1. 滿足的集合A的個(gè)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要
3. 命題，否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A. B.
C. D.
5. 集合或，，若，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬(wàn)元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬(wàn)元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
7. 已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知關(guān)于的不等式的解集恰好為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．
9. 若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A. -2B. -1C. D. 2
10. 若，則下列說(shuō)法不成立的有（ ）
A. 若且，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若且，則
11. 設(shè)是一個(gè)非空集合，是的子集構(gòu)成的集合，如果同時(shí)滿足：①，②若，則且，那么稱是的一個(gè)環(huán).則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則 是的環(huán)
B. 若，則存在一個(gè)環(huán)，含有8個(gè)元素
C. 若，則存在一個(gè)環(huán)，含有4個(gè)元素且
D. 若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有7個(gè)元素且
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知關(guān)于x的不等式的解集中的一個(gè)元素為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______
13. 已知集合，若，則的最小值為_(kāi)_________．
14. 若，，則的最小值為_(kāi)__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．除特別說(shuō)明外，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知命題“，方程有實(shí)根”是真命題.
（1）求實(shí)數(shù)的取值集合A；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.
16. 已知全集，不等式的解集是，集合，.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求；
（3）若，求的取值范圍.
17. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知集合，，若，求取值范圍.
18. 常州市某企業(yè)為緊抓新能源發(fā)展帶來(lái)的歷史機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)一款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備.生產(chǎn)此設(shè)備的年固定成本為280萬(wàn)元，且每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足40臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)（萬(wàn)元）.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和分析，若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)定為60萬(wàn)元時(shí)，則該企業(yè)生產(chǎn)的鋰電池設(shè)備能全部售完.
（1）分別求年產(chǎn)量不足40臺(tái)和年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，企業(yè)在這款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
19. 已知關(guān)于的不等式的解集為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）解不等式；
（3）若在函數(shù)圖象上，分別取橫坐標(biāo)時(shí)，其縱坐標(biāo)之和為，證明.
2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 滿足的集合A的個(gè)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】分析可知滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)即為集合的子集個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，可知集合A必有元素2，可能含有元素，
可知滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)即為集合的子集個(gè)數(shù)，有個(gè)數(shù).
故選：C.
2. 設(shè)x∈R，則“”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要
【正確答案】B
【分析】由分析可知x∈R，根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】因?yàn)?，可得恒成立，即x∈R，
因?yàn)槭荝的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
3. 命題，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】A
【分析】根據(jù)全稱存在量詞命題的否定形式，直接求解.
【詳解】全稱存在命題的否定是存在量詞命題，并且否定結(jié)論，
所以命題，的否定是，.
故選：A
4. 已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合圖即可求解.
【詳解】因?yàn)榛?，或?br>所以或或或，
或或或.
由題意可知陰影部分對(duì)于的集合為，
所以，
或.
故選：D.
5. 集合或，，若，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】考慮，，，確定集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系計(jì)算得到答案.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，故，解得，
故；
②當(dāng)時(shí)，，滿足；
③當(dāng)時(shí)，，，故，解得，
故；
綜上所述.
故選：A
6. 某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬(wàn)元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬(wàn)元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意可得該設(shè)備年平均費(fèi)用，結(jié)合基本不等式分析運(yùn)算.
【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用，
∵，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.
故選：C.
7. 已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由題知時(shí)，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為真命題，
所以，命題“，”為真命題，
所以，時(shí)，，
因?yàn)?，?br>所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).
所以，時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：C
8. 已知關(guān)于的不等式的解集恰好為，則的值為（ ）
A B. C. D.
【正確答案】A
【分析】作出函數(shù)的圖象，知，因此根據(jù)和分類討論．
【詳解】令，作出的圖象，如圖，
可知，則有：
若，則不等式的解集是兩段區(qū)域，不合題意；
所以，此時(shí)恒成立，
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，可得?br>且是方程的兩根，則，
由得或4，
若，由，解得或，不合題意；
若，由，解得，符合題意；
綜上所述：．
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．
9. 若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可能為（ ）
A. -2B. -1C. D. 2
【正確答案】BC
【分析】先求出不等式的解集為，根據(jù)不等式對(duì)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由?求解.
【詳解】不等式的解集是，
因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，
所以?，
所以，
解得 ，
所以 實(shí)數(shù)的值可能為-1，
故選：BC
本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，集合的基本關(guān)系的應(yīng)用以及恒成立問(wèn)題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
10. 若，則下列說(shuō)法不成立的有（ ）
A. 若且，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若且，則
【正確答案】ACD
【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，判斷選項(xiàng).
【詳解】解：A選項(xiàng)，時(shí)，結(jié)論不成立，故A錯(cuò)誤
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確
C選項(xiàng)，，時(shí)，結(jié)論不成立，故C錯(cuò)誤
D選項(xiàng)，若則結(jié)論不成立，故D錯(cuò)誤，
故選：ACD.
11. 設(shè)是一個(gè)非空集合，是的子集構(gòu)成的集合，如果同時(shí)滿足：①，②若，則且，那么稱是的一個(gè)環(huán).則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則 是的環(huán)
B. 若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有8個(gè)元素
C. 若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有4個(gè)元素且
D. 若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有7個(gè)元素且
【正確答案】ABC
【分析】利用題設(shè)中信息，集合集合的交集、并集的運(yùn)算，以及集合間的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意知：①，②若，則且，
對(duì)于A中，全集且，
滿足且當(dāng)時(shí)，可得且，所以A正確；
對(duì)于B中，由的所有子集共8個(gè)，
若是的子集構(gòu)成的集合，所以集合有8個(gè)元素，所以B正確；
對(duì)于C中，若，可得，
所以是個(gè)環(huán)，其中中含有4個(gè)元素，所以C正確；
對(duì)于D中，若，
可得，， ，
，，且，
所以集合中至少有8個(gè)元素，所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知關(guān)于x的不等式的解集中的一個(gè)元素為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______
【正確答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式即可求解.
【詳解】由題意可知:是不等式的解，所以，即，解得．
故
13. 已知集合，若，則的最小值為_(kāi)_________．
【正確答案】
【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值為.
故答案為.
14. 若，，則的最小值為_(kāi)__________．
【正確答案】##
【分析】根據(jù)題意，得到，令，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
因?yàn)椋傻茫?br>令，則且
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以最小值為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．除特別說(shuō)明外，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知命題“，方程有實(shí)根”是真命題.
（1）求實(shí)數(shù)的取值集合A；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題意可得，運(yùn)算求解即可；
（2）由題意可知：集合是集合A的真子集，分和兩種情況，結(jié)合包含關(guān)系列式求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知：，解得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
若“”是“”的充分不必要條件，則集合是集合A的真子集，
①當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意；
綜上所述：的取值范圍為.
16. 已知全集，不等式的解集是，集合，.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求；
（3）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合三個(gè)二次式的關(guān)系，列出方程組，即可求解；
（2）求得，結(jié)合集合并集與補(bǔ)集運(yùn)算，即可求解；
（3）根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，分別求得的取值范圍，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由不等式的解集是，
可得，解得
【小問(wèn)2詳解】
由不等式，可得，解得，即，
因?yàn)?，可得或?br>可得或.
【小問(wèn)3詳解】
由集合，，，
因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知集合，，若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）時(shí)函數(shù)為一次函數(shù)，可判斷不符合題意，時(shí)，進(jìn)而可得；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使得有解，法1：轉(zhuǎn)化為求在上的值域，進(jìn)而可得；法2：求出方程的根，利用根的范圍求解參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
①，，不符合題意（舍） ，
②，（i）時(shí)，不恒在x軸上方(舍)，
（ii），若函數(shù)的圖象恒在軸上方，
則，即，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)2詳解】
法1：使得有解，
，，
令，令，則，，
其對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法2：①時(shí)，（舍）；
②時(shí)，，，，
正根，解得.
③時(shí)，過(guò)，對(duì)稱軸，
所以在內(nèi)與軸無(wú)交點(diǎn)（舍）.
綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 常州市某企業(yè)為緊抓新能源發(fā)展帶來(lái)的歷史機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)一款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備.生產(chǎn)此設(shè)備的年固定成本為280萬(wàn)元，且每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足40臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)（萬(wàn)元）.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和分析，若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)定為60萬(wàn)元時(shí)，則該企業(yè)生產(chǎn)的鋰電池設(shè)備能全部售完.
（1）分別求年產(chǎn)量不足40臺(tái)和年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，企業(yè)在這款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)年生產(chǎn)58（臺(tái)）時(shí)，該企業(yè)年利潤(rùn)的最大值為892萬(wàn)元
【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得和的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得到答案；
（2）由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分別求得其最大值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
綜上所得，
年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式取等號(hào)，即，
綜上，即當(dāng)年生產(chǎn)58（臺(tái)）時(shí)，該企業(yè)年利潤(rùn)的最大值為892萬(wàn)元.
19. 已知關(guān)于的不等式的解集為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）解不等式；
（3）若在函數(shù)圖象上，分別取橫坐標(biāo)為時(shí)，其縱坐標(biāo)之和為，證明.
【正確答案】（1）
（2）或
（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式可得，且，結(jié)合題意即可得結(jié)果；
（2）由（1）可知：不等式化為，分三種情況，運(yùn)算求解即可；
（3）根據(jù)題意分析可得，利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式分析證明，注意等號(hào)成立的條件.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，則，即，
又因?yàn)榻饧癁?，則，且，
可得，解得.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知：，則不等式化為，
則，或，或，
解得，或，或，
所以不等式的解集為或.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，
因?yàn)?，則，
可得，即，且，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)?，故等于?hào)取不到，所以.

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