注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)第一章～第四章
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，且，則D．若，，則
4．設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（ ）
A．B．1C．9D．8
6．若，則（ ）
A．5B．7C．D．
7．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，對(duì)于它的任一非空子集，可以將中的每一個(gè)元素都乘再求和，例如，則可求得和為，對(duì)所有非空子集，這些和的總和為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列既是存在量詞命題又是真命題的是（ ）
A．，
B．至少有個(gè)，使能同時(shí)被和整除
C．，
D．每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形
10．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
C．在定義域上單調(diào)遞減D．在內(nèi)的值域?yàn)?br>11．下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為2
C．的最小值為4
D．的最小值為2
12．已知函數(shù)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知集合，若，則a的值為 ．
14．函數(shù)的定義域?yàn)? .
15．某單位建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋水池，其容積為，深3m.若池底每平米的造價(jià)為150元，池壁每平米的造價(jià)為120元，則最低總造價(jià)為 元.
16．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對(duì)任意，總存在使得，則的取值范圍為 .
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17．計(jì)算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知命題，，命題，.
(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題p，q至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19．已知，，且.
(1)求ab的最小值；
(2)求的最小值.
20．已知冪函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
21．已知函數(shù)（且）.
(1)若在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，求a的值；
(2)解關(guān)于x的不等式.
22．已知函數(shù)為常數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說明理由．
1．C
【分析】根據(jù)題意直接可得集合中只有元素2，由交集的定義可得答案.
【詳解】由集合
則.
故選：C
2．B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)?，，即，因此?
故選：B.
3．D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
∵，，顯然不能得到，
例如當(dāng)，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
若，，則，故D正確.
故選：D.
4．A
【分析】由不等式性質(zhì)及特殊值法判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分必要性的定義即可確定答案.
【詳解】由且，必有且；
當(dāng)且時(shí)，如，不滿足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要條件．
故選：A．
5．D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，，則.
故選：D
6．C
【分析】對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)可求出的值，然后對(duì)變形，分子分母同除以，再代值可得答案.
【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即?br>所以原式.
故選：C.
7．A
【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后將不等式化為,則可得出不等式解集.
【詳解】因?yàn)榈慕饧牵郧?，由，得，即，解得，即關(guān)于的不等式的解集是.
故選：A.
8．B
【分析】先計(jì)算出集合的非空子集個(gè)數(shù)，然后結(jié)合新定義計(jì)算結(jié)果所出現(xiàn)的情況，把結(jié)果相加
【詳解】因?yàn)樵?，，，，，在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，
則對(duì)的所有非空子集中元素執(zhí)行乘再求和，
則這些和的總和是．
故選：B.
9．AB
【分析】AB選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；
C選項(xiàng)，根據(jù)所有實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，得到C為假命題；
D選項(xiàng)為全稱量詞命題，不合要求.
【詳解】中，當(dāng)時(shí)，滿足，所以A是真命題
B中，能同時(shí)被和整除，所以B是真命題
C中，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的平方非負(fù)，即，所以C是假命題
D是全稱量詞命題，所以不符合題意.
故選：AB．
10．AD
【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．
【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，
則，
所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；
根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域上不具有單調(diào)性，
函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?，故BC錯(cuò)誤，D正確，
故選：AD．
11．AC
【分析】對(duì)A考慮運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)驗(yàn)證；對(duì)于BCD，運(yùn)用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原則判斷即可.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又無解，故不能取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．CD
【分析】首先根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，得到，，即可得到答案.
【詳解】函數(shù)的圖象圖所示：
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以，即.
故選：CD
13．
【分析】利用集合的包含關(guān)系列方程即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.
故．
故-2.
14．
【分析】根據(jù)分式函數(shù)和根式函數(shù)，由求解.
【詳解】解：由，
解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故
15．8160
【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)長(zhǎng)，寬，∴，
∴，
總造價(jià).
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).
故8160
16．
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)及其單調(diào)性可求得的值，求出函數(shù)在上的值域，以及函數(shù)在上的值域，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，，
在上單調(diào)遞減，則，可得，
，在上的值域?yàn)椋?br>在上的值域?yàn)椋?br>根據(jù)題意有，的范圍為.
故答案為.
17．(1)
(2)4
【分析】（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出答案.
【詳解】（1）原式=；
（2）原式.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)命題是真命題，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即可求的取值范圍；
（2）求命題q為真命題時(shí)的取值范圍，再求兩個(gè)集合的并集.
【詳解】（1）若命題p為真命題，則對(duì)恒成立，因此，解得.
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（2）若命題q為真命題，則，即，解得或.
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或；
若命題p，q至少有一個(gè)為真命題，
可得或或.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常數(shù)代換技巧求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即ab的最小值為；
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
20．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，則，并檢驗(yàn)，即可；
（2）化簡(jiǎn)得，求出對(duì)稱軸，分，兩種情況分別求得函數(shù)的最大值，即可求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）由題知，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，不滿足，
所以.
（2）.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，
所以，解得.
綜上所述，存在正數(shù)，使得在區(qū)間上的最大值為5.
21．(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出絕對(duì)值方程求解即可；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，列出不等式組，討論參數(shù)a的范圍，即可得到解集.
【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù)，
且函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，
所以，解得或.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，，原不等式解集為.
22．(1)單調(diào)遞減，證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）由單調(diào)性的定義證明，
（2）由換元法與二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解，
【詳解】（1）當(dāng)，且時(shí)，是單調(diào)遞減的．
證明：設(shè)任意，則，
，，，，
，，故當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減的
（2）令，可得，令，，則，
記易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無零點(diǎn)，故無零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)，故有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，若，令，解得，若，又，
此時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
因此，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，有個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，若，則，即在無零點(diǎn)，若，又，
此時(shí)由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
因此，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．

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