TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc184387154"
\l "_Tc184387155" ?題型01 等式的性質(zhì)
\l "_Tc184387156" ?題型02 一元一次方程的相關(guān)概念
\l "_Tc184387157" ?題型03 二元一次方程的相關(guān)概念
\l "_Tc184387158" ?題型04 二元一次方程組的相關(guān)概念
\l "_Tc184387159" ?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
\l "_Tc184387160" ?題型06 解一次方程（組）
\l "_Tc184387161" ?題型07 一元一次方程解的綜合應(yīng)用
\l "_Tc184387162" ?題型08 與一次方程（組）有關(guān)的污染問(wèn)題
\l "_Tc184387163" ?題型09 與一元一次方程有關(guān)的新定義問(wèn)題
\l "_Tc184387164" ?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
\l "_Tc184387165" ?題型11 解二元一次方程組--錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題
\l "_Tc184387166" ?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
\l "_Tc184387167" ?題型13 解二元一次方程組—拓展
\l "_Tc184387168" ?題型14 中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程組
\l "_Tc184387169" ?題型15 列方程（組）
\l "_Tc184387170" ?題型16 一元一次方程的應(yīng)用
\l "_Tc184387171" ?題型17 二元一次方程組的應(yīng)用
\l "_Tc184387172" ?題型18 中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc184387173" ?題型19 洛書(shū)
\l "_Tc184387174"
\l "_Tc184387175"
?題型01 等式的性質(zhì)
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+2=b+2B．a(chǎn)c=bc
C．a(chǎn)-1>b-2D．a(chǎn)2>b3
2．（2024·河北邯鄲·三模）天平兩邊托盤(pán)中相同形狀的物體質(zhì)量相同，且兩架天平均保持平衡，如圖，則關(guān)于“□”“?”“△”質(zhì)量的大小關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是 （ ）
A．△最重B．?最重C．□最重D．無(wú)法比較
3．（2024·安徽亳州·三模）設(shè)a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù)，且a=37b+17c，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)>b>cB．c>b>aC．a(chǎn)-b=6b-cD．a(chǎn)-c=3b-2a
4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)x、y、c是實(shí)數(shù)，正確的是（ ）
A．若x=y，則x+c=c-yB．若x=y，則c-x=c-y
C．若x=y，則xc=ycD．若x2c=y3c，則2x=3y
?題型02 一元一次方程的相關(guān)概念
1．（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．（2020·吉林長(zhǎng)春·三模）關(guān)于x的一元一次方程2xa-2-2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（ ）
A．9B．8C．7D．5
3．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+12=2x+■電話詢問(wèn)老師后知道：方程的解x=1且被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)．則該常數(shù)是（ ）
A．32B．-32C．12D．-12
4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，則2042-2m4-4m3-12m的值是 ．
?題型03 二元一次方程的相關(guān)概念
1．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2-1=0C．x-y=1D．x+1y=1
2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a-b-3ya+b=2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則ab的值為（ ）
A．29B．2C．32D．1
3．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）若二元一次方程組x+y=33x-5y=1的解為x=ay=b，則a-b的值為 ．
4．（2024·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知方程2x+y=0，請(qǐng)寫(xiě)出該方程的一組解： ．
?題型04 二元一次方程組的相關(guān)概念
1．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）與方程5x+2y=-9構(gòu)成的方程組，其解為x=-3y=3的是（ ）
A．x+2y=1B．3x+2y=-8C．3x-4y=-8D．5x+4y=-3
2．（2022·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）在下列數(shù)對(duì)中：①x=2y=-2；②x=1y=0；③x=1y=-1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是 ；是方程x-4y=5的解的是 ；既是方程x+y=0的解，又是方程x-4y=5的解的是 .(填序號(hào))
3．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=m+22x+3y=m，給出下列結(jié)論：①x=3y=-4是方程組的解；②m=2時(shí)，x，y的值互為相反數(shù)；③無(wú)論m的x，y都滿足的關(guān)系式x+2y=2；④x，y的都為自然數(shù)的解有2對(duì)，其中正確的為 ．（填正確的序號(hào)）
?題型05 已知二元一次方程組的解求參數(shù)
1．（2024·廣東汕頭·一模）若關(guān)于x，y的方程組2x-y=2m-1x-2y=n的解滿足x+y=-4，則4m÷2n的值為（ ）
A．8B．18C．6D．-6
2．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無(wú)解，則（ ）
A．5a=4cB．4a=5bC．4a=5cD．5a=4b
3．（2024·湖北荊州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx-ay=1的解，則3a-12b的立方根為 ．
4．（2024·甘肅·一模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=kx+2y=-1的解滿足x>y，則k的取值范圍為 ．
5．（2023·山東濟(jì)寧·一模）已知關(guān)于x，y的方程組x+y-b=03x+y-2=0的解是x=-1y=m，則直線y=-x+b與直線y=-3x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)是 .
?題型06 解一次方程（組）
1．（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）解下列方程：
(1)2x-13-5x+26=1-2x2-2．(2)x2-y+13=13x+2y=10．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）解方程組：
(1)2x+y=-54x-5y=11(2)x-22-5-y3=1x0.2-y+10.3=5
?題型07 一元一次方程解的綜合應(yīng)用
1．（2023·河北石家莊·一模）已知P=A?B-C，
(1)若A=-20，B=-13-1，C=-52，求P的值．
上面的計(jì)算過(guò)程有錯(cuò)誤嗎？如果有，請(qǐng)你指出是第幾步錯(cuò)誤，并求出正確的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，當(dāng)x為何值時(shí)，P的值為7
2．（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關(guān)于整式運(yùn)算的例題及正確的解答過(guò)程，其中A，B是兩個(gè)關(guān)于x的二項(xiàng)式．
(1)二項(xiàng)式A為_(kāi)______，二項(xiàng)式B為_(kāi)______．
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，A與B的值相等？
3．（2024·河北保定·三模）把式子-4x+3記作P，式子x-6記作Q，
(1)當(dāng)x=-3時(shí)，P=______，Q=______；
(2)若P，Q的值互為相反數(shù)，求x．
4．（2022·河北廊坊·二模）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為－2，1，P為A點(diǎn)左側(cè)上的一點(diǎn)，它表示的數(shù)為x．
(1)用含x的代數(shù)式表示PB+PA2的值．
(2)若以PO，PA，AB的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成等腰三角形，請(qǐng)求出符合條件的x的值．
?題型08 與一次方程（組）有關(guān)的污染問(wèn)題
1．（2022·河北保定·一模）對(duì)于題目：“若方程組x-y=p2x+y=0的解為x=1y=a，且整式A=a-3+a2+□a-1，求：整式A的值．”
小明化簡(jiǎn)求值時(shí)，將系數(shù)□看錯(cuò)了，他求的A的值為0；
小宇求的結(jié)果，與題的正確答案一樣，A的值為6．
(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是多少？
(2)化簡(jiǎn)整式A．
2．（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：-6×23-■-23．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是12，請(qǐng)計(jì)算-6×23-12-23．
(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
3（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x-12+＝3時(shí)，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了；
(1)嘉淇猜是2，請(qǐng)解一元一次方程3x-12+2=3；
(2)若老師告訴嘉淇這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？
4（2022·河北保定·一模）已知整式a2-2ab-■ab-4b2，其中“■”處的系數(shù)被墨水污染了．當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，該整式的值為16．
(1)則■所表示的數(shù)字是多少？
(2)小紅說(shuō)該代數(shù)式的值是非負(fù)數(shù)，你認(rèn)為小紅的說(shuō)法對(duì)嗎？說(shuō)明理由．
?題型09 與一元一次方程有關(guān)的新定義問(wèn)題
1．（2022·河北石家莊·三模）若兩個(gè)有理數(shù)A、B滿足A+B=8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對(duì)“吉祥數(shù)”．回答下列問(wèn)題：
(1)求-5的“吉祥數(shù)”；
(2)若3x的“吉祥數(shù)”是-4，求x的值；
(3)x和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請(qǐng)求出；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n都有m☆n=mn-3n，例如4☆2=4×2-3×2=8-6=2，請(qǐng)根據(jù)上述知識(shí)解決下列問(wèn)題．
(1)x☆2>4，求x取值范圍；
(2)若x☆-14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x-6，□中是一個(gè)常數(shù)，且此方程的一個(gè)解為x=1，求□中的常數(shù)．
3．（2024浦口區(qū)模擬）閱讀下列材料：讓我們來(lái)規(guī)定一種運(yùn)算：ac bd=ad-bc，例如：23 41=2×1-4×3=-10，再如：xy 62=2x-6y．按照這種運(yùn)算的規(guī)定：請(qǐng)解答下列各個(gè)問(wèn)題：
(1)-24 -53=______．
(2)當(dāng)x1 1-x2=0時(shí)，求x的值．
(3)將下面式子進(jìn)行因式分解：x2-2x-3 8x2-2x-11
?題型10 解二元一次方程組--特殊解法
1．（2024·山東煙臺(tái)·一模）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關(guān)問(wèn)題.
解方程組19x+18y=17 117x+16y=15 2時(shí)，如果考慮常規(guī)的消元法(即代入消元法和加減消元法)那將非常麻煩！若用下而的方法，則輕而易舉.
解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).
(3)×16，得16x+16y=16(4).
(2)-(4)，得x=-1.
把x=-1代入(3)得-1+y=1，即y=2.
所以原方程組的解是x=-1y=2.
以上解法的技巧是根據(jù)方程的特點(diǎn)構(gòu)造了方程(3)，我們把這種解法稱為構(gòu)造法，請(qǐng)你用構(gòu)造法解方程組7x+11y=913x+17y=21.
2．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來(lái)的某些變量，變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果，換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對(duì)于一些較繁較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明．
例1：計(jì)算：20163-2015×2016×2017．
解：設(shè)2016=x，則原式=x3-x-1?xx+1=x3-xx2-1=x=2016．
請(qǐng)你利用上述方法解答下列問(wèn)題：
(1)計(jì)算：123456789×123456786-123456788×123456787；
(2)已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2-3y-1=133x+2+5y-1=30.9的解是 ．
3．（2024·廣東珠?！と＃╅喿x下面材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù).
“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想方法，數(shù)學(xué)課上，張老師給出了一個(gè)問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)m，n滿足m+n-2=0①4m+n+n=5②，求m+n和2m-n的值.
小真：利用消元法解方程組，分別求出m，n的值后，再代入m+n和2m-n即可.
小善：由①，得m+n=2，③
將③代入②，得4×2+n=5，解得n=-3，
把n=-3代入③，解得m=5，
所以原方程組的解為m=5n-3
張老師對(duì)兩位同學(xué)的講解進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出小善同學(xué)的思路體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“整體思想”的運(yùn)用，請(qǐng)你參考小善同學(xué)的做法，完成以下兩個(gè)任務(wù).
(1)任務(wù)一：解方程組2a-3b-5=02a-3b+27+b=0
(2)任務(wù)二：在（1）的前提下取a，b的值，若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有唯一的交點(diǎn)，求此拋物線的解析式.
4．（2024煙臺(tái)市模擬）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時(shí)，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡(jiǎn)．
（1）解方程組x+2x+y=3①x+y=1②，
解：把②代入①得，x+2×1=3，
解得x=1，
把x=1代入②得y=0，
所以方程組的解為x=1y=0，
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z=40，③
③÷10，得x+y+z=4．
［類(lèi)比遷移]
（1）求方程組3a-b+4=2aa-b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y-3z=4求x+y+z的值．
?題型11 解二元一次方程組--錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題
1．（2024周口市三模）解方程組ax+by=2cx-7y=8時(shí)，一學(xué)生把c看錯(cuò)而得到x=-2,y=2,而正確的解是x=3,y=-2,那么a+b-c= .
2．（2021·廣東汕頭·一模）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x-by=-10②，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=-3y=1乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為x=5y=-4
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+m=0兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足7x1-2x2=7，求實(shí)數(shù)m的值．
?題型12 解二元一次方程組--同解方程組
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
2．（2024·廣東江門(mén)·一模）已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，求△ABC的面積．
?題型13 解二元一次方程組—拓展
1．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）閱讀素材并解決問(wèn)題．
2．（2023·浙江臺(tái)州·三模）密度是物質(zhì)的重要屬性，生產(chǎn)、生活中常常需要測(cè)量各種液體的密度．某同學(xué)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中自制了測(cè)量液體密度的杠桿密度計(jì)，可以從杠桿上的刻度直接讀出液體密度的數(shù)值，受到了老師的肯定和表?yè)P(yáng)，結(jié)構(gòu)如圖所示．所用器材：輕質(zhì)杠桿（自身重力忽略不計(jì)）、兩種規(guī)格的空桶（100mL和200mL）、質(zhì)量為m的物體A、細(xì)線．設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

(1)將杠桿在O點(diǎn)懸掛起來(lái)，空桶懸掛在B點(diǎn)，質(zhì)量為m的物體A懸掛在C點(diǎn)時(shí)，杠桿水平平衡．測(cè)出B點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l，C點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l0，此時(shí)滿足G桶?l=GA?l0，即：G桶?l=mg?l0，則C點(diǎn)的密度刻度線應(yīng)標(biāo)注為 ；
(2)在B點(diǎn)的空桶內(nèi)注滿液體，空桶容積為V，移動(dòng)物體A至C1位置，使杠桿在水平位置平衡．C1點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l1，此時(shí)滿足G桶+G液?l=GA?l1，即：G桶+ρ液Vg?l=mg?l1，則C1點(diǎn)的密度值為 （用m、V、l、l0、l1表示）；
(3)已知密度為1.0×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離為4cm，求密度為0.8×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離是多少cm？
(4)要使制作的杠桿密度計(jì)測(cè)量精度更高一些，應(yīng)選擇規(guī)格的空桶（選填“100mL”或“200mL”）．
3．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考
小敏在九年級(jí)復(fù)習(xí)階段，針對(duì)“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).
任務(wù)：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C． 數(shù)形結(jié)合 D．分類(lèi)討論
(2)解方程23x+4=2+x的步驟從第__________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_________________，方程正確的解為_(kāi)__________________________.
(3)實(shí)際上，除了解二元一次方程組外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí).例如：可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)一元一次方程的解，請(qǐng)你再舉出一例；
?題型14 中考最熱考法之以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程組
1．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）以下是圓圓解方程x+12-x-33=1的解答過(guò)程．
解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1
去括號(hào)，得3x+1-2x+3=1
移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得x=-3．
(1)圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程；
(2)請(qǐng)嘗試解方程x+10.2-x-30.3=1．
2．（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：x-2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：將y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程組的解為x=23y=73
任務(wù)一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；
任務(wù)二：小亮解方程組的過(guò)程，從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是________．
任務(wù)三：請(qǐng)寫(xiě)出方程組正確的解答過(guò)程．
3．（2023·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：--12023+-23×12-4cs60°；
（2）下面是小輝和小瑩兩位同學(xué)解方程組x-3y=-1,2x+3y=7的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
解：令x-3y=-1①2x+3y=7②
任務(wù)一：請(qǐng)你從中選擇一位同學(xué)的解題過(guò)程并解答下列問(wèn)題．
①我選擇___________同學(xué)的解題過(guò)程，該同學(xué)第一步變形的依據(jù)是___________；
②該同學(xué)從第___________開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是___________；
任務(wù)二：直接寫(xiě)出該方程組的正確解；
任務(wù)三：除以上兩位同學(xué)的方法，請(qǐng)你再寫(xiě)出一種方法（不用求解）．
?題型15 列方程（組）
1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書(shū)中記載：今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)：人與車(chē)各幾何？大意：若3人坐一輛車(chē)，則兩輛車(chē)是空的；若2人坐一輛車(chē)，則9人需要步行，問(wèn)：人與車(chē)各多少？小青根據(jù)題意列出方程組y+2=3xy-9=2x小云根據(jù)題意列出一元一次方程3x-2=2x+9，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．小青正確，小云錯(cuò)誤B．小青錯(cuò)誤，小云正確
C．小青、小云都正確D．小青、小云都錯(cuò)誤
2．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）地理老師介紹道：長(zhǎng)江比黃河長(zhǎng)836千米，黃河長(zhǎng)度的6倍比長(zhǎng)江長(zhǎng)度的5倍多1284千米，小東根據(jù)地理教師的介紹，設(shè)長(zhǎng)江長(zhǎng)為x千米，黃河長(zhǎng)為y千米，然后通過(guò)列、解二元一次方程組，正確的求出了長(zhǎng)江和黃河的長(zhǎng)度，那么小東列的方程組可能是（ ）
A．x-y=8365x-6y=1284B．x-y=8366x-5y=1284C．x+y=8366y-5x=1284D．x-y=8366y-5x=1284
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清酒、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（ ）
A．x+y=510x+3y=30B．x+3y=53x+10y=30C．x+3y=30x10+y3=5D．x+y=30x3+y10=5
4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）成語(yǔ)“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的34，猴子們對(duì)于這個(gè)安排很不滿意，于是老翁進(jìn)行調(diào)整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂，這樣早上的糧食是晚上的43，猴子們對(duì)這樣的安排非常滿意．設(shè)調(diào)整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，則可列方程組為（ ）
A．x=43yx+2=34(y-2)B．x=34yx+2=43(y-2)C．x=34yx-2=43yD．x=43yx-2=34(y+2)
5．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）某車(chē)間有20名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個(gè)螺母或900個(gè)螺絲．一個(gè)螺絲需要配兩個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺絲與螺母剛好配套，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意可列方程為 ．
6．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車(chē)，二車(chē)空：二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人車(chē)各幾何？譯文為：今有若干人乘車(chē)，每3人共乘一車(chē)，剛好每車(chē)坐滿后還剩余2輛車(chē)沒(méi)人坐；若每2人共乘一車(chē)，最終剩余9個(gè)人無(wú)車(chē)可乘只能步行，問(wèn)共有多少人，多少輛車(chē)？設(shè)共有x輛車(chē)，則可列方程 ．
?題型16 一元一次方程的應(yīng)用
1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）2024年3月22日，“世界水日”、“中國(guó)水周”山西省宣傳活動(dòng)在太原啟動(dòng)，本1次活動(dòng)，旨在調(diào)動(dòng)全社會(huì)各方力量團(tuán)結(jié)治水興水，吸引并推動(dòng)社會(huì)公眾關(guān)心支持水利事業(yè)為貫徹落實(shí)本次活動(dòng)精神，太原市現(xiàn)計(jì)劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊(duì)活單獨(dú)修需20天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要的天數(shù)比甲工程隊(duì)單獨(dú)完成天數(shù)的35多少2天．
(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要多少天？
(2)若甲先單獨(dú)修5天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)分別表示a，b，且a，b分別是3，-2兩數(shù)中的一個(gè)．
(1)求a-b的值；
(2)若在數(shù)軸上添加點(diǎn)C，其表示的數(shù)為c，且a-b-c的值與a，b，c三數(shù)的平均數(shù)相等，求c的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)C的位置．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）為助力環(huán)保事業(yè)，某企業(yè)先將該月銷(xiāo)售的A 款產(chǎn)品所有營(yíng)收的40%捐給中國(guó)環(huán)?；饡?huì)，后同樣再次捐贈(zèng)該月銷(xiāo)售的B款產(chǎn)品所有營(yíng)收的50%，已知該月銷(xiāo)售A、B兩款產(chǎn)品共1000個(gè)，A款產(chǎn)品每個(gè)售價(jià)為100元，B款產(chǎn)品每個(gè)售價(jià)為120元，設(shè)該月銷(xiāo)售A款產(chǎn)品x個(gè)．
(1)該企業(yè)第一次捐贈(zèng) 元，第二次捐贈(zèng) 元；(用含x的式子表示)
(2)該企業(yè)兩次共捐贈(zèng)48000元，那么該企業(yè)月銷(xiāo)售A、B兩款產(chǎn)品各多少個(gè)？
4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中記載：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)人和車(chē)各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車(chē)，每3人乘一車(chē)，最終剩余2輛空車(chē)；若每2人同乘一車(chē)，最終剩下9人因無(wú)車(chē)可乘而步行，問(wèn)有多少人，多少輛車(chē)？”試求有多少人，多少輛車(chē)．
?題型17 二元一次方程組的應(yīng)用
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）每年5—7月份，某商家都會(huì)在線上平臺(tái)開(kāi)設(shè)的網(wǎng)店銷(xiāo)售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個(gè)星期兩種水果的銷(xiāo)售信息（荔枝2kg/箱，龍眼2.5kg/箱）．
這個(gè)星期網(wǎng)店銷(xiāo)售荔枝和龍眼共1150kg，獲利9600元，求這個(gè)星期網(wǎng)店銷(xiāo)售荔枝和龍眼各多少箱．
2．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校課后服務(wù)開(kāi)展有聲有色，這個(gè)學(xué)期因更多的學(xué)生選擇足球和籃球班，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)若干個(gè)足球和籃球．已知籃球和足球的單價(jià)相差30元，且購(gòu)買(mǎi)4個(gè)足球的費(fèi)用與購(gòu)買(mǎi)3個(gè)籃球的費(fèi)用相同，求每個(gè)籃球和足球價(jià)格分別是多少元？
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)·書(shū)香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購(gòu)買(mǎi)一套服裝．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)買(mǎi)1套男裝和1套女裝共需220元；購(gòu)買(mǎi)6套男裝與購(gòu)買(mǎi)5套女裝的費(fèi)用相同．男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）（綜合與實(shí)踐）如圖，某綜合實(shí)踐小組在課后利用小球和水做實(shí)驗(yàn)，根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)放入一個(gè)小球水面升高 cm，放入一個(gè)大球水面升高 cm；
(2)如果放入10個(gè)球且使水面恰好上升到52cm，應(yīng)放入大球、小球各多少個(gè)？
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校七年級(jí)為了開(kāi)展球類(lèi)興趣小組，需要購(gòu)買(mǎi)一批足球和籃球．若購(gòu)買(mǎi)4個(gè)籃球和3個(gè)足球需花費(fèi)530元，若購(gòu)買(mǎi)1個(gè)籃球和6個(gè)足球需花費(fèi)500元．求籃球和足球的單價(jià)各是多少元？
?題型18 中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用
1．（2024·江西吉安·三模）小亮在實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒(méi)有找到天平稱取實(shí)驗(yàn)所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質(zhì)量（杠桿原理：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂）．如圖1，當(dāng)天平左盤(pán)放置質(zhì)量為60克的物品時(shí)，右盤(pán)中放置20克砝碼天平平衡；如圖2，將待稱的藥品放在右盤(pán)后，左盤(pán)放置15克砝碼，才可使天平再次平衡，則該藥品的質(zhì)量是 克．

2．（2024·河南漯河·二模）綜合與實(shí)踐：如何稱量一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量？
如圖是一架自制天平，支點(diǎn)O固定不變，左側(cè)托盤(pán)固定在點(diǎn)A處，右側(cè)托盤(pán)（點(diǎn)P）可以在橫梁BC段滑動(dòng)（點(diǎn)P不與B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝碼的質(zhì)量為100g．根據(jù)杠桿原理，平衡時(shí)：左盤(pán)砝碼質(zhì)量×OA=右盤(pán)物體質(zhì)量×OP（不計(jì)托盤(pán)與橫梁質(zhì)量）．
(1)設(shè)右側(cè)托盤(pán)中放置物體的質(zhì)量為yg，OP的長(zhǎng)為xcm，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
(2)由于一個(gè)空的礦泉水瓶太輕無(wú)法稱量，小組進(jìn)行如下操作：左側(cè)托盤(pán)放置砝碼，右側(cè)托盤(pán)的點(diǎn)P由點(diǎn)C向點(diǎn)B滑動(dòng)，向空瓶中加入28g的水后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P移動(dòng)到PC的長(zhǎng)為15cm時(shí)，天平平衡．求這個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量．
3．（2024·河南商丘·二模）高鐵站候車(chē)廳的飲水機(jī)（圖1）上有溫水、開(kāi)水兩個(gè)按鈕，示意圖如圖2所示．小明先接溫水再接開(kāi)水，打算接500mL的水，期間不計(jì)熱損失．利用圖中信息解決下列問(wèn)題：
(1)若小明先接溫水19s，求需再接開(kāi)水的時(shí)間．
(2)設(shè)接溫水的時(shí)間為xs，水杯中水的溫度為y℃．
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
②求水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時(shí)，至少需要接多少mL的溫水?
?題型19 洛書(shū)
1．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）幻方，相傳最早見(jiàn)于我國(guó)的“洛書(shū)”，如圖1的洛書(shū)，每一行、每一列以及每條斜對(duì)角線上的點(diǎn)數(shù)之和都相等，轉(zhuǎn)換為數(shù)字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據(jù)三階幻方規(guī)則，由圖3中已知數(shù)求出x-y的值為（ ）
A．-3B．3C．-2D．2
2．（2023·江蘇蘇州·二模）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方，圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是( )
A．13B．12C．11D．10
3．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個(gè)較小的三角形和3個(gè)較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為7+3+5=15，該圖中每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．
（1）若圖2滿足三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為15，n=7，則m= ；A處的數(shù)值為 ；
（2）x的值為 ．
4．（2024·四川德陽(yáng)·二模）幻方是一種中國(guó)傳統(tǒng)游戲，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，表1是一個(gè)已完成的幻方．表2是一個(gè)未完成的幻方，其中A-B的值為 ．
表1
表2
5．（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國(guó)古代夏禹時(shí)期的“洛書(shū)”(如圖①)，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，洛書(shū)就是一個(gè)三階幻方(如圖②)．
（1）觀察圖②，根據(jù)九宮圖中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出幻方需要滿足的條件是 ；
（2）若圖③是一個(gè)幻方，求圖中a= ，b=
1．（2024·浙江·中考真題）有編號(hào)分別為①~⑧的8個(gè)球，其中6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)都輕1克，為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，則兩個(gè)輕球的編號(hào)應(yīng)該是（ ）
A．④⑤B．③⑥C．③⑤D．③④
2．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：a?b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0,例如：-2?4=(-2)2-4=0，2?3=-2+3=1．若x?1=-34，則x的值為 ．
3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+y=bcx-y=d的解是x=3y=-2，則關(guān)于x、y的方程組ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d的解是 ．
4．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫(xiě)成m2-n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2-n的過(guò)程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?02=252-23，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602=252-23的過(guò)程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是 ．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A=m2-n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n=k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為 ．
5．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一個(gè)圓柱體容器，其底部有三個(gè)完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個(gè)小球，每個(gè)小球標(biāo)有從1至9中選取的一個(gè)數(shù)字，且每個(gè)小球所標(biāo)數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個(gè)小球放入容器中，搖動(dòng)容器使這三個(gè)小球全部落入不同的小孔槽（每個(gè)小孔槽只能容下一個(gè)小球），取出小球記錄下各小孔槽的計(jì)分（分?jǐn)?shù)為落入該小孔槽小球上所標(biāo)的數(shù)字），完成第一次操作．再重復(fù)以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計(jì)分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計(jì)分最高的是乙槽，則第二次操作計(jì)分最低的是 （從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．
6．（2024·山西·中考真題）健康中國(guó)，營(yíng)養(yǎng)先行．今年5月12日-18日是第十屆全民營(yíng)養(yǎng)周，社區(qū)食堂在全民營(yíng)養(yǎng)周到來(lái)之際，推出系列營(yíng)養(yǎng)套餐，其中營(yíng)養(yǎng)套餐A的菜品如下圖所示．
(1)該套餐中的蛋白質(zhì)和脂肪這兩類(lèi)營(yíng)養(yǎng)素主要來(lái)自清蒸魚(yú)塊和滑炒雞丁，每100克清蒸魚(yú)塊和滑炒雞丁中的蛋白質(zhì)和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸魚(yú)塊和滑炒雞丁兩道菜品提供的蛋白質(zhì)、脂肪量應(yīng)分別為34克、24.8克、求每份該種套餐中清蒸魚(yú)塊和滑炒雞丁兩道菜品各有多少克；
(2)按配餐要求，每份素炒時(shí)蔬中芹菜與西蘭花共260克，已知每100克芹菜與每100克西蘭花分別含有1.5克、2.5克的膳食纖維，若要使每份素炒時(shí)蔬中所含的膳食纖維不少于5克，則每份素炒時(shí)蔬中西蘭花至少有多少克？
1．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問(wèn)題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，則下列方程正確的是（ ）
A．17x+19x=1B．17x-19x=1C．9x+7x=1D．9x-7x=1
2（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問(wèn)快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
3．（2024·山東日照·中考真題）我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托，問(wèn)索、竿各長(zhǎng)幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問(wèn)繩和竿各有多長(zhǎng)？”設(shè)繩長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意得（ ）（注：“托”和“尺”為古代的長(zhǎng)度單位，1托=5尺）
A．x-y=5y-12x=5B．y-x=512x-y=5C．x-y=52x=y+5D．x-y=5y-2x=5
4．（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從A地勻速出發(fā)，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，駐足交流10 min后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚出發(fā)30 min，跑步到達(dá)B地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離ym與甲出發(fā)的時(shí)間xmin之間的函數(shù)關(guān)系．( )
那么以下結(jié)論：①甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，乙的鍛煉用時(shí)為20min；②甲出發(fā)86 min時(shí)，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值3600 m；③甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后100 min；④A，B兩地之間的距離是11200 m．其中正確的結(jié)論有：
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
5．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂(lè)器之王”的美稱，鍵盤(pán)上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè)．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個(gè)數(shù)．
6．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開(kāi)始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．
7．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：
(1)x-y=03x+y=4(2)3x-6

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