1．本試卷共6頁(yè)，三個(gè)大題，消分120分，考試時(shí)間100分鐘．
2．不要在木試卷上答題，請(qǐng)按答題卡上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫在答題卡上．答在試卷上的答案無(wú)效．
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1. 如圖，點(diǎn)所表示的數(shù)最小的是（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)D. 點(diǎn)
2. 河南博物院是我國(guó)重要的歷史文化藝術(shù)寶庫(kù)，館藏文物豐富多樣．近期館內(nèi)新整理出一批具有代表性的文物，共有45000件．?dāng)?shù)據(jù)“45000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
3. 王維名句：“桃紅復(fù)含宿雨，柳綠更帶朝煙”，描繪了田園生活的美好．將“桃”“紅”“柳”“綠”“煙”“雨”六個(gè)漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種展開(kāi)圖，則在原正方體中，與“桃”字所在面相對(duì)面上的漢字是（ ）
A. 紅B. 柳C. 煙D. 雨
4. 下列運(yùn)算錯(cuò)誤是（ ）
A. B.
C D.
5. 燃?xì)膺M(jìn)村入戶是助推鄉(xiāng)村振興的惠民工程．為落實(shí)管道燃?xì)狻按宕逋ā惫こ蹋艿缽拇逖乇逼鞣较蜾佋O(shè)到村，如圖，若三個(gè)村莊之間的直線距離兩兩相等，則管道從村鋪設(shè)到村時(shí)，鋪設(shè)方向應(yīng)為（ ）
A. 北偏東B. 北偏東C. 北偏西D. 北偏西
6. 學(xué)校食堂有10元、11元、12元三種價(jià)位的午餐供學(xué)生選擇（每人購(gòu)一份），某天午餐銷售情況如圖所示，則當(dāng)天學(xué)生購(gòu)買午餐的平均費(fèi)用是（ ）
A. 9.9元B. 10.9元C. 11元D. 11.2元
7. 若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的值可能為（ ）
A. B. C. 0D. -1
8. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，菱形的中心與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，且點(diǎn)在第一象限的角平分線上，已知，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第98次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
10. 煙霧報(bào)警器通過(guò)監(jiān)測(cè)煙霧的濃度來(lái)實(shí)現(xiàn)火災(zāi)防范．圖為某醫(yī)院安裝的煙霧報(bào)警器，圖為其“控制電路”和“工作電路”示意圖，其中“控制電路”由光敏電阻、電磁鐵（線圈阻值）、電源電壓、開(kāi)關(guān)等組成（控制電路中的電流）；“工作電路”由工作電源、揚(yáng)聲器、指示燈、導(dǎo)線等組成．其工作原理：正常情況下，動(dòng)觸片與觸點(diǎn)接觸，指示燈正常工作．當(dāng)有煙霧時(shí)，光敏電阻接收到的光照強(qiáng)度減弱，當(dāng)減弱到一定程度時(shí)，動(dòng)觸片與觸點(diǎn)接觸，揚(yáng)聲器發(fā)出報(bào)警聲，已知觸發(fā)報(bào)警器報(bào)警的電流不變．圖為光敏電阻（單位：）與光照強(qiáng)度（單位：）之間的關(guān)系圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 光敏電阻的阻值隨光照強(qiáng)度的增大而減小
B. 當(dāng)光敏電阻的阻值為時(shí)，光照強(qiáng)度為
C. 若使得煙霧報(bào)警器可以在更低濃度的煙霧下報(bào)警，可以使控制電路電壓適當(dāng)增大
D. 當(dāng)光照強(qiáng)度為時(shí)，控制電路中的電流為
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 寫出一個(gè)使分式有意義的值：___________．
12. 三角形的三邊長(zhǎng)度數(shù)據(jù)如圖所示，則的取值范圍為_(kāi)__________．
13. 春節(jié)期間，琪琪和樂(lè)樂(lè)分別從如圖所示的三部春節(jié)檔影片中隨機(jī)選擇一部觀看，則琪琪和樂(lè)樂(lè)選擇的影片相同的概率為_(kāi)________．
14. 如圖，在中，，，以為直徑作，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是___________．
15. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16. （1）計(jì)算：．
（2）化簡(jiǎn)：．
17. 悟穎塔，位于河南省駐馬店市汝南縣蓮花廣場(chǎng)西門，因汝南素有天下正中之稱，夏至正午時(shí)分，日照塔無(wú)影，故又名無(wú)影塔．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量該塔的高度，如圖，先在點(diǎn)處放一平面鏡，沿方向前進(jìn)米到達(dá)處，此時(shí)恰好在平面鏡中看到塔的頂部點(diǎn)，再沿方向前進(jìn)米將另一面平面鏡放在處（即米），此時(shí)在距離平面鏡米的點(diǎn)處恰好再次看到塔的頂部點(diǎn)．已知觀察者眼睛到地面的距離米，點(diǎn)在同一條直線上，求無(wú)影塔的高度（結(jié)果精確到米）．
18. 4月24日是中國(guó)航天日，為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，某校甲、乙兩班聯(lián)合舉辦了“航天知識(shí)”競(jìng)賽，競(jìng)賽滿分100分，80分及以上為優(yōu)秀．從甲班和乙班各隨機(jī)抽取8名學(xué)生，對(duì)這8名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了收集、整理、分析．
【收集數(shù)據(jù)】
甲班8名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：90，93，80，80，85，80，75，75．
乙班8名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：100，90，79，90，83，85，56，75．
【整理數(shù)據(jù)】小康同學(xué)將甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了整理，并繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖．
抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)折線統(tǒng)計(jì)圖
【分析數(shù)據(jù)】甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表．
【解決問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決以下問(wèn)題：
（1）填空：___________，___________，___________（填“”“”或“”）．
（2）請(qǐng)你選擇兩個(gè)特征數(shù)進(jìn)行分析，判斷哪個(gè)班成績(jī)比較好，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
19. 如圖，為的外接圓，且為的直徑．
（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
20. 如圖，等邊三角形的邊在軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將沿軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，設(shè)平移的距離為，求的值．
21. 產(chǎn)于河南禹州的冬桃肉質(zhì)細(xì)膩，甘甜多汁，因其成熟期較晚，正好填補(bǔ)了冬季無(wú)鮮果的空白，深受市場(chǎng)青睞．果農(nóng)小王采摘了320千克的冬桃進(jìn)行線上和線下銷售，其中線下以10元/千克的標(biāo)價(jià)銷售，線上以線下標(biāo)價(jià)的七折銷售，全部售完后，銷售額為2600元．
（1）求線下和線上銷售的冬桃數(shù)量．
（2）小王又采摘了450千克冬桃進(jìn)行線上和線下銷售且售價(jià)不變，若線下銷售冬桃的數(shù)量不超過(guò)線上銷售冬桃數(shù)量的一半，且使售完這批冬桃后銷售額最大，應(yīng)如何對(duì)這批冬桃進(jìn)行銷售？
22. 在農(nóng)村，很多農(nóng)戶依然保留著手工制作粉條的習(xí)慣，流程一般為：清洗紅薯、破壁粉碎、吊坨過(guò)濾（圖）、靜置沉淀、撈取淀粉、制作粉條．吊坨過(guò)濾的截面圖可抽象為如圖所示的拋物線，已知粉坨表面寬為，粉坨最大深度為，粉坨下容器的底面直徑為，且，粉坨的最低點(diǎn)位于的正上方．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出粉坨最低點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）中所建的平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的表達(dá)式．
（3）若向粉坨中添加水（假設(shè)紗布位置形狀不變），使得粉坨表面的最大寬度不超過(guò)容器底面直徑的長(zhǎng)，則粉坨的最大深度為多少？
23. 若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且滿足兩個(gè)頂角和，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為“唯美點(diǎn)”．
【概念理解】
（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上（點(diǎn)在直線上方），且．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，則___________．
【性質(zhì)探究】
（2）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且平分，交于點(diǎn)，連接，．求證：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖，在矩形中，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，直線交直線于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
2025年河南省普通高中招生考試試卷
雙基夯實(shí)卷（一）數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)，三個(gè)大題，消分120分，考試時(shí)間100分鐘．
2．不要在木試卷上答題，請(qǐng)按答題卡上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫在答題卡上．答在試卷上的答案無(wú)效．
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1. 如圖，點(diǎn)所表示的數(shù)最小的是（ ）
A. 點(diǎn)B. 點(diǎn)C. 點(diǎn)D. 點(diǎn)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)軸的定義，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)從左往右，對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)從小到大，由此可判定．
【詳解】在水平的數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)學(xué)中規(guī)定：它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)．由圖可知，數(shù)軸上最左邊的點(diǎn)表示的數(shù)最?。?br>故選：A ．
2. 河南博物院是我國(guó)重要的歷史文化藝術(shù)寶庫(kù)，館藏文物豐富多樣．近期館內(nèi)新整理出一批具有代表性的文物，共有45000件．?dāng)?shù)據(jù)“45000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：，
故選：C．
3. 王維名句：“桃紅復(fù)含宿雨，柳綠更帶朝煙”，描繪了田園生活的美好．將“桃”“紅”“柳”“綠”“煙”“雨”六個(gè)漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種展開(kāi)圖，則在原正方體中，與“桃”字所在面相對(duì)面上的漢字是（ ）
A. 紅B. 柳C. 煙D. 雨
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，掌握正方體表面展開(kāi)圖的特征是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：由正方體的展開(kāi)圖可知，
與“桃”字所在面相對(duì)面上的漢字是“雨”，
故選：D．
4. 下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了冪的運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方計(jì)算公式、合并同類項(xiàng)法則和完全平方公式進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，原運(yùn)算正確，不符合題意；
B、，原運(yùn)算錯(cuò)誤，符合題意；
C、，原運(yùn)算正確，不符合題意；
D、，原運(yùn)算正確，不符合題意；
故選：B．
5. 燃?xì)膺M(jìn)村入戶是助推鄉(xiāng)村振興的惠民工程．為落實(shí)管道燃?xì)狻按宕逋ā惫こ?，管道從村沿北偏西方向鋪設(shè)到村，如圖，若三個(gè)村莊之間的直線距離兩兩相等，則管道從村鋪設(shè)到村時(shí)，鋪設(shè)方向應(yīng)為（ ）
A. 北偏東B. 北偏東C. 北偏西D. 北偏西
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了方位角、平行線的性質(zhì)．根據(jù)題意求得是等邊三角形，推出，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，可得，最后根據(jù)方位角的定義即可得出答案．
【詳解】解：如圖，標(biāo)記，
由題意，知，
∵三個(gè)村莊之間的直線距離兩兩相等，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴村位于村北偏東方向上，
故選：A．
6. 學(xué)校食堂有10元、11元、12元三種價(jià)位的午餐供學(xué)生選擇（每人購(gòu)一份），某天午餐銷售情況如圖所示，則當(dāng)天學(xué)生購(gòu)買午餐的平均費(fèi)用是（ ）
A. 9.9元B. 10.9元C. 11元D. 11.2元
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，分別用單價(jià)乘以相應(yīng)的百分比，計(jì)算即可得解．
【詳解】由扇形統(tǒng)計(jì)圖，知當(dāng)天10元價(jià)位的午餐銷售占比為40%，因此當(dāng)天學(xué)生購(gòu)買午餐的平均費(fèi)用是（元），
故選：B．
7. 若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的值可能為（ ）
A. B. C. 0D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了根的判別式，利用一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得．
故選：A．
8. 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，由圖象可得，即可判斷；由圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)可判斷；由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，，即可判斷；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷，據(jù)此即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象得，，
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤：
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
，
，故選項(xiàng)正確，
故選：．
9. 如圖，菱形的中心與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，且點(diǎn)在第一象限的角平分線上，已知，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第98次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到旋轉(zhuǎn)98次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)2次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)相同．據(jù)此進(jìn)行解答．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)、連接．
∵四邊形是菱形，
∴
∵
∴．
點(diǎn)在第一象限的角平分線上，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
旋轉(zhuǎn)98次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)2次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)相同．
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．
點(diǎn)坐標(biāo)為
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選 ：C．
10. 煙霧報(bào)警器通過(guò)監(jiān)測(cè)煙霧的濃度來(lái)實(shí)現(xiàn)火災(zāi)防范．圖為某醫(yī)院安裝的煙霧報(bào)警器，圖為其“控制電路”和“工作電路”示意圖，其中“控制電路”由光敏電阻、電磁鐵（線圈阻值）、電源電壓、開(kāi)關(guān)等組成（控制電路中的電流）；“工作電路”由工作電源、揚(yáng)聲器、指示燈、導(dǎo)線等組成．其工作原理：正常情況下，動(dòng)觸片與觸點(diǎn)接觸，指示燈正常工作．當(dāng)有煙霧時(shí)，光敏電阻接收到的光照強(qiáng)度減弱，當(dāng)減弱到一定程度時(shí)，動(dòng)觸片與觸點(diǎn)接觸，揚(yáng)聲器發(fā)出報(bào)警聲，已知觸發(fā)報(bào)警器報(bào)警的電流不變．圖為光敏電阻（單位：）與光照強(qiáng)度（單位：）之間的關(guān)系圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 光敏電阻的阻值隨光照強(qiáng)度的增大而減小
B. 當(dāng)光敏電阻的阻值為時(shí)，光照強(qiáng)度為
C. 若使得煙霧報(bào)警器可以在更低濃度的煙霧下報(bào)警，可以使控制電路電壓適當(dāng)增大
D. 當(dāng)光照強(qiáng)度為時(shí)，控制電路中的電流為
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)反比函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A、由題圖可知光敏電阻的直值隨光照強(qiáng)度的增大雨減小，故A選項(xiàng)正確；
B、由題圖可知圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積為定值，可得，將代入反比例函數(shù)，得；
C、要使報(bào)警器在濃度更低的煙霧下報(bào)警，此時(shí)光照強(qiáng)度增強(qiáng)，由題圖，可知光的電阻的阻值減小，從而控制電路的總電阻減?。?yàn)橛|發(fā)投資器報(bào)警的電流不交，由，可知應(yīng)減小控制電路電壓，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)光照強(qiáng)度為時(shí)，可知光敏電阻控制電路中的電流，故D選項(xiàng)正確；
故選 C．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 寫出一個(gè)使分式有意義的的值：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式有意義的條件解答即可．
【詳解】解：根據(jù)分式有意義的條件得：，
解得：，
所以當(dāng)時(shí)，分式有意義，
故答案為：（答案不唯一）．
12. 三角形的三邊長(zhǎng)度數(shù)據(jù)如圖所示，則的取值范圍為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解一元一次不等式組．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可列出不等式，求解即可．
【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，
解得．
故答案為：
13. 春節(jié)期間，琪琪和樂(lè)樂(lè)分別從如圖所示的三部春節(jié)檔影片中隨機(jī)選擇一部觀看，則琪琪和樂(lè)樂(lè)選擇的影片相同的概率為_(kāi)________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是樹狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是熟練掌握樹狀圖法．
通過(guò)樹狀圖列出所有可能性后，再根據(jù)概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比即可求解．
【詳解】解：把三部影片分別記為、、，
畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果，其中琪琪和樂(lè)樂(lè)選擇的影片相同的結(jié)果有種，
琪琪和樂(lè)樂(lè)選擇的影片相同的概率為．
故答案為：．
14. 如圖，在中，，，以為直徑作，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是___________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)求出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，再根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
【答案】5或
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑長(zhǎng)的圓，當(dāng)與相切時(shí)，最大，然后分點(diǎn)P在左側(cè)和點(diǎn)P在右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理求出，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)E在邊上，，將線段繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到線段，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑長(zhǎng)的圓，
∴當(dāng)與相切時(shí)，最大
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在左側(cè)時(shí)，
根據(jù)題意得，，，
∵
過(guò)點(diǎn)P作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴
∴，
又∵
，即
，，
∴在中，；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在右側(cè)時(shí)，
同理，可得，，
∴
∴在中，．
綜上所述，的長(zhǎng)為5或．
故答案為：5或．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是得到當(dāng)與相切時(shí)，最大．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16. （1）計(jì)算：．
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）原式依次計(jì)算，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；
（2）原式先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：（1）
．
（2）
．
17. 悟穎塔，位于河南省駐馬店市汝南縣蓮花廣場(chǎng)西門，因汝南素有天下正中之稱，夏至正午時(shí)分，日照塔無(wú)影，故又名無(wú)影塔．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量該塔的高度，如圖，先在點(diǎn)處放一平面鏡，沿方向前進(jìn)米到達(dá)處，此時(shí)恰好在平面鏡中看到塔的頂部點(diǎn)，再沿方向前進(jìn)米將另一面平面鏡放在處（即米），此時(shí)在距離平面鏡米的點(diǎn)處恰好再次看到塔的頂部點(diǎn)．已知觀察者眼睛到地面的距離米，點(diǎn)在同一條直線上，求無(wú)影塔的高度（結(jié)果精確到米）．
【答案】無(wú)影塔的高度約為米
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
證明得到，，代入數(shù)據(jù)即可解答．
【詳解】解：由題意，知，
，
，
，即，
解得，
，
則，
解得（米），
答：無(wú)影塔的高度約為米．
18. 4月24日是中國(guó)航天日，為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，某校甲、乙兩班聯(lián)合舉辦了“航天知識(shí)”競(jìng)賽，競(jìng)賽滿分100分，80分及以上為優(yōu)秀．從甲班和乙班各隨機(jī)抽取8名學(xué)生，對(duì)這8名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了收集、整理、分析．
【收集數(shù)據(jù)】
甲班8名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：90，93，80，80，85，80，75，75．
乙班8名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)：100，90，79，90，83，85，56，75．
【整理數(shù)據(jù)】小康同學(xué)將甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了整理，并繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖．
抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)折線統(tǒng)計(jì)圖
【分析數(shù)據(jù)】甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表．
【解決問(wèn)題】請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決以下問(wèn)題：
（1）填空：___________，___________，___________（填“”“”或“”）．
（2）請(qǐng)你選擇兩個(gè)特征數(shù)進(jìn)行分析，判斷哪個(gè)班成績(jī)比較好，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
【答案】（1），，
（2）甲班，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可，根據(jù)方差的意義進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的意義進(jìn)行判斷即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得：
，
，
由“抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)折線統(tǒng)計(jì)圖”可知：甲班學(xué)生的成績(jī)更集中，
，
故答案為：，，；
【小問(wèn)2詳解】
解：甲班成績(jī)較好，理由如下：
①?gòu)钠骄鶖?shù)和優(yōu)秀率的角度來(lái)說(shuō)，甲、乙兩個(gè)班級(jí)成績(jī)的平均分一樣，但甲班優(yōu)秀率高于乙班，所以甲班成績(jī)比乙班好；
②從平均數(shù)和方差的角度來(lái)說(shuō)，甲、乙兩個(gè)班級(jí)成績(jī)的平均分一樣，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成績(jī)比較好（答案不唯一，合理即可）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求中位數(shù)，求眾數(shù)，折線統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性（逆用），利用平均數(shù)做決策，運(yùn)用方差做決策等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的概念及折線統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，為的外接圓，且為的直徑．
（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）為等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、圓周角定理、切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定．
（1）利用尺規(guī)作圖以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再作線段的垂直平分線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直線即為所求；
（2）根據(jù)可知，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)切線性質(zhì)可知，所以，所以可證是等腰直角三角形．
【小問(wèn)1詳解】
解：如下圖所示，
以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
分別以點(diǎn)、為圓心大于為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，
過(guò)兩交點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，
直線即為所求．
【小問(wèn)2詳解】
解：為等腰直角三角形．
理由如下：
，
，
為的直徑．
，
，
為切線，
，
，
，
為等腰直角三角形．
20. 如圖，等邊三角形的邊在軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）將沿軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，設(shè)平移的距離為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)為等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為得到，再利用解直角三角形的知識(shí)求得，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，最后將點(diǎn)代入，求得的值，即可得到答案；
（2）由題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再將代入反比例函數(shù)解析式，求出的值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
為等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
點(diǎn)，
把點(diǎn)代入，
得，
反比例函數(shù)的表達(dá)式是；
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
把點(diǎn)代入，
得，
解得：，
的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
21. 產(chǎn)于河南禹州的冬桃肉質(zhì)細(xì)膩，甘甜多汁，因其成熟期較晚，正好填補(bǔ)了冬季無(wú)鮮果的空白，深受市場(chǎng)青睞．果農(nóng)小王采摘了320千克的冬桃進(jìn)行線上和線下銷售，其中線下以10元/千克的標(biāo)價(jià)銷售，線上以線下標(biāo)價(jià)的七折銷售，全部售完后，銷售額為2600元．
（1）求線下和線上銷售的冬桃數(shù)量．
（2）小王又采摘了450千克的冬桃進(jìn)行線上和線下銷售且售價(jià)不變，若線下銷售冬桃的數(shù)量不超過(guò)線上銷售冬桃數(shù)量的一半，且使售完這批冬桃后銷售額最大，應(yīng)如何對(duì)這批冬桃進(jìn)行銷售？
【答案】（1）線下和線上銷售冬桃的數(shù)量分別為120千克和200千克
（2）線上銷售冬桃300千克，線下銷售冬桃150千克時(shí)，可使售完這批冬桃后銷售額最大
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出方程組和一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)線下和線上銷售冬桃的數(shù)量分別為千克和千克，找出等量關(guān)系列出方程組求解即可；
（2）設(shè)線上銷售冬桃的數(shù)量為千克，先求出，再銷售額=線上銷售額+線下銷售額列出函數(shù)解析式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)線下和線上銷售冬桃的數(shù)量分別為千克和千克．
由題意，得
解得
答：線下和線上銷售冬桃的數(shù)量分別為120千克和200千克．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)線上銷售冬桃的數(shù)量為千克，則線下銷售冬桃的數(shù)量為千克，銷售額為元．
由題意，得，解得．
由題意，得
，
隨著的增大而減?。?br>當(dāng)取最小值300時(shí)，取最大值．
．
答：線上銷售冬桃300千克，線下銷售冬桃150千克時(shí)，可使售完這批冬桃后銷售額最大．
22. 在農(nóng)村，很多農(nóng)戶依然保留著手工制作粉條的習(xí)慣，流程一般為：清洗紅薯、破壁粉碎、吊坨過(guò)濾（圖）、靜置沉淀、撈取淀粉、制作粉條．吊坨過(guò)濾的截面圖可抽象為如圖所示的拋物線，已知粉坨表面寬為，粉坨最大深度為，粉坨下容器的底面直徑為，且，粉坨的最低點(diǎn)位于的正上方．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出粉坨最低點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）中所建的平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的表達(dá)式．
（3）若向粉坨中添加水（假設(shè)紗布位置形狀不變），使得粉坨表面的最大寬度不超過(guò)容器底面直徑的長(zhǎng)，則粉坨的最大深度為多少？
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）拋物線的表達(dá)式為（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了建平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）以所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平而直角坐標(biāo)系，再根據(jù)粉坨最大深度為，即可求解；
（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故設(shè)拋物線的表達(dá)式為，再將代入，解出的值即可求解；
（3）將代入，求出的值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：以所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平而直角坐標(biāo)系如解圖所示：（答案不唯一），粉坨最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（答案不唯一）；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1），知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
由題意，知點(diǎn)，
將代入，得，
解得，
拋物線的表達(dá)式為（答案不唯一）；
【小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)粉坨表面的最大寬度恰好為容器底而直徑的長(zhǎng)時(shí)，
將代入，
解得：，
粉坨的最大深度為．
23. 若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且滿足兩個(gè)頂角和是，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為“唯美點(diǎn)”．
【概念理解】
（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上（點(diǎn)在直線上方），且．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，則___________．
【性質(zhì)探究】
（2）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且平分，交于點(diǎn)，連接，．求證：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖，在矩形中，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，直線交直線于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1）或 （2）見(jiàn)解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）分兩種情況討論：情況一：點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)；情況二：點(diǎn)與點(diǎn)在異側(cè)；計(jì)算即可解答；
（2）證明得，，再結(jié)合均為等腰三角形，其中，即可得證；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖所示，連接；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖所示，連接；綜上即可解答．
【詳解】．
解：（1）情況一：點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，
點(diǎn)、 關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，且，
，
又點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
，，
，，
則；
情況二：點(diǎn)與點(diǎn)在異側(cè)，
點(diǎn)、 關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，且，
，
又點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
，，
，，
由于、在異側(cè)，
；
綜上所述，或，
故答案為：或；
（2）證明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
又均為等腰三角形，其中，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖所示，連接，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于互為“唯美點(diǎn)”，
，
，
又，
，
設(shè)，
，，
，
，
在中，，
即，
解得，
；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖所示，連接，
同理，可得，
設(shè)，則，
，
在中，，
即，
解得，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
特征數(shù)班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
優(yōu)秀率
甲班
82.25
80
乙班
82.25
90
特征數(shù)班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
優(yōu)秀率
甲班
82.25
80
乙班
82.25
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