一、單選題（本大題共8小題）
1．設集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設，則（ ）
A．1B．2C．D．
3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知兩個非零向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（ ）
A．0.25B．0.4C．0.5D．0.6
6．如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與.現(xiàn)測得，，米，在點測得塔頂?shù)难鼋?，則塔高約為（ ）（單位：米，）
A．42.42B．45.42C．50.42D．60.42
7．如圖，這是戰(zhàn)國時楚國標準度量衡器，于1954年出土于湖南長沙的木衡銅環(huán)權(quán)，包括木質(zhì)秤桿、兩個銅盤和九枚銅環(huán)權(quán)，為等臂衡秤式樣，其中銅環(huán)權(quán)類似于砝碼，用于測量物體質(zhì)量．已知九枚銅環(huán)權(quán)中質(zhì)量最小的為1銖，最大的為8兩（古制1兩=24銖，1斤=16兩），且按從小到大的順序排列后前3項構(gòu)成等差數(shù)列，后7項構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，若某物體的質(zhì)量恰為第2，5，7枚銅環(huán)權(quán)的質(zhì)量和，則該物體的質(zhì)量為（ ）
A．2兩4銖B．2兩14銖C．3兩2銖D．3兩12銖
8．已知函數(shù)的定義域為，，都有：，且，則（ ）
A．1600B．1601C．820D．821
二、多選題（本大題共3小題）
9．某手機商城統(tǒng)計的2024年5個月智能手機的銷量（萬部）如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的關于月份編號的回歸直線方程為，則（ ）
A．
B．與正相關
C．當月份編號增加1時，銷量增加0.5萬部
D．預測2025年6月份該手機商城的銷量約為6萬部
10．已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，若，則（ ）
A．的坐標為B．
C．D．
11．Sigmid函數(shù)是一個在生物學中常見的S型函數(shù)，也稱為S型生長曲線，常被用作神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù).記為Sigmid函數(shù)的導函數(shù)，則（ ）
A．B．Sigmid函數(shù)是減函數(shù)
C．函數(shù)的最大值是D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知角的終邊過點，則 .
13．如圖所示，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱的平面，記平面分三棱臺兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么 .
14．已知曲線，則下列說法正確的有 .
①不是封閉圖形 ②有4條對稱軸
③與坐標軸有4個交點 ④與直線有4個交點
四、解答題（本大題共5小題）
15．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前項和為，證明：.
16．在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
17．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù).
(1)當時，令，求在處的切線方程.
(2)若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.
(3)若方程有兩個不等實根，求的取值范圍.
18．某工廠為了提高精度，采購了一批新型機器，現(xiàn)對這批機器的生產(chǎn)效能進行測試，對其生產(chǎn)的第一批零件的直徑進行測量，質(zhì)檢部門隨機抽查了100個零件的進行統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：
已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表）.
參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，
，.
(1)試估計這批零件直徑在的概率；
(2)以頻率估計概率，若在這批零件中隨機抽取4個，記直徑在區(qū)間內(nèi)的零件個數(shù)為Z，求Z的分布列及數(shù)學期望；
(3)若此工廠有甲、乙兩臺機器生產(chǎn)這種零件，且甲機器的生產(chǎn)效率是乙機器的生產(chǎn)效率的3倍，甲機器生產(chǎn)的零件的次品率為0.3，乙機器生產(chǎn)的零件的次品率為0.2，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.若檢測出這個零件是次品，求這個零件是甲機器生產(chǎn)的概率.
19．已知平面上的動點到點的距離與到直線的距離相等，點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設過點的直線交于兩點，過點的直線與的另一個交點為，點在與之間.
（i）證明：線段垂直于軸；
（ii）記的面積為的面積為，求的取值范圍.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由集合，
又因為，可得.
故選B.
2．【答案】C
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選C.
3．【答案】C.
【詳解】由，可得.
故選C.
4．【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以，所以向量在向量上的投影向量為.
故選D.
5．【答案】B
【詳解】設第一次取得白球為事件，第二次取得紅球為事件，
所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：
.
故選B.
6．【答案】A
【詳解】由題意，在中，，
由正弦定理可知.
在中，易知，
于是.
故選A.
7．【答案】B
【詳解】設九枚銅環(huán)權(quán)按從小到大的順序排列后的質(zhì)量為，
由題意知，，，得，
則，，，銖兩14銖．
故選B.
8．【答案】D
【詳解】依題意，由，得，兩式相加得，
而，因此，
取，則，
所以
.
故選D.
9．【答案】AB
【詳解】對于A，由表中數(shù)據(jù)，計算得，
故得到，
則，解得，故A正確，
對于B，由回歸直線方程中的系數(shù)為正可知，
與正相關，且其相關系數(shù)，故B正確；
對于C，線性回歸方程只是一種統(tǒng)計預測方法，當月份編號增加1時，銷量不一定增加0.5萬部，故C錯誤，
對于D，2025年6月份對應的月份編號，
而，故D錯誤.
故選AB.
10．【答案】BD
【詳解】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，
則焦點，所以A錯誤；
由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；
由，可得，所以，則，所以C不正確；
由，所以D正確．
故選BD．
11．【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，求出導函數(shù)，代入驗證可以判斷A；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可以判斷B；利用基本不等式，可以判斷C；易知函數(shù)關于點對稱，進而可以求D.
【詳解】由函數(shù)得.
對于A，，故A正確；
對于B， ，，則Sigmid函數(shù)是增函數(shù)，故B錯誤；
對于C，，當且僅當，即時取等號，故C正確；
對于D，因為＋＋1，
所以，故D正確．
故選ACD.
【思路導引】求解函數(shù)的最值，導數(shù)法是一種很重要的方法，但在某些問題中，用導數(shù)可能很繁瑣，可變形函數(shù)借助均值不等式、配方法等求解.
12．【答案】10
【詳解】由角的終邊過點，得，
所以.
13．【答案】3：4
【解析】設三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，計算體積得到答案.
【詳解】設三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，
，.
14．【答案】①③④
【詳解】對于①，因為，
所以或，
所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點為的等軸雙曲線構(gòu)成，故①正確；
對于②，由①項分析知，E只關于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故②錯誤；
對于③，由①項分析可知，曲線E與坐標軸的交點為，故③正確；
對于④，因為C的一條漸近線方程為且，
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，直線與雙曲線有2個交點，
又直線與圓M有2個交點，故直線與有4個交點，故④正確.
15．【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）依題可得：，
即：，
解得，
所以.
（2）證明：設，
則，
所以，
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點為，連接，
因為是邊長為2的等邊三角形，所以，
在直角三角形中，，為中點，所以，
又，所以，
所以°，即，
又∵，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）
由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系
則，所以，
設平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
設平面的法向量為，則，
設平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）當時，，所以，，，所以，所以在處的切線方程為；
（2）由，得，
記，所以，
當時，恒成立，為增函數(shù)，不符合題意，
當時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，
即的取值范圍為.
（3）方程，
當時，顯然方程不成立，所以，則.
方程有兩個不等實根，即與的圖象有個交點，
且，其中，
當或時，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
當時，，當時，，
則當時，且當時，取得極小值，
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

因此與有個交點時，，即，
故的取值范圍為.
18．【答案】(1)0.47725；
(2)分布列見詳解，1；
(3).
【詳解】（1）由平均數(shù)與方差的計算公式分別得
，
，
故，，
設表示零件直徑，則，即，
則，
，即；
（2）由題意知，這批零件直徑在的概率為，
Z的取值范圍為，
則，
，
，
，
，
因此可得Z的分布列為
因為Z服從二項分布，則Z的數(shù)學期望；
（3）設“抽取的零件為甲機器生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為乙機器生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為次品”記為事件B，
則，，，，
則，
，
所以這個零件是甲機器生產(chǎn)的概率為.
19．【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）.
【詳解】（1）設點，由于動點到點的距離與直線的距離相等，
所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線.
設此拋物線的方程是，則，故曲線的方程是.
（2）（i）因為直線的斜率不為0，故設的方程為，
聯(lián)立可得：，，
則，
.
故，故直線與直線關于軸對稱，即點與點關于軸對稱，所以線段垂直于軸.
（ii）由（i）可知，不妨設，因為點在與之間，所以，
，
則，
令，則，
令，則，解得；
令，解得.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以的取值范圍為.
月份
7月
8月
9月
10月
11月
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
m
4
零件直徑（單位：厘米）
零件個數(shù)
10
25
30
25
10
Z
0
1
2
3
4
P

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