一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知向量a=1,1,b=?1,2，則a+b=( )
A. 0,3B. 2,?1C. 1,0D. 1
2.已知α，β均為銳角，且csα= 1010，sinβ=2 55，則csα+β=( )
A. 7 210B. ?7 210C. ? 22D. 22
3.若△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2 +b2?c2=ab，則C=
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知RtΔABC，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，AB?=6 3，AC?=6，AE?=12ED?，則AE??EB?等于
A. ?14B. ?9C. 9D. 14
5.已知5csαsinα?π4=sinπ4，則tanα=( )
A. 2B. 2或?3C. ?3D. 2或3
6.在△ABC中，AD=23AC，點(diǎn)E在BD上，若AE=xBA+13BC，則x=( )
A. ?23B. ?45C. ?56D. ?67
7.點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的外接圓上，則AP?AB的最大值為( )
A. 33+12B. 3+12C. 2 33D. 32
8.記?ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若c=2 6,ccsA?B+2 3asinBcsC=?ccsC，則AB邊上的中線CD長(zhǎng)度的最小值為( )
A. 12B. 22C. 2D. 2 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若a⊥b，則tanα=? 33 B. 若a//b，則α=π3
C. 若b在a上的投影向量為?14a，則向量a與b的夾角為2π3 D. |a?b|的最大值為3
10.已知函數(shù)fx= 34sin4x+14cs4x+34，則下列說法正確的是( )
A. fx的最小正周期為π
B. fx在0,π4上的值域?yàn)?2,54
C. 將fx的圖象向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到gx的圖象，則gx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D. 若方程fx+m=0在0,5π24上恰有一個(gè)根，則m的取值范圍為?1,?34
11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為 2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. BG=2AH
B. AD在AB向量上的投影向量為 22+1AB
C. 若OA?FC=1+ 2PA?ED，則P為ED的中點(diǎn)
D. 若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH，則x+y的取值范圍為1,2+ 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知sinπ3?α=23，則cs2α+π3= ．
13.在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且3a=2c,csB=13，則sinAsinB= ．
14.在?ABC中，AB=4,AC=3,∠A=60°,AD=3DB,P為線段CD上一點(diǎn)．AP=xAC+35AB，則x= ；若P在線段CD上運(yùn)動(dòng)，則AP?BP的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)非零向量．
(1)若4a+12kb與12ka+b共線，求實(shí)數(shù)k的值．
(2)已知向量a,b滿足|a→|=5,|b→|=4,(a→+b→)⊥b→.求2a+b；
16.(本小題12分)
在?ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b=4 3sinB,A=2π3．
(1)求a的值；
(2)若a2+c2?b2=2 33ac．
(i)求csB的值：
(ii)求cs(2B?A)的值．
17.(本小題12分)
已知f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+m，其圖象一個(gè)對(duì)稱軸為x=π6，ω∈(0,2)
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π2上有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
(3)若f(x)在0,π6上最小值為1，求使不等式f(x)≥0成立的x的取值集合．
18.(本小題12分)
如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角∠MON=π4，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形ABCD(四個(gè)頂點(diǎn)都落在扇形邊界上)；再建造一個(gè)觀景臺(tái)，形狀為?DAM，記∠MOD=α.
(1)當(dāng)角α取何值時(shí)，荷花池的面積最大？并求出最大面積．
(2)若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬元(不計(jì)橋的寬度)；且建造觀景臺(tái)的費(fèi)用為每平方千米16萬元，求建造總費(fèi)用的范圍．
19.(本小題12分)
三角形在數(shù)學(xué)中是十分常用的圖形，將向量運(yùn)用在三角形中同時(shí)會(huì)迸發(fā)出火花!
(1)如圖1，在?ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且滿足：AB+AC=2AE，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作圓交AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F.若BD=4,BC=2AC，求EF的值．
(2)如圖2，在?ABC中，點(diǎn)D分BC所成的比為32，點(diǎn)O為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，若AD=4，求OA?2OB+3OC的最小值．
參考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.BC
11.BD
12.?19
13.23
14.15/0.2 ；?134,3
15.解：(1)由 4a+12kb 與 12ka+b 共線，則存在實(shí)數(shù) λ ，
使得 4a+12kb=λ(12ka+b) ，
即 (4?12λk)a+(12k?λ)b=0 ，又 a,b 是不共線的兩個(gè)非零向量，
因此 4?12λk=012k?λ=0 ，解得 λ=2k=4 ，或 λ=?2k=?4 ，實(shí)數(shù) k 的值是 ±4；
(2)因?yàn)?(a→+b→)⊥b→ ，所以 (a+b)?b=a?b+b2=0,a?b=?b2=?16 ，
所以 |2a+b|2=4a2+4a?b+b2=4×25+4×(?16)+16=52 ，
所以 |2a+b|=2 13 ．

16.(1)由正弦定理asinA=bsinB及b=4 3sinB,A=2π3，
得a=4 3× 32=6.
(2)(i)由余弦定理有csB=a2+c2?b22ac=2 33ac2ac= 33，
(ii)因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB>0，
從而sinB= 1?cs2B= 1? 332= 63，
則sin2B=2sinBcsB=2× 63× 33=2 23，
cs2B=2cs2B?1=2× 332?1=?13,
cs(2B?A)=cs2BcsA+sin2BsinA=?13×?12+2 23× 32=2 6+16.

17.(1)由已知得f(x)= 32sin2ωx+cs2ωx+12+m，
= 32sin2ωx+12cs2ωx+12+m=sin2ωx+π6+12+m，
因?yàn)閳D象一個(gè)對(duì)稱軸為x=π6，所以2×π6ω+π6=π2+kπ,(k∈Z)，
解得ω=1+3k(k∈Z)，又因?yàn)棣亍?0,2)，所以ω=1．
所以f(x)=sin2x+π6+12+m，令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,(k∈Z)，
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,(k∈Z)，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+π6,kπ+2π3,(k∈Z)．
(2)因?yàn)閤∈0,π2，所以2x+π6∈π6,7π6，
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間0,π2上有零點(diǎn)，
所以令f(x)=0,x∈0,π2，即sin2x+π6=?12?m，
則y=sin2x+π6和y=?12?m有交點(diǎn)即可，
因?yàn)?x+π6∈π6,7π6，所以sin2x+π6∈?12,1，
則?12?m∈?12,1，即?12≤?12?m≤1，
解得?32≤m≤0，則m∈?32,0．
(3)因?yàn)閤∈0,π6，所以2x+π6∈π6,π2，
則f(x)min=f(0)=12+12+m=1+m=1，解得m=0，
故f(x)=sin2x+π6+12，而f(x)≥0，
即sin2x+π6+12≥0，得到sin2x+π6≥?12，
則?π6+2kπ≤2x+π6≤7π6+2kπ,k∈Z，解得?π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，
所以使f(x)≥0成立的x的取值集合為x|?π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z

18.(1)由題意可得OA=csα,AD=sinα，其中0

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