重慶市第十一中學(xué)教育集團(tuán)2025屆高三下學(xué)期第六次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2025.02
注意事項(xiàng)：
1．本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 滿足?的集合A的個(gè)數(shù)為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】列舉出滿足要求的集合，得到答案.
【詳解】滿足?的集合可以為，
故集合A的個(gè)數(shù)為3.
故選：B
2. 已知數(shù)列滿足，，則（）
A B. C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用數(shù)列的遞推公式推出是以3為周期的數(shù)列，進(jìn)而求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，，
所以是以3為周期的數(shù)列，則.
故選：C
3. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，且，則的面積（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理即得，由正弦定理即得，再根據(jù)余弦定理，利用即可得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【詳解】因，由余弦定理有，
由正弦定理有，
所以，
所以的面積.
故選：B.
4. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. ]B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】畫出圖形，求出直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合再由圓心到直線的距離等于半徑和斜率的定義求解即可；
【詳解】曲線即為半圓：，
其圖象如圖所示，
曲線與軸的交點(diǎn)為，而直線為過的動(dòng)直線，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，有，解得，
當(dāng)直線過時(shí)，有，
因?yàn)橹本€與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，
故選：A.
5. 函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來確定不等式的解集.
【詳解】設(shè).
對(duì)求導(dǎo)，則.
已知，即，而恒成立，所以恒成立.
這說明函數(shù)在上單調(diào)遞增.
已知，則.
不等式可變形為，即，也就是.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.
不等式的解集為，.
故選：B
6. 正六邊形ABCDEF中，用和表示，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.
【詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為2，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，有，，
則
，
故選：B
7. 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上且，將沿翻折到的位置，使得．空間四點(diǎn)的外接球?yàn)榍颍^點(diǎn)作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，確定球心的位置并求出球半徑，再利用圓的截面性質(zhì)求出截面面積最小值.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，
由正方形的邊長(zhǎng)為4，得，
因此為四面體的外接球球心，外接球半徑，
設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，
則有，即，
當(dāng)截面時(shí)，最大，此時(shí)截面面積最小，且，
在中，，，．
由余弦定理可得，．
此時(shí)，所以截面面積最小值為.
故選：C
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)且使得．A為左支上一點(diǎn)且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)焦三角形的面積為，得到，過點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)得到，設(shè)，則，，，，．利用勾股定理得到，即可得到雙曲線的離心率.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>因?yàn)椋?br>，
.
所以
可得．
過點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋裕?br>又，所以有．
設(shè)，則，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以離心率，
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則正確的有（）
A. 該方程不存在實(shí)數(shù)根B. ，
C. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相等復(fù)數(shù)求得，即可判斷B；根據(jù)計(jì)算即可判斷A；根據(jù)韋達(dá)定理求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念和幾何意義即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可判斷D.
【詳解】由是方程的根，得，
整理得，因此，解得，
所以方程為，故B正確；
對(duì)于A，根據(jù)方程，可得，
所以方程無實(shí)數(shù)根，故A正確；
對(duì)于C，D，方程，由韋達(dá)定理可知，得，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，的共軛復(fù)數(shù)不在第四象限.
，
所以，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：ABD
10. 已知函數(shù)，則正確的有（）
A. 的最大值為B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 在上單調(diào)遞增
【答案】AC
【解析】
【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一分析每個(gè)選項(xiàng).
【詳解】
，
A：，的最大值為，A正確.
B：，，結(jié)合A選項(xiàng)在沒有取到最值，
的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤.
C：當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確.
D：，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，
在區(qū)間上先增后減，D不正確.
故選：AC
11. 已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）
A. 只存在2個(gè)點(diǎn)，使得
B. 直線與直線斜率乘積為定值
C. 有最小值
D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由為圓心為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷；B選項(xiàng)，由滿足橢圓方程，代入直線與直線斜率乘積的算式中化簡(jiǎn)即可；C選項(xiàng)，利用橢圓定義結(jié)合基本不等式求最小值；D選項(xiàng)，利用數(shù)形結(jié)合和橢圓定義，求的最值，得取值范圍.
【詳解】對(duì)于A中，由橢圓，可得，，，由，以為圓心，為直徑的圓，與橢圓C有4個(gè)交點(diǎn)，故存在4個(gè)點(diǎn)，使得，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，設(shè)，則，且，，可得，
則為定值，所以B正確．
對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以C正確．
對(duì)于D中，由點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，
如圖所示，則
因?yàn)?，且?br>可得，即，
所以，
所以，所以D正確．
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 隨機(jī)變量，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】已知隨機(jī)變量，即均值，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性以及所給的概率等式來求解的值.
【詳解】因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于均值對(duì)稱，已知，那么點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于均值對(duì)稱.可列出等式. 得到.解得.
故答案為：.
13. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.
【答案】8
【解析】
【分析】由，得即為，變形后兩次運(yùn)用基本不等式即可求解
【詳解】因?yàn)椋裕?br>∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
所以的最小值為8.
故答案為：8.
14. 設(shè)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，處的切線的斜率分別為，，規(guī)定：（為線段的長(zhǎng)度）叫做曲線在點(diǎn)與點(diǎn)間的“彎曲度”．
①存在函數(shù)，使得圖象上任意不同兩點(diǎn)間的“彎曲度”是一個(gè)常數(shù)；
②拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，使得；
③是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，則．
上述說法中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【答案】①③
【解析】
【分析】對(duì)于①，舉例子即可判斷；對(duì)于②③，根據(jù)定義直接計(jì)算即可判斷.
【詳解】對(duì)于①，取，則，因，，有，
故此時(shí)，為常數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，因，則，因，，
，
又，則，即，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，則，因，，且，
則，故，故③正確．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，解決此類題的策略是：
1. 準(zhǔn)確理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論等；
2. 重視“舉例”，利用例子可以檢驗(yàn)是否理解和懂得正確運(yùn)用，歸納例子提供的解題思路和方法；
3. 運(yùn)用新定義去解決問題時(shí)，根據(jù)新定義交代的性質(zhì)或運(yùn)算規(guī)則去運(yùn)用即可，解決問題的過程中還需要將“新定義”的知識(shí)與已有知識(shí)聯(lián)系起來，利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的周長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解；
（2）根據(jù)條件，利用輔助角公式得到，進(jìn)而得到，從而有，再利用正弦定理，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理得.
因?yàn)椋裕?
化簡(jiǎn)得.
在中，由余弦定理得.
又因?yàn)椋?
【小問2詳解】
由，可得，
又，所以，得到，即，
所以，
，又，
由正弦定理得，得到，
解得，，
故的周長(zhǎng)為.
16. 重慶市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障．重慶旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作．隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求的值，并估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)；
（2）若從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任了本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和50，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差．
（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為．則總體樣本方差．
【答案】（1）；
（2）平均數(shù)為70，
【解析】
【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程可求出，再根據(jù)平均數(shù)的定義可求出面試成績(jī)的平均數(shù)；
（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求出第二組、第四組的頻率之比，然后再求出這兩組的平均數(shù)，再利用所給的公式求出第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差.
【小問1詳解】
由圖得，解之可得；
根據(jù)題意知，
【小問2詳解】
設(shè)第二組、第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)、方差分別為，，，，且兩組的頻率之比為，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)為，
第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為
，
，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差為．
17. 已知三棱柱中，，，，
（1）求證：平面平面
（2）若，且是的中點(diǎn)，求平面和平面的夾角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，由菱形得到，結(jié)合得到線面垂直，進(jìn)而得到，結(jié)合得到線面垂直，從而證明出面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦值.
【小問1詳解】
在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，
則平行四邊形是菱形，連接，
如圖，則有，
因?yàn)?，，平面?br>所以平面，而平面，則，
由，得，又，平面，
從而得平面，又平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
在平面內(nèi)過作，
由（1）知平面平面，平面平面，平面
則平面，
以為原點(diǎn)，以射線分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，因?yàn)?，?br>所以為等邊三角形，
又是的中點(diǎn)，則⊥，故，
由勾股定理得，
又，
則，，，，，
則有，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，解得：，
令得，而平面的一個(gè)法向量，
依題意，，
設(shè)平面和平面的夾角的夾角是，
則，，
所以平面和平面的正弦值為
18. 橢圓的離心率為，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求的范圍；
（3）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．判斷、、是否成等差數(shù)列，如果是，說明理由并求該數(shù)列的公差．
【答案】（1）
（2）
（3）是，理由見解析，該數(shù)列的公差為或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及最小距離列方程求解；
（2）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，再利用在橢圓內(nèi)列不等式求解即可；
（3）解出m，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到，再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，，可證明，，成等差數(shù)列；先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
【小問1詳解】
，，，，橢圓
【小問2詳解】
設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，，．
將代入橢圓中，可得，
兩式相減可得，，即，
．點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即，（），
解得．．①
【小問3詳解】
由題意得，設(shè)，，，則，，
由（2）及題設(shè)得，．
又點(diǎn)在上，所有，解得，從而，，
于是，同理．
所以，故，即，，成等差數(shù)列．
設(shè)該數(shù)列的公差為，則，②，
將代入①得，所以的方程為，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．所以該數(shù)列的公差為或．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)兩點(diǎn)間公式應(yīng)用計(jì)算焦半徑結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算求出公差.
19. 定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“－數(shù)列”．
（1）已知等比數(shù)列滿足：，，判斷數(shù)列是否為“－數(shù)列”．如果是，說明理由；
（2）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和．
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)為正整數(shù)，若存在“－數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求的最大值．
【答案】（1）數(shù)列為“數(shù)列”；理由見解析
（2）①；②5
【解析】
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，求出首項(xiàng)和即可判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”；
（2）①由得，由即可求出；
②設(shè)的公比為，存在“數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，即對(duì)恒成立，時(shí)可單獨(dú)得出的范圍；當(dāng)，兩邊取對(duì)數(shù)可得，對(duì)有解，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得相應(yīng)最值，然后研究上述關(guān)于的不等式有解的必要條件，即成立的整數(shù)的取值范圍，得到正整數(shù)最大為5時(shí)的范圍，進(jìn)一步驗(yàn)證此處得出的的范圍滿足時(shí)得到的的范圍的要求，進(jìn)而求解.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則
由，，
，得，
數(shù)列首項(xiàng)為1且公比為正數(shù) 即數(shù)列為“數(shù)列”；
小問2詳解】
①當(dāng)，，
當(dāng)，，
，，
，
，
，
展開化簡(jiǎn)得，是等差數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
②設(shè)的公比為．
存在“數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，
即對(duì)恒成立，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，兩邊取對(duì)數(shù)可得，對(duì)有解，
即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，
，
即，在上單調(diào)遞減，
即時(shí)，，
所以，其中
下面求解不等式，
化簡(jiǎn)，得，
令，則，
由得，進(jìn)而，上單調(diào)遞減，
又由于，，
故使得最大整數(shù)，此時(shí)，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，滿足題意，
綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的最大值為5.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于理解題目意思，然后結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化成平時(shí)所練題型進(jìn)行求解.

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