一、單選題（本大題共8小題）
1．已知命題；命題．則（ ）
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面里位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的表面積為（ ）
A．B．C．D．
4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個二階等差數(shù)列的前4項為：，則該數(shù)列的第16項為（ ）
A．196B．197C．198D．227
5．設(shè)是方程的兩根，且，則（ ）
A．B．C．或D．
6．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標(biāo)為，則（ ）
A．函數(shù)的最大值為1
B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1
D．函數(shù)的最小值為1
7．過雙曲線的右支上一點，分別向和作切線，切點分別為，則最小值為（ ）
A．31B．30C．29D．28
8．從重量分別為1，2，3，4，…，10克的砝碼（每種砝碼各2個）中選出若干個，使其總重量恰為9克的方法總數(shù)為，下列各式的展開式中的系數(shù)為的選項是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的眾數(shù)和第60百分位數(shù)都為5
B．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強
C．若隨機變量服從二項分布，則方差
D．若隨機變量服從正態(tài)分布，則
10．已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．使的最小正整數(shù)為12
D．的最小值為
11．如圖，在棱長為4的正方體中，分別是棱的中點，是正方形內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若平面，則點的軌跡長度為
B．若，則點的軌跡長度為
C．若是正方形的中心，在線段上，則的最小值為
D．若是棱的中點，三棱錐的外接球球心為，則平面截球所得截面的面積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，且，則 ．
13．若，則實數(shù)的值為 ．
14．拋物線與橢圓有相同的焦點，分別是橢圓的上、下焦點，是橢圓上的任一點，是的內(nèi)心，交軸于，且，點是拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與軸的交點為，若，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
16．記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求的面積．
17．如圖，在平面四邊形中，，點滿足，，將沿折起至的位置，使得點不在平面內(nèi)．
(1)證明：平面平面；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．
18．為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次．答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分；從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分．學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結(jié)果互不影響．
(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；
(2)記甲第次答題所得分數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．
①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：
②若，求的最小值．
19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，直線與相切，與圓相交于兩點．當(dāng)垂直于軸時，．
(1)求的方程；
(2)對于給定的點集，若中的每個點在中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為．
（i）若分別為線段與圓上任意一點，為圓上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；
（ii）若均存在，記兩者中的較大者為．已知，均存在，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】由可得，故為真命題，
當(dāng)，故為真命題，
故選A.
2．【答案】A
【詳解】設(shè)，
因為，
所以，即，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是以為圓心，為半徑的圓，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面里位于第一象限.
故選A.
3．【答案】B
【詳解】設(shè)上下底面圓半徑分別為，母線長為，
則圓臺表面積.
故選B.
4．【答案】D
【詳解】若某個二階等差數(shù)列的前4項為：，
即
可知，，,
累加即可得到，
則，則
故選D.
5．【答案】B
【詳解】因為是方程的兩根，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
則，
所以.
故選B.
6．【答案】C
【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為，實線部分為，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導(dǎo)得到時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故C正確，D錯誤.
【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖象都在x軸上方，任何一個為導(dǎo)函數(shù)，
則另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，
實線部分為，
故恒成立，
故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤，
對于C，D，，
由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.
故選C.
7．【答案】B
【詳解】由題設(shè)中圓心，半徑，
中圓心，半徑
根據(jù)雙曲線方程知其左右焦點為，連接
所以
所以
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)為雙曲線右頂點時等號成立，
故的最小值為30.
故選B.
8．【答案】C
【詳解】一個砝碼有，9一種情況，種情況，
兩個砝碼有，，，幾種情況種
三個砝碼有，，，，，，幾種情況種
四個砝碼有，，，，，種，
五個砝碼有，，種，
總計種.
對A，選項系數(shù)為，故不符合，所以A錯誤；
對B，的系數(shù)是選個帶的，其他的個括號選常數(shù)項，可得，故B錯誤；
對C，
系數(shù)為單獨組成，其他為常數(shù)，則有種，系數(shù)為
有兩項組成，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)， ，系數(shù)為，
系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)， ，系數(shù)為，
同理由三項組成，，，，，幾種情況，其他項為常數(shù)，則系數(shù)為
同理由四項組成，，，幾種情況，其他為常數(shù)，則系數(shù)，
同理由五項組成其他項為常數(shù)，則系數(shù)為，
綜上系數(shù)為，故C正確；
對D，
，
系數(shù)直接有一項，其他是常數(shù)項，可有種情況，系數(shù)為，
有與組成，其他是常數(shù)項，可有,
故D錯誤.
故選C.
9．【答案】AC
【詳解】數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為，所以第60百分位數(shù)為第6個數(shù)據(jù)5，選項A正確；
當(dāng)時，越大成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱，選項B錯誤；
選項C正確；
選項D錯誤，
故選AC.
10．【答案】BD
【詳解】對于A，由，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，故A錯誤；
對于B，
，故B正確；
對于C，由，即，解得，故C錯誤；
對于D，，時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)或4時，取得最小值為，故D正確．
故選BD.
11．【答案】ABD
【詳解】如圖，取的中點為N，M，連接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F(xiàn)分別是棱的中點，
所以，所以，平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因為N，E分別是棱的中點，所以，且，
所以四邊形CDNE為平行四邊形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
點P是正方形內(nèi)的動點，且平面CEF，
所以點P的軌跡為線段MN，由勾股定理得，故A正確；
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得，設(shè)，
則，
所以，所以點P的軌跡為為圓心，半徑為1的個圓，
所以點P的軌跡長度為，故B正確：
如圖，將平面CEF翻折到與平面共面，
連接PC，與EF交于點Q，此時取到最小值，
∵，且，
所以點Q為EF的中點，所以，
所以，
即的最小值為，故C錯誤：
如圖，
連接PF，交于點，連接PE，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
若P是棱的中點，則，
所以FP是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，
過點作平面ABCD的垂線，則三棱錐的外接球的球心O一定在該垂線上，
連接OP，設(shè)，則，
連接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
點到平面的距離為，
則球心到平面的距離為，
則截面圓的半徑為，所以截面的面積為，故D正確.
故選ABD．
12．【答案】
【詳解】由，得，
因為，所以，
則.
13．【答案】
【詳解】因為，
所以
.
14．【答案】
【詳解】焦點在軸上，故橢圓的焦點在軸上，
故，
I是的內(nèi)心，連接，則平分
在中，由正弦定理得①，
在，由正弦定理得②，
其中故
又
式子①與②相除得故
同理可得
由橢圓定義可知
即焦點坐標(biāo)為
所以拋物線方程為
故在處的切線方程為
即又故
所以在點的切線為：
令又即
所以是首項16，公比的等比數(shù)列，
.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
當(dāng)時，，
故，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）由（1）得，
因為所以由得
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以
因為恒成立，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為
16．【答案】(1)或
(2)3
【詳解】（1）由，及正弦定理得，
因為為三角形內(nèi)角，故，故得，
又為三角形內(nèi)角，或.
（2）由
得，
又，所以.
由（1）得，故，
而為三角形內(nèi)角，.
由正弦定理，得，
故的面積.
17．【答案】(1)證明見解析；(2).
【詳解】（1）證明：在中，，
所以，解得，
所以，，
所以.
因為平面，所以平面.
又因為平面，
所以平面平面.
（2）解：因為，所以，
又，所以，即.
又因為平面，所以平面.
因為平面，所以.
以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，
取，則，所以，
顯然為平面的一個法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18．【答案】(1)
(2)①；②
【詳解】（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，
所以甲前3次答題得分之和為40分的概率；
（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，
則，
當(dāng)時，，
所以，且，
②由①知，當(dāng)時，，
而，
因此數(shù)列以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，
于是，
由得：，
因為，則有正整數(shù)，
所以的最小值是.
19．【答案】(1)
(2)（i）（ii）證明見解析
【詳解】（1）因為當(dāng)垂直于軸時，，而直線與相切，則解得，
又橢圓的長軸長是短軸長的倍，則則，
所以的方程為.
（2）（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為：
由消去得：，
由直線與橢圓相切，得整理得
于是圓心到直線的距離
則的面積為
設(shè)求導(dǎo)得
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時，取得最大值，此時，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，由（1）知，
由得則，
對于線段上任意點，連接并延長與圓交于點，則是圓上與最近的點，
當(dāng)為線段的中點時，取得最大值，所以
（ii）因為均存在，
設(shè)點且
設(shè)是集合中到的最近點，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)
令點到集合的最近點為，點到集合的最近點為，
因為是集合中所有點到集合最近點距離的最大值，則
因為是集合中所有點到集合最近點距離的最大值，則
因此
而在坐標(biāo)平面中，又點是集合中到點的最近點，則
所以

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