一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．已知向量，，若向量，則（ ）
A．B．C．8D．
3．在三角形中，，，，則（ ）
A．B．C．或D．或
4．已知向量，滿足，則（ ）
A．0B．2C．D．
5．已知，，則的值為（ ）
A．3B．5C．4D．6
6．已知向量，則下列向量與平行的是（ ）
A．B．C．D．
7．四邊形是正方形，延長至，使得，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知的外接圓圓心為O，且，，點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列命題中，正確的是（ ）
A．若與都是單位向量，則
B．直角坐標(biāo)平面上的軸、軸都是向量
C．若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)與不重合
D．海拔、溫度、角度都不是向量
10．已知向量，則下列說法正確的是（ ）
A．B．與的夾角為
C．若，則D．存在，使得
11．在邊長為3的正方形中，分別是邊上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，則的取值可以是（ ）
A．12B．11C．10D．9
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，，，則與的夾角為 ．
13．在中，角所對的邊分別為，且，則 ．
14．已知，，且.若，則當(dāng)時，的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，且與的夾角為120°，求：
(1)；
(2)若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．
16．在中，分別是角的對邊. 若.
(1)求的值；
(2)求邊長的值.
17．如圖，在中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.
(1)用、表示；
(2)求的值.
18．已知，．
(1)當(dāng)x，y為何值時，與共線？
(2)是否存在實(shí)數(shù)x，y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，請說明理由．
19．正等角中心（psitive isgnal centre）亦稱費(fèi)馬點(diǎn)，是三角形的巧合點(diǎn)之一．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】若，則，模長相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，則，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選B.
2．【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?，解?
故選A.
3．【答案】C
【詳解】由可得，
所以，又，
所以或，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以或，
故選C.
4．【答案】B
【詳解】由，得，
∵，∴，即.
故選B.
5．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，，則，
所以.
故選B.
6．【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>若向量滿足，則該向量與平行，檢驗(yàn)易知D符合題意．
故選D．
7．【答案】D
【詳解】如下圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，所以，則
，
所以，則.
故選D.
8．【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析可知：O為的中點(diǎn)，，，建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.
【詳解】因?yàn)椋芍狾為的中點(diǎn)，
又因?yàn)镺為的外接圓圓心，則，
且，即，
可知為等邊三角形，即，
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
可得，
則，
可知當(dāng)時，取到最小值.
【方法總結(jié)】根據(jù)中線性質(zhì)分析可知O為的中點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，.
9．【答案】CD
【詳解】選項(xiàng)A，由于單位向量長度相等，但是方向不確定，故A錯誤；
選項(xiàng)B，由于只有方向，沒有大小，故軸，軸不是向量，故B錯誤；
選項(xiàng)C，由于向量起點(diǎn)相同，但長度不相等，所以終點(diǎn)不同，C正確；
選項(xiàng)D，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量，D正確．
故選CD.
10．【答案】ACD
【詳解】對于A，由題可知，故A項(xiàng)正確；
對于B，，故與的夾角為，故B項(xiàng)錯誤；
對于C，若，則，故C項(xiàng)正確；
對于D，若，則，則當(dāng)時，可以使，故D正確.
故選ACD.
11．【答案】ABC
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線的方向分別為軸?軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.
則.設(shè)，其中，因，則
則，.
因?yàn)椋?br>故得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
又，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)或點(diǎn)與點(diǎn)重合時等號成立，
故得，即，又，
所以都滿足其范圍，不滿足其范圍，故ABC正確，D錯誤.
故選ABC.
12．【答案】
【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，即與的夾角為．
13．【答案】
【詳解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
14．【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，又?
故可以建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，則，，在線段上取點(diǎn)，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，故存在，使得，
又，取，則在以為圓心，以1為半徑的圓上.
.
因?yàn)橹苯切边吷系母邽椋海?br>所以當(dāng)，在，之間時，取得最小值，為；
當(dāng)與重合，點(diǎn)坐標(biāo)為時，取得最大值，為.
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
所以.
（2）由于向量與平行，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在中，由正弦定理，，，可得，
因?yàn)?，所以，即?br>顯然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或,
當(dāng)時，又，所以，又，，
所以，則，與矛盾，所以舍去；
所以．
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故.
（2）因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因?yàn)?，且、不共線，
所以，則，
所以，故.
18．【答案】(1)，y為任意實(shí)數(shù)
(2)存在，或．
【詳解】（1）因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，解得，
所以當(dāng)，y為任意實(shí)數(shù)時，與共線．
（2）由．①
由．②
聯(lián)立①②解得或，所以或．
所以存在實(shí)數(shù)x，y，使得，且，
此時或．
19．【答案】(1)①；②；
(2)．
【詳解】（1）①在中，由正弦定理及，得，
即，由余弦定理得，
又，所以.
②由①知，，則的三個角都小于，由費(fèi)馬點(diǎn)定義知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
所以.

（2）由，得，
即，又，，則，
于是，整理得，即，
又，有，則，，
由點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，得，
設(shè)，，，，
由，得，
由余弦定理得，
，
，
相加得得，
整理得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
又，因此，而，解得，
所以實(shí)數(shù)的最小值為．

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