課時作業(yè)
1．直線l過點(，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，這樣的直線有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
答案　C
解析　該點為雙曲線的頂點，與雙曲線相切的直線有一條，與漸近線平行的直線有兩條，共3條．
2．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的左、右焦點，P，Q為右支上的兩點，直線PQ過F2且傾斜角為α，則|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值為(　　)
A．8 B．2
C．4 D．隨α的大小而變化
答案　C
解析　由雙曲線定義，知|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.
3．(2019·遼寧師大附中期中)過點M(－2,0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
答案　D
解析　設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，則兩式相減，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＋2y(y1－y2)＝0.
∴k1＝－，又k2＝.∴k1·k2＝－.
4．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|＝4，則C的實軸長為(　　)
A． B．2
C．4 D．8
答案　C
解析　拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線方程是x＝－4，所以點A(－4,2)在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a>0)上，將點A的坐標(biāo)代入得a＝2，所以C的實軸長為4.
5．若直線x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則m的值為(　　)
A．± B．±2
C．±1 D．±
答案　C
解析　設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.
6．已知直線y＝kx＋1與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點，且|AB|＝8，則實數(shù)k的值為(　　)
A．± B．±或±
C．± D．±
答案　B
解析　由直線與雙曲線交于A，B兩點，得k≠±2.
將y＝kx＋1代入x2－＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，則Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k20，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點E(0，t)(00，b>0)的一條漸近線交于點M(1，m)，點M到拋物線焦點的距離為3，則雙曲線的離心率等于(　　)
A．3 B．4
C． D．2
答案　A
解析　點M到拋物線焦點的距離為＋1＝3?p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x，∴m2＝8.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，兩邊平方得y2＝2x2，把M(1，m)代入上式得8＝2，∴雙曲線的離心率e＝＝3.
9．(2019·鄭州測試)已知拋物線x2＝8y與雙曲線－x2＝1(a>0)的一個交點為M，F(xiàn)為拋物線的焦點，若|MF|＝5，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
答案　B
解析　設(shè)點M(x0，y0)，則有|MF|＝y(tǒng)0＋2＝5，y0＝3，x＝24，由點M(x0，y0)在雙曲線－x2＝1上，得－x＝1，－24＝1，a2＝，則雙曲線－x2＝1的漸近線方程為3x±5y＝0，選B．
10．(2019·江西六校聯(lián)考)過雙曲線x2－＝1(b>0)的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于B，C，且2＝，則該雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　由題意可知，左頂點A(－1,0)．又直線l的斜率為1，所以直線l的方程為y＝x＋1，若直線l與雙曲線的漸近線有交點，則b≠±1.又雙曲線的兩條漸近線的方程分別為y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×＝－，解得b＝2，故e＝＝.
11．(2020·福建龍巖摸底)已知橢圓：＋＝1(00)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
答案　3
解析　由題意，知|PF1|＋|PF2|＝2a，∵⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9，
∴b＝3.
14．(2019·大同質(zhì)檢)已知拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
答案?。?
解析　∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線x＝－4過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，∴c＝4.由雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，可得b＝a，又c＝＝4，∴a＝2，b＝2，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
15．(2017·天津高考)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A．若∠FAC＝120°，則圓的方程為______________________．
答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1
解析　由y2＝4x可得點F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標(biāo)為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因為∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以點C的縱坐標(biāo)為.所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1.

16．(2018·北京高考)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
答案?。?　2
解析　由正六邊形的性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為c＋c，再根據(jù)橢圓定義得c＋c＝2a，所以橢圓M的離心率為＝＝－1.雙曲線N的漸近線方程為y＝±x，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為.∴＝tan2＝3，∴e2＝＝＝4，∴e＝2.
17．(2020·湖北荊州月考)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，M為拋物線上一點，O為坐標(biāo)原點．△OMF的外接圓N與拋物線的準(zhǔn)線相切，外接圓N的周長為9π.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知不與y軸垂直的動直線l與拋物線有且只有一個公共點，且分別交拋物線的準(zhǔn)線和直線x＝3于A，B兩點，試求的值．
解　(1)∵△OMF的外接圓N的圓心N必在線段OF的中垂線上且外接圓N與準(zhǔn)線相切，外接圓N的周長為9π，∴外接圓的半徑為p＝，即p＝6，∴拋物線的方程為y2＝12x.

(2)解法一：由題知直線l的斜率存在且不為0，
∴可設(shè)l：y＝kx＋b.
由消去x得
ky2－12y＋12b＝0.∵直線l與拋物線只有一個公共點，k≠0，
∴Δ＝(－12)2－4k·12b＝0，即kb＝3，∵直線l：y＝kx＋b與準(zhǔn)線x＝－3交于點A，
∴A(－3，－3k＋b)，即A，同理B，
∴＝
＝＝1.
解法二：由題知直線l不與坐標(biāo)軸垂直，
∴可設(shè)l：x＝my＋n(m≠0)，
由消去x得y2－12my－12n＝0.
∵直線l與拋物線只有一個公共點，
∴Δ＝(－12m)2－4(－12n)＝0，即n＝－3m2，
∵直線l：x＝my＋n與準(zhǔn)線x＝－3交于點A，
∴A，即A，
同理B，
∴＝
＝＝1.
解法三：設(shè)切點為P(12t2,12t)(t≠0)，
則l：12ty＝12×，
令x＝－3得y＝，即A，
令x＝3得y＝，即B，
∴＝＝1.
18．(2019·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于點A，與橢圓C交于點D．連接AF1并延長交圓F2于點B，連接BF2交橢圓C于點E，連接DF1.已知DF1＝.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求點E的坐標(biāo)．
解　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以F1F2＝2，c＝1.
又因為DF1＝，AF2⊥x軸，
所以DF2＝＝ ＝.
因此2a＝DF1＋DF2＝4，從而a＝2.
由b2＝a2－c2，得b2＝3.
因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)解法一：由(1)知，橢圓C：＋＝1，a＝2.
因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.
將x＝1代入圓F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.
因為點A在x軸上方，所以A(1,4)．
又F1(－1,0)，所以直線AF1：y＝2x＋2.
由得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－.
將x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－.
因此B.
又F2(1,0)，所以直線BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，
解得x＝－1或x＝.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以x＝－1.
將x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.
因此E.
解法二：由(1)知，橢圓C：＋＝1.
如圖，連接EF1.

因為BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，
所以EF1＝EB，
從而∠BF1E＝∠B．
因為F2A＝F2B，
所以∠A＝∠B．
所以∠A＝∠BF1E，
從而EF1∥F2A．
因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸．
因為F1(－1,0)，由得y＝±.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以y＝－.
因此E.
19．(2019·長沙統(tǒng)一模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點，AF1與y軸相交于點B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝(O為坐標(biāo)原點)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m(k≠0)分別與l1，l2交于點M，N，求證：∠MF1N＝∠MF2N.
解　(1)如圖，連接AF2，由題意，得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO為△F1AF2的中位線，

又BO⊥F1F2，
所以AF2⊥F1F2，
且|AF2|＝2|BO|＝＝，
又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，
故所求橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明：由(1)可得，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3.
由得
由得
所以M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)，
所以·＝－8＋m2－9k2.
聯(lián)立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因為直線l與橢圓C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化簡得m2＝9k2＋8.
所以·＝－8＋m2－9k2＝0，
所以⊥，故∠MF1N＝.
同理可得⊥，∠MF2N＝.
故∠MF1N＝∠MF2N.
20．(2019·合肥質(zhì)檢二)已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)和圓C2：(x＋1)2＋y2＝2，傾斜角為45°的直線l1過C1的焦點，且l1與C2相切．
(1)求p的值；
(2)動點M在C1的準(zhǔn)線上，動點A在C1上，若C1在A點處的切線l2交y軸于點B，設(shè)＝＋，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．
解　(1)依題意，設(shè)直線l1的方程為y＝x＋，
因為直線l1與圓C2相切，
所以圓心C2(－1,0)到直線l1：y＝x＋的距離d＝＝，即＝，
解得p＝6或p＝－2(舍去)．
所以p＝6.
(2)證法一：由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，所以y＝，
所以y′＝，
設(shè)M(m，－3)，A(x1，y1)，
則以A為切點的切線l2的斜率為k＝，
所以切線l2的方程為y＝x1(x－x1)＋y1.
令x＝0，則y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B點的坐標(biāo)為(0，－y1)，
所以＝(x1－m，y1＋3)，
＝(－m，－y1＋3)，
所以＝＋＝(x1－2m,6)，
所以＝＋＝(x1－m,3)，其中O為坐標(biāo)原點．
設(shè)N點坐標(biāo)為(x，y)，則y＝3，
所以點N在定直線y＝3上．
證法二：由(1)知拋物線C1的方程為x2＝12y，①
設(shè)M(m，－3)，l2的斜率為k，A，則以A為切點的切線l2的方程為y＝k(x－x1)＋x，②
聯(lián)立①②得，x2＝12，
因為Δ＝144k2－48kx1＋4x＝0，所以k＝，
所以切線l2的方程為y＝x1(x－x1)＋x.
令x＝0，得B點坐標(biāo)為，
所以＝，
＝，
所以＝＋＝(x1－2m,6)，
所以＝＋＝(x1－m,3)，其中O為坐標(biāo)原點，
設(shè)點N坐標(biāo)為(x，y)，則y＝3，
所以點N在定直線y＝3上．

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