1)×3＝3n，則bn＝＝＝(－)，∴Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)

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