課時(shí)作業(yè)
1．雙曲線－＝1(00)的頂點(diǎn)(a,0)到漸近線y＝x的距離為，則雙曲線C的離心率是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　A
解析　因?yàn)轫旤c(diǎn)(a,0)到漸近線y＝x的距離d＝＝，所以＝，所以e＝＝2.故選A．
5．(2019·山東滕州月考)已知雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于(　　)
A． B．1
C．2 D．4
答案　D
解析　由雙曲線－＝1，知a＝5，由雙曲線定義，得|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，所以|NO|＝|MF1|＝4.
6．虛軸長為2，離心率e＝3的雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的一支于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，則△ABF2的周長為(　　)
A．3 B．16＋
C．12＋ D．24
答案　B
解析　由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由雙曲線的定義知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，①
|BF2|－|BF1|＝，②
由①＋②，得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
則△ABF2的周長為16＋，故選B．
7．(2019·全國卷Ⅲ)已知F是雙曲線C：－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由F是雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，則解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.故選B．
8．過雙曲線－＝1(a>0)的右焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|＝6，若這樣的直線有且只有兩條，則a的取值范圍是(　　)
A．(0,1]∪(3，＋∞) B．(0,1)∪(3，＋∞)
C．(0,1) D．(3，＋∞)
答案　B
解析　若A，B在同一支上，則有|AB|min＝＝；
若A，B不在同一支上，則|AB|min＝2a.依題意，
得與2a不可能同時(shí)等于6，所以或
解得a>3或00)交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，則該雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　B
解析　由題意得M(1,2)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入雙曲線方程，兩式相減并整理得＝＝kAB·kOM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝.故選B．
11．(2020·安徽淮南聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，)，則△APF的周長的最小值為(　　)
A．4＋ B．4(1＋)
C．2(＋) D．＋3
答案　B
解析　雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F(，0)，設(shè)其左焦點(diǎn)為F′.△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a＋|PF′|，要使△APF周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小．如圖，當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)l取到最小值，且lmin＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故選B．

12．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．
答案　C
解析　由題可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.
在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，
∵在△PF1F2中，
cos∠PF2O＝＝，
∴＝?c2＝3a2，∴e＝.故選C．
13．已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
答案　－y2＝1
解析　根據(jù)漸近線方程為x±2y＝0，可設(shè)雙曲線方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)．因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，)，所以42－4×()2＝λ，即λ＝4.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1.
14．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2作與x軸垂直的直線與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)為P，且∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為________．
答案　y＝±x
解析　根據(jù)已知可得，|PF2|＝且|PF1|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
15．(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若＝，·＝0，則C的離心率為________．
答案　2
解析　解法一：由＝，得
A為F1B的中點(diǎn)．
又O為F1F2的中點(diǎn)，∴OA∥BF2.
又·＝0，∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，∴∠OBF2＝∠OF2B．
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2為等邊三角形．
如圖1所示，∵點(diǎn)B在直線y＝－x上，

∴－＝－，∴離心率e＝＝＝2.
解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點(diǎn)，∴|OF2|＝|OB|＝c.
如圖2，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，

可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F(xiàn)2(c,0)．
又＝，∴A為F1B的中點(diǎn)．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，
∴離心率e＝＝2.
16．(2020·泉州摸底)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，則雙曲線的離心率為________，λ的值為________．
答案　　
解析　由F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化簡(jiǎn)得e2－e－1＝0.∴e>1，∴e＝.設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2得，|PF1|·r＝·|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
17．(2019·上海崇明模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF1F2＝30°.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求·的值．
解　(1)設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為(，0)，(，y0)(y0>0)，
因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1＋b2－＝1，
則y0＝b2，所以|MF2|＝b2.
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，
所以|MF1|＝2b2.
由雙曲線的定義可知，|MF1|－|MF2|＝b2＝2，
故雙曲線C的方程為x2－＝1.
(2)由條件可知，兩條漸近線分別為
l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0.
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)，兩條漸近線的夾角為θ，由題意知cosθ＝.
則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為
|PP1|＝，|PP2|＝.
因?yàn)镻(x0，y0)在雙曲線C：x2－＝1上，
所以2x－y＝2.
所以·＝··cosθ＝·＝.
18．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)．
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．
解　(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴雙曲線方程為－＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，
∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，
∴x0＝y(tǒng)0，①
依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將其代入雙曲線方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.②
又a2＋b2＝c2，
∴將b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.
∵e>1，∴e＝，∴雙曲線的離心率為.
19．(2019·承德模擬)已知點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|－|PN|＝2，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
(1)求W的方程；
(2)若A和B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值．
解　(1)由|PM|－|PN|＝2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，半實(shí)軸長a＝.
又焦距2c＝4，所以半虛軸長b＝＝.
所以W的方程為－＝1(x≥)．
(2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x1＝x2，y1＝－y2，
從而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2.
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(k≠±1)，與W的方程聯(lián)立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝＋＋m2
＝＝2＋.
又因?yàn)閤1x2>0，所以k2－1>0.所以·>2.
綜上所述，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，·取得最小值2.
20．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解　(1)設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
由已知，得a＝，c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故雙曲線C的方程為－y2＝1.
(2)由得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴
可得m2>3k2－1且k2≠.①
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)．
則x1＋x2＝，x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝.
由題意，知AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1.②
將②代入①，得m2－4m>0，∴m4.
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－，
又k2≠，∴m≠0，
∴m的取值范圍是∪(4，＋∞)．


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