1. 已知，，，則實數(shù)（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的坐標表示即可求得結(jié)果.
【詳解】已知，，所以，解得：
故選：B
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復數(shù)的乘法和共軛復數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因為，故，故
故選：C.
3. 符合下列條件的三角形有且只有一個的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】選項A：利用正弦定理判斷；對于B：由正弦定理判斷；選項C：兩邊之和大于第三邊判斷；選項D：由正弦定理判斷；
【詳解】對于A：因為，所以，三角形有兩解，故A錯誤;
對于B：因為，所以，
且，所以,所以或，故有兩解，故B錯誤；
對于C：因為，所以無解，故C錯誤；
對于D：因為，所以,故，三角形只有一解，故D正確.
故選：D
4. 已知正方形的邊長為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：建立如圖平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；方法二：利用平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算律計算即可求解.
【詳解】方法一：如圖所示，建立以為原點的平面直角坐標系，
得，則，
故．

方法二：，
故．
故選：A
5. 在中，角的對邊分別是，若，則的形狀為（ ）
A. 等腰三角形B. 銳角三角形
C. 直角三角形D. 鈍角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡已知式即可得出答案.
【詳解】由正弦定理可得，
所以，
即，所以，
又因為，所以，則，
又因為，所以.
故選：C.
6. 向量，，那么向量在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐標，再求出，，最后根據(jù)投影向量的定義計算可得.
【詳解】因為，，
所以，
所以，，
所以在上的投影向量為.
故選：A．
7. 已知平面向量、、滿足，且對任意實數(shù)恒成立，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于不等式，我們兩邊平方得到關于實數(shù)的不等式，進而得到，再結(jié)合向量的運算性質(zhì)得到，最后利用絕對值三角不等式求解最值即可.
【詳解】由，兩邊平方得
又，且對任意實數(shù)恒成立，
即恒成立，故，
即，解得，即，且，
而，故，
則由絕對值三角不等式得，故B正確.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵先利用對任意實數(shù)恒成立，求得，再利用絕對值三角不等式求解最值即可.
8. 在中，點，在邊上，且滿足：，，若，，，則的面積等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因為，則M為BC中點，兩邊平方化簡得到；因為，則AN為角平分線，，化簡得到．解出，代入面積公式即可.
【詳解】如圖，在中，設,

因為，則M為BC中點，兩邊平方得到，
，
即，化簡
因為，則AN為角平分線，，
即，條件代入化簡得，
，則，且，
聯(lián)立解得，解得(負值舍去).
所以.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設復數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由條件分別算出，，，，通過的值的規(guī)律得到的值，然后分別判斷各個選項.
【詳解】，∴，
∴，A選項錯誤；
z3=?123+3×?122×32i+3×?12×32i2+32i3=1>0，B選項正確；
，C選項正確；
∵，，，，
，∴，
∴，D選項錯誤.
故選：BC.
10. 已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則以下說法正確的是（ ）
A. B. 是鈍角三角形
C. 若，則外接圓半徑為D. 若周長為15，則內(nèi)切圓半徑為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得三邊關系；對A：利用正弦定理即可直接求得；對B：判斷為最大角，根據(jù)余弦定理判斷的正負即可；對C：根據(jù)正弦定理直接求解即可；對D：根據(jù)等面積法，結(jié)合三角形面積公式即可求得.
【詳解】因為，由正弦定理可得：，又，故可得，
設，則；
對A：，故A正確；
對B：根據(jù)大邊對大角，為最大角，又，則，
又，故為銳角，則△為銳角三角形，故B錯誤；
對C：由B知：，為銳角，故，
又，設外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則，故C正確；
對D：若周長為15，即，則，故，
設內(nèi)切圓半徑為，則，即，解得，故D正確；
故選：ACD.
11. 已知銳角三個內(nèi)角的對應邊分別為，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的取值范圍為
B. 的最小值為
C. 的面積最大值為
D. 值可能為3
【答案】AD
【解析】
【分析】先根據(jù)為銳角三角形，求出的范圍，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，則利用的取值范圍判斷A，利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理將數(shù)量積表示為一元函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值判斷B，利用三角形面積公式判斷C，利用余弦定理求出的范圍，再判斷D即可.
【詳解】對于A，因為為銳角三角形，且，
所以，解得，
同理可得，則的取值范圍為，故A正確，
對于B，由余弦定理得，即，
則，而，
，
令，由正弦定理得，
則，
因為，所以，得到，
則，而，得到，
由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則f(a)>，
即的最小值不為，故B錯誤，
對于C，由三角形面積公式得，
則的面積最大值不為，故C錯誤，
對于D，因為，所以，
因為，
而，所以的值可能為3，故D正確.
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是結(jié)合題意求出的取值范圍，然后利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到所要求的最值即可．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設z為復數(shù)，若=1，則的最大值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】設，由模長公式得到.然后由模長公式得到的代數(shù)式，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當取最大值時取得最大，由求出的最大值，從而得出結(jié)果.
【詳解】設，則，即，
，∴，
∵在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴當時，取最大值3.
故答案為：3.
13. 某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東30°處，則兩燈塔A、B間的距離為__．
【答案】700米
【解析】
【分析】先求得的值，然后利用余弦定理求得兩點間的距離.
【詳解】依題意可知，由于，根據(jù)余弦定理得，解得米.
【點睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎題，要注意的是，填空題要寫單位.
14. 在邊長為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點，如圖所示．點P為弧上任意一點，向量最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】過作交于點，可知當與半圓相切時，最大，再利用三角函數(shù)求解即可.
【詳解】過作交于點，根據(jù)投影向量的概念可得，
設，所以，
當與半圓相切時，取得最大值，此時最大，
過作交于點，連接，
當取得最大值時，且，
因，正方形邊長為4，則，，
所以，
所以，
則，所以，
得，所以的最大值為.
所以最大值為.
故答案為：24.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知復數(shù)為虛數(shù)單位)， z在復平面上對應的點在第四象限，且滿足.
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若復數(shù)z是關于x的方程且的一個復數(shù)根，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得，再由共軛復數(shù)及復數(shù)乘法計算求解.
（2）利用方程根的意義，結(jié)合復數(shù)乘方運算、復數(shù)相等求解即可.
【小問1詳解】
依題點 在第四象限，則，由，得，即，所以,
【小問2詳解】
由(1)知，，由復數(shù)z是關于x的方程的根，
得，
整理得，而，
因此, 解得所以
16. 在中，分別是角所對邊，已知，，，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若面積為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直則數(shù)量積為0得到方程，解得，即可得到角A的大?。?br>（2）由三角形面積公式求得，結(jié)合余弦定理得到，從而得到，即可求出的值.
【小問1詳解】
因為且，

，
又因為，所以
【小問2詳解】
由題意得，得，
又因為在三角形ABC中，
由余弦定理得，
所以，
又因為，，所以
17. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點．
（1）若，求的值；
（2）若，，求；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)平面向量基本定理計算即可；
(2)根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合三點共線求出向量最后根據(jù)數(shù)量積求出模長；
(3)應用平面向量基本定理表示向量，再應用垂直計算結(jié)合基本不等式求出最值即可.
【小問1詳解】
因為四邊形是平行四邊形，
所以，
所以所以.
【小問2詳解】
因為為中點，四邊形為平行四邊形，
所以.
因為，所以.
設，
則，
，
因為共線，共線，
所以，
解得，
所以，
因為，，
所以，
所以.
【小問3詳解】
因為，，
，
所以 ，
所以，
又因為，
所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以最小值.
【點睛】方法點睛：把向量用基底表示，再應用向量的數(shù)量積公式計算后結(jié)合基本不等式求出最值即可.
18. 已知A、B、C、D為平面四邊形的四個內(nèi)角．
（1）若，，求；
（2）如圖，若，，，，.
①證明：；
②求的值．
【答案】（1）10 （2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.
（2）①利用二倍角公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可證明，
②先對所求式子化簡得到，原式即是求的結(jié)果，再多次利用余弦定理即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
易知四邊形是平行四邊形
在中，由余弦定理得
同理在三角形得到：,
因為，，且有公共邊AC，所以,
所以,又,所以,即,
所以在平行四邊形中,,
故，
【小問2詳解】
證明：①等式左邊==右邊
所以等式成立．
②由，得，，
由①可知：
，
連結(jié)BD，
在中，由余弦定理有，
，，，，
在中，由余弦定理有，
所以，
則：
又，可知，
于是，
連結(jié)AC，同理可得：，
又，可知，
于是
所以
19. 對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量，特別地，稱為零向量.設，，，定義加法和數(shù)乘：，.對一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關，否則稱為線性無關.
（1）判斷下列各組向量是線性相關還是線性無關，并說明理由.
①，；
②，，；
（2）已知，，線性無關，判斷，，是線性相關還是線性無關，并說明理由.
（3）已知個向量，，…，線性相關，但其中任意個都線性無關，證明：
①如果存在等式，則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；
②如果兩個等式，同時成立，其中，則.
【答案】（1）①線性無關；②線性相關；理由見解析
（2）向量，，線性無關；理由見解析
（3）①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量線性相關的定義逐一判斷即可；
（2）設，則，然后由條件得到即可判斷；
（3）①如果某個，，然后證明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根據(jù)題意證明即可.
【小問1詳解】
對于①，設，
則可得，所以，線性無關；
對于②設，
則可得，所以，，
可取不全為零，故，線線性相關；
【小問2詳解】
設，
則，
因為向量，，線性無關，
所以，，，
解得，
所以向量，，線性無關；
【小問3詳解】
①，
如果某個，，2，……，m，
則，
因為任意個都線性無關，
所以，，……，，，……，都等于0，
所以這些系數(shù)，，……，或者全為零，或者全不為零，
②因為，所以，，……，全不為零，
所以由，
可得，
代入，可得，
所以，
所以，……，，
所以
【點睛】關鍵點睛：本題以新定義為背景考查向量的運算，解題的關鍵是根據(jù)所給的線性相關的定義進行運算判斷.

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