一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 比小1的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. “陀螺”一詞的正式出現(xiàn)是在明朝時(shí)期，打陀螺是一項(xiàng)深受各民族群眾喜愛的體育運(yùn)動(dòng)，如圖是一個(gè)水平放置的木陀螺（上面是圓柱體，下面是圓錐體）玩具，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
3. 據(jù)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)數(shù)據(jù)顯示，截至2025年2月13日19時(shí)，電影《哪吒之魔童鬧?！菲狈浚êA(yù)售）破100億元，成為中國(guó)電影史上首部票房過(guò)百億的影片．?dāng)?shù)據(jù)“100億”用科學(xué)記數(shù)法可示為（ ）
A. B. C. D.
4. 一把直尺和一個(gè)含角的三角板按如圖所示方式疊合在一起，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
5. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
6. 如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
7. 數(shù)形結(jié)合是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用思想方法．如圖，一次函數(shù)與（m，n為常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)，則不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 安全教育是學(xué)校的生命線．某學(xué)校政教處舉行了主題為“安全教育”的手抄報(bào)評(píng)比活動(dòng)，設(shè)置了“交通安全”“消防安全”和“校園安全”三個(gè)主題內(nèi)容．小剛與小穎參加活動(dòng)選中的主題不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)F處，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
10. 小帥同學(xué)在“探究通過(guò)導(dǎo)體的電流與其兩端電壓的關(guān)系”時(shí)將記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)整理作出了如圖所示的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 甲、乙兩圖象均為正比例函數(shù)圖象
B. 當(dāng)在導(dǎo)體乙的兩端加上1V的電壓時(shí)，通過(guò)乙導(dǎo)體的電流為0.2A
C. 在導(dǎo)體的電阻一定時(shí)，導(dǎo)體中的電流跟導(dǎo)體兩端的電壓成正比
D. 依據(jù)圖象可得：導(dǎo)體電阻分別為，
二、填空題（每題3分，共15分）
11. 一支工程隊(duì)每天修路a米，則b天可修路______米．
12. 若，則______．
13. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”對(duì)應(yīng)蛇，其古文“巳”是蛇的形象表達(dá)（如圖）．在對(duì)某地區(qū)初中學(xué)生進(jìn)行的一次關(guān)于傳統(tǒng)文化知識(shí)的調(diào)查中，隨機(jī)抽查了300名學(xué)生，其中知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的學(xué)生有200名，若該地區(qū)共有初中學(xué)生6000名，據(jù)此樣本估計(jì)，該地區(qū)知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的初中學(xué)生大約有______名．
14. 如圖，在矩形中，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作的切線交于點(diǎn)G，切點(diǎn)為點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為______．
15. 邊長(zhǎng)為的等邊三角形內(nèi)接于，長(zhǎng)度為2的線段繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)的長(zhǎng)為______．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16. 計(jì)算或化簡(jiǎn)
（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
17. 校園配餐備受關(guān)注，為讓廣大學(xué)生吃到安全放心的配餐，質(zhì)量監(jiān)督部門針對(duì)甲、乙兩家配餐公司生產(chǎn)的同一種套餐的品質(zhì)（衛(wèi)生、口味等）進(jìn)行了抽樣調(diào)查．相同條件下，隨機(jī)抽取了兩家公司的套餐各7份樣品，對(duì)套餐的品質(zhì)進(jìn)行評(píng)分（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理，下面給出兩家公司套餐得分的統(tǒng)計(jì)圖表．
甲、乙兩家配餐公司套餐得分表
甲、乙兩家配餐公司套餐得分統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）上述圖表中______，______；
（2）從方差的角度看，______公司套餐的得分較穩(wěn)定．（填“甲”或“乙”）
（3）你認(rèn)為哪家公司套餐品質(zhì)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由．
18. 如圖，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．
（3）將菱形向右平移4.5個(gè)單位時(shí)，對(duì)角線的中點(diǎn)所在的反比例函數(shù)的解析式為______．
19. 如圖，在中，．
（1）在上方求作一點(diǎn)D，使，且．（要求：請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）連接．求證：四邊形為矩形．
20. 古代紡紗工具——手搖紡車，據(jù)推測(cè)出現(xiàn)在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，常見由木架、錠子、繩輪和手柄四部分組成，常見的手搖紡車是錠子在左，繩輪和手柄在右，中間用繩弦傳動(dòng)，稱為臥式（如圖1）．另一種手搖紡車，則是把錠子安裝在繩輪之上，也是用繩弦傳動(dòng)，稱為立式（如圖2）．臥式由一人操作，而立式需要兩人同時(shí)配合操作，因臥式更適合一家一戶的農(nóng)村副業(yè)之用，故一直沿習(xí)流傳至今．
某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組對(duì)臥式手搖鏟車紡線時(shí)的場(chǎng)景進(jìn)行了探究：紡線時(shí)（如圖3），木架水平放置．即繩輪與水平面相切于點(diǎn)，線繩繞過(guò)繩輪匯聚于點(diǎn)處放置的錠子上，即線繩與相切于點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)的直徑與交于點(diǎn)（圖中點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．

（1）求證：．
（2）該小組在實(shí)踐過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紡車的繩輪半徑為，且圓心與處錠子之間的水平距離在之間時(shí)，紡線較為舒適．若，，請(qǐng)判斷該紡車紡線時(shí)是否舒適并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
21. 2025年3月12日是我國(guó)第47個(gè)植樹節(jié)．植樹節(jié)前，某校計(jì)劃采購(gòu)一批樹苗參加植樹節(jié)活動(dòng)．經(jīng)了解，每棵乙種樹苗比每棵甲種樹苗貴10元，用900元購(gòu)買甲種樹苗棵數(shù)恰好與用1200元購(gòu)買乙種樹苗的棵數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格；
（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共600棵，經(jīng)過(guò)與供貨商溝通，每棵甲種樹苗的售價(jià)不變，每棵乙種樹苗的售價(jià)打9折，若要求購(gòu)買時(shí)甲種樹苗的數(shù)量不超過(guò)乙種樹苗數(shù)量的2倍，則學(xué)校應(yīng)該如何設(shè)計(jì)購(gòu)買方案，才能使購(gòu)買樹苗的總費(fèi)用最少？
22. 如圖，將球從點(diǎn)O的正上方的點(diǎn)A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度與運(yùn)行的水平距離滿足關(guān)系式．
（1）若當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為時(shí)，小球能達(dá)到最大高度，則小球達(dá)到的最大高度為______m．
（2）若小球達(dá)到的最大高度為，求此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離．
（3）在（2）的條件下，在小球的正前方（）處放一個(gè)截面為長(zhǎng)方形的球筐，其中為，為．小明說(shuō)小球能落入筐中，請(qǐng)判斷他的說(shuō)法是否正確．若正確，請(qǐng)直接寫出小球落在筐底處的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．（不考慮其它因素）
23. 綜合與實(shí)踐
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)“對(duì)等垂美四邊形”進(jìn)行研究．定義：對(duì)角線相等且垂直的四邊形叫作對(duì)等垂美四邊形．
（1）定義理解
請(qǐng)?jiān)谙旅嫒鐖D1所示的網(wǎng)格中確定兩點(diǎn)C和D，使四邊形為對(duì)等垂美四邊形，且C和D均在格點(diǎn)上．（畫出一種即可）
（2）深入探究
如圖2，在對(duì)等垂美四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，且，．將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、．如圖3．請(qǐng)判斷四邊形是否為對(duì)等垂美四邊形，并說(shuō)明理由．（僅就圖3的情況證明即可）
（3）拓展運(yùn)用
在（2）的條件下，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)到的距離．
2025年春期九年級(jí)調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 比小1的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)減法的運(yùn)算，根據(jù)題意得，計(jì)算結(jié)果即可．
【詳解】解：由題意得：，
即比小1的數(shù)是；
故選：A．
2. “陀螺”一詞的正式出現(xiàn)是在明朝時(shí)期，打陀螺是一項(xiàng)深受各民族群眾喜愛的體育運(yùn)動(dòng)，如圖是一個(gè)水平放置的木陀螺（上面是圓柱體，下面是圓錐體）玩具，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：從正面看到的圖形是一個(gè)等腰三角形，和一個(gè)矩形，并且矩形在等腰三角形的正中間，即看到的圖形如下：
，
故選：A．
3. 據(jù)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)數(shù)據(jù)顯示，截至2025年2月13日19時(shí)，電影《哪吒之魔童鬧?！菲狈浚êA(yù)售）破100億元，成為中國(guó)電影史上首部票房過(guò)百億的影片．?dāng)?shù)據(jù)“100億”用科學(xué)記數(shù)法可示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于10時(shí)，n是負(fù)數(shù)，由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：100億，
故選：C．
4. 一把直尺和一個(gè)含角的三角板按如圖所示方式疊合在一起，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
直接利用“兩直線平行，同位角相等”結(jié)合平角即可求解．
【詳解】解：如圖：由題意得：，
，
∵，
∴ ，
∵，
，
故選：B．
5. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式，先把方程化為一般式得到，再利用根的判別式解關(guān)于的方程即可．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
【詳解】解：由題意，可知，則0，解得，
故選：B．
6. 如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)G，連接，在中，根據(jù)，是的平分線，可得，即得，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，根據(jù)即可求出答案．
【詳解】解：取的中點(diǎn)G，連接，
在中，，
，
又是的平分線，
，
，
，
O是的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
，，
G是的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
，，
，
O，F(xiàn)，G在同一條直線上，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7. 數(shù)形結(jié)合是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)與（m，n為常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)，則不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方，
所以關(guān)于x的不等式的解集是，
所以在數(shù)軸上表示的解集，只有選項(xiàng)C符合．
故選：C．
8. 安全教育是學(xué)校的生命線．某學(xué)校政教處舉行了主題為“安全教育”的手抄報(bào)評(píng)比活動(dòng)，設(shè)置了“交通安全”“消防安全”和“校園安全”三個(gè)主題內(nèi)容．小剛與小穎參加活動(dòng)選中的主題不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．本題共有9種可能的結(jié)果，其中小剛與小穎他們兩人選取不同主題的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：把“交通安全”“消防安全” “校園安全”四個(gè)主題內(nèi)容分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：
本題共有9種可能的結(jié)果，其中小剛與小穎他們兩人選取不同主題的結(jié)果有6種，
小剛與小穎兩人選取主題不相同的概率是，
故選：．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)F處，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查圖形與坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，，由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則有，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理可建立方程進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)，則有，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴；
故選B．
10. 小帥同學(xué)在“探究通過(guò)導(dǎo)體的電流與其兩端電壓的關(guān)系”時(shí)將記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)整理作出了如圖所示的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 甲、乙兩圖象均為正比例函數(shù)圖象
B. 當(dāng)在導(dǎo)體乙的兩端加上1V的電壓時(shí)，通過(guò)乙導(dǎo)體的電流為0.2A
C. 在導(dǎo)體的電阻一定時(shí)，導(dǎo)體中的電流跟導(dǎo)體兩端的電壓成正比
D. 依據(jù)圖象可得：導(dǎo)體電阻分別為，
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查函數(shù)圖像的信息識(shí)別，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖像判斷信息即可得到答案．
【詳解】解：A．兩圖象均過(guò)原點(diǎn)，均為正比例函數(shù)圖象，故A正確，不符合題意；
B．由圖象可知，在導(dǎo)體乙兩端的電壓為1 V時(shí)，電流為0.1A，故B錯(cuò)誤，符合題意；
C．甲、乙兩圖象都是過(guò)原點(diǎn)的直線，說(shuō)明通過(guò)導(dǎo)體的電流與導(dǎo)體兩端的電壓成正比，故C正確，不符合題意；
D．甲導(dǎo)體的電阻為，乙導(dǎo)體的電阻為，故D正確，不符合題意．
故選：B．
二、填空題（每題3分，共15分）
11. 一支工程隊(duì)每天修路a米，則b天可修路______米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解“工作效率乘以工作時(shí)間等于工作量”是解題關(guān)鍵．
根據(jù)“工作效率乘以工作時(shí)間等于工作量”即可列代數(shù)式．
【詳解】解：每天修路a米，則b天可修路米，
故答案為：．
12. 若，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及解二元一次方程組等知識(shí)，利用兩式相加即可得到，整體代入即可得到所求代數(shù)式的值，熟悉二元一次方程組的解法及整體代入求代數(shù)式的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
由得，則，
∴．
故答案為：4．
13. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”對(duì)應(yīng)蛇，其古文“巳”是蛇的形象表達(dá)（如圖）．在對(duì)某地區(qū)初中學(xué)生進(jìn)行的一次關(guān)于傳統(tǒng)文化知識(shí)的調(diào)查中，隨機(jī)抽查了300名學(xué)生，其中知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的學(xué)生有200名，若該地區(qū)共有初中學(xué)生6000名，據(jù)此樣本估計(jì)，該地區(qū)知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的初中學(xué)生大約有______名．
【答案】4000
【解析】
【分析】本題考查了利用樣本估計(jì)總體，熟練掌握利用樣本估計(jì)總體的方法是解題關(guān)鍵．利用該地區(qū)初中學(xué)生的總?cè)藬?shù)乘以知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的學(xué)生人數(shù)所占的百分比即可得．
【詳解】解：（名），
所以據(jù)此樣本估計(jì)，該地區(qū)知道上述傳統(tǒng)文化知識(shí)的初中學(xué)生大約有4000名，
故答案：4000．
14. 如圖，在矩形中，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作的切線交于點(diǎn)G，切點(diǎn)為點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角函數(shù)及扇形面積，熟練掌握矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角函數(shù)及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵；連接，由題意易得，，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及割補(bǔ)法可進(jìn)行求解．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵四邊形是矩形，，
∴，
∵過(guò)點(diǎn)B作的切線交于點(diǎn)G，切點(diǎn)為點(diǎn)F，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案為：．
15. 邊長(zhǎng)為的等邊三角形內(nèi)接于，長(zhǎng)度為2的線段繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)的長(zhǎng)為______．
【答案】2或4
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，解直角三角形．分當(dāng)點(diǎn)在上和點(diǎn)在上兩種情況討論，利用垂徑定理求得半徑為2，推出是等邊三角形，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，作，垂足為，連接，
∵，
∴，
∵等邊三角形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)在半徑上，
∴是線段的垂直平分線，
∴；
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
同理，，
∴是等邊三角形，
∴，
綜上，的長(zhǎng)為2或4．
故答案為：2或4．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16. 計(jì)算或化簡(jiǎn)
（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)和分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、零指數(shù)冪分別計(jì)算，再合并即可求解；
（）根據(jù)分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
解：原式
．
17. 校園配餐備受關(guān)注，為讓廣大學(xué)生吃到安全放心的配餐，質(zhì)量監(jiān)督部門針對(duì)甲、乙兩家配餐公司生產(chǎn)的同一種套餐的品質(zhì)（衛(wèi)生、口味等）進(jìn)行了抽樣調(diào)查．相同條件下，隨機(jī)抽取了兩家公司的套餐各7份樣品，對(duì)套餐的品質(zhì)進(jìn)行評(píng)分（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理，下面給出兩家公司套餐得分的統(tǒng)計(jì)圖表．
甲、乙兩家配餐公司套餐得分表
甲、乙兩家配餐公司套餐得分統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）上述圖表中______，______；
（2）從方差的角度看，______公司套餐的得分較穩(wěn)定．（填“甲”或“乙”）
（3）你認(rèn)為哪家公司套餐的品質(zhì)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）90，96
（2）乙 （3）乙公司，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)與眾數(shù)、方差，熟練掌握中位數(shù)和方差的意義是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中位數(shù)以及眾數(shù)的定義求解即可．
（2）先利用方差公式求出方差，再根據(jù)方差的意義即可得；
（3）從中位數(shù)和方差的意義進(jìn)行分析即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：乙公司套餐得分從低到高，處于最中間的是90，
故，
甲公司套餐得分出現(xiàn)次數(shù)最多的是96，
故．
【小問(wèn)2詳解】
解：甲公司套餐得分方差為：，
乙公司套餐得分方差為：，
，
乙公司套餐的得分較穩(wěn)定；
【小問(wèn)3詳解】
解：甲、乙兩家公司套餐得分的平均數(shù)相同，乙公司的穩(wěn)定性較好，
選擇乙公司套餐品質(zhì)較好．
18. 如圖，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．
（3）將菱形向右平移4.5個(gè)單位時(shí)，對(duì)角線的中點(diǎn)所在的反比例函數(shù)的解析式為______．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，畫反比例函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）由圖形可知，，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式描點(diǎn)畫圖即可；
（3）先求出平移后的、坐標(biāo)，進(jìn)而得到對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由圖形可知，，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
，
，
這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
描點(diǎn)畫圖如下：
【小問(wèn)3詳解】
解：由圖形可知，，，
菱形向右平移4.5個(gè)單位，
平移后的坐標(biāo)，，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)對(duì)角線的中點(diǎn)所在的反比例函數(shù)的解析式為，
，
解得：，
對(duì)角線的中點(diǎn)所在的反比例函數(shù)的解析式為．
19. 如圖，在中，．
（1）在的上方求作一點(diǎn)D，使，且．（要求：請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）連接．求證：四邊形為矩形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了基本作圖，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握基本作圖及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）首先以點(diǎn)B圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，然后作，與弧交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求；
（2）連接，可證明，得到，再證明，即可得到四邊形為平行四邊形，最后結(jié)合，即可證明結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
證明：連接，
由（1）知，，
又，
，
，
又，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為矩形．
20. 古代紡紗工具——手搖紡車，據(jù)推測(cè)出現(xiàn)在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，常見由木架、錠子、繩輪和手柄四部分組成，常見的手搖紡車是錠子在左，繩輪和手柄在右，中間用繩弦傳動(dòng)，稱為臥式（如圖1）．另一種手搖紡車，則是把錠子安裝在繩輪之上，也是用繩弦傳動(dòng)，稱為立式（如圖2）．臥式由一人操作，而立式需要兩人同時(shí)配合操作，因臥式更適合一家一戶的農(nóng)村副業(yè)之用，故一直沿習(xí)流傳至今．
某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組對(duì)臥式手搖鏟車紡線時(shí)的場(chǎng)景進(jìn)行了探究：紡線時(shí)（如圖3），木架水平放置．即繩輪與水平面相切于點(diǎn)，線繩繞過(guò)繩輪匯聚于點(diǎn)處放置的錠子上，即線繩與相切于點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)的直徑與交于點(diǎn)（圖中點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．

（1）求證：．
（2）該小組在實(shí)踐過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紡車的繩輪半徑為，且圓心與處錠子之間的水平距離在之間時(shí)，紡線較為舒適．若，，請(qǐng)判斷該紡車紡線時(shí)是否舒適并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）證明見解析
（2）該紡車紡線時(shí)不舒適．理由見解析
【解析】
【分析】（1）由和為的切線，得到，在四邊形中得到，再由，即可得到；
（2）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中和在中，由三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，最后由即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：和為的切線，
，
，
在四邊形中，
，
，
又，
；
【小問(wèn)2詳解】
解：該紡車紡線時(shí)不舒適，理由如下：
過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如解圖所示，則四邊形是矩形，
，
，
由題意得：，
中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
該紡車紡線時(shí)不舒適．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
21. 2025年3月12日是我國(guó)第47個(gè)植樹節(jié)．植樹節(jié)前，某校計(jì)劃采購(gòu)一批樹苗參加植樹節(jié)活動(dòng)．經(jīng)了解，每棵乙種樹苗比每棵甲種樹苗貴10元，用900元購(gòu)買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用1200元購(gòu)買乙種樹苗的棵數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格；
（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共600棵，經(jīng)過(guò)與供貨商溝通，每棵甲種樹苗的售價(jià)不變，每棵乙種樹苗的售價(jià)打9折，若要求購(gòu)買時(shí)甲種樹苗的數(shù)量不超過(guò)乙種樹苗數(shù)量的2倍，則學(xué)校應(yīng)該如何設(shè)計(jì)購(gòu)買方案，才能使購(gòu)買樹苗的總費(fèi)用最少？
【答案】（1）甲種樹苗每棵的價(jià)格是30元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是40元
（2）購(gòu)買甲種樹苗400棵，乙種樹苗200棵，總費(fèi)用最少
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，正確建立方程和熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是元，根據(jù)用900元購(gòu)買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用1200元購(gòu)買乙種樹苗的棵數(shù)相同建立方程，解方程，并進(jìn)行檢驗(yàn)即可得；
（2）設(shè)購(gòu)買乙種樹苗棵，總費(fèi)用為元，則購(gòu)買甲種樹苗棵，先求出，再根據(jù)費(fèi)用與價(jià)格、棵數(shù)的關(guān)系建立與的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是元．
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，
則，
答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是30元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是40元．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)購(gòu)買乙種樹苗棵，總費(fèi)用為元，則購(gòu)買甲種樹苗棵，
∵要求購(gòu)買時(shí)，甲種樹苗的數(shù)量不超過(guò)乙種樹苗數(shù)量的2倍，
∴，
∴，
由題意得：，
∵一次函數(shù)中的，
∴在內(nèi)，隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
此時(shí)，
答：購(gòu)買甲種樹苗400棵，乙種樹苗200棵，總費(fèi)用最少．
22. 如圖，將球從點(diǎn)O的正上方的點(diǎn)A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度與運(yùn)行的水平距離滿足關(guān)系式．
（1）若當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為時(shí)，小球能達(dá)到最大高度，則小球達(dá)到的最大高度為______m．
（2）若小球達(dá)到的最大高度為，求此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離．
（3）在（2）的條件下，在小球的正前方（）處放一個(gè)截面為長(zhǎng)方形的球筐，其中為，為．小明說(shuō)小球能落入筐中，請(qǐng)判斷他的說(shuō)法是否正確．若正確，請(qǐng)直接寫出小球落在筐底處的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．（不考慮其它因素）
【答案】（1）
（2）小球達(dá)到的最大高度為時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為
（3）小明的說(shuō)法正確，坐標(biāo)為
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量值．
（1）根據(jù)題意求出，再將代入中求出，再利用最值公式即可求出；
（2）根據(jù)題意求出，繼而得到本題答案；
（3）先將代入中得：，再將代入中得：，即可得到小球能落入筐中，并令即可求出本題答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為時(shí)，小球能達(dá)到最大高度，
∴，解得：，
∵將球從點(diǎn)O的正上方的點(diǎn)A處發(fā)出，
∴將代入中得：，
∴，
∴小球達(dá)到的最大高度為：，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∵小球達(dá)到的最大高度為，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
答：小球達(dá)到的最大高度為時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平距離為；
【小問(wèn)3詳解】
解：判斷：小明說(shuō)法正確，理由如下：
由（2）得：，
∵，
∴將代入中得：，
∵為，
∴，
∴將代入中得：，
∵，
∴小球能落入筐中，
∴小明說(shuō)法正確，
令，即：，解得：，
∴坐標(biāo)為．
23. 綜合與實(shí)踐
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)“對(duì)等垂美四邊形”進(jìn)行研究．定義：對(duì)角線相等且垂直的四邊形叫作對(duì)等垂美四邊形．
（1）定義理解
請(qǐng)?jiān)谙旅嫒鐖D1所示的網(wǎng)格中確定兩點(diǎn)C和D，使四邊形為對(duì)等垂美四邊形，且C和D均在格點(diǎn)上．（畫出一種即可）
（2）深入探究
如圖2，在對(duì)等垂美四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，且，．將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、．如圖3．請(qǐng)判斷四邊形是否為對(duì)等垂美四邊形，并說(shuō)明理由．（僅就圖3的情況證明即可）
（3）拓展運(yùn)用
在（2）的條件下，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)到的距離．
【答案】（1）見解析 （2）四邊形對(duì)等垂美四邊形，理由見解析
（3）3或
【解析】
【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解“對(duì)等垂美四邊形”的定義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“對(duì)等垂美四邊形”的定義作圖即可；
（2）連接，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，證明得，，再證明即可得出結(jié)論；
（3）分是直角和為直角兩種情況討論求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，四邊形即為所作的對(duì)等垂美四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
是，理由如下：
解：連接，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，
由題意知，，，，
∴，
即
在和中，
∴
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴在四邊形中，，，
∴四邊形是對(duì)等垂美四邊形
小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)是直角時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，
∴點(diǎn)到的距離即為，
∵，
∴點(diǎn)到的距離為3；
當(dāng)直角時(shí)，如圖，
∵，，
∴，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，
∴，即，
∴，
綜上，點(diǎn)到的距離為3或．
1
2
3
4
5
6
7
甲公司套餐
70
85
86
88
95
96
96
乙公司套餐
80
84
86
90
90
92
94
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲公司套餐
88
88
b
乙公司套餐
88
a
90
1
2
3
4
5
6
7
甲公司套餐
70
85
86
88
95
96
96
乙公司套餐
80
84
86
90
90
92
94
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲公司套餐
88
88
b
乙公司套餐
88
a
90

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