1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的名字、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
一、單項(xiàng)選擇題. 本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.
1．設(shè)集合，則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合并集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，故選：A
2．命題“”的否定是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】含量詞的命題的否定可通過通過改變量詞，否定結(jié)論得到.
【詳解】命題 “”的否定是“”，
故選：B.
3．下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( )
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】抓住題目要求，判斷給定的函數(shù)既是奇函數(shù)又是定義域上的增函數(shù)，進(jìn)行逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：選項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
選項(xiàng)中函數(shù)為偶函數(shù)，在定義域內(nèi)有增有減，不符合題意；
選項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù)，在定義域是增函數(shù)，符合題意；
選項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù)，但在和上為增函數(shù)，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的及其運(yùn)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知，則的最小值為( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】利用配湊法和基本不等式即可求得.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，
即時(shí)，取得最小值7.
故選：D.
5．設(shè)， ，則是的( )條件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】解二次不等式可得q：或，然后再利用充分條件、必要條件的定義即可求解.
【詳解】或，
所以，且，
所以是的充分不必要條件.
故選：B.
6．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( )
A．與B．與
C．與D．與
【答案】C
【分析】判斷每一選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義、對應(yīng)關(guān)系、值域是否完全相同即可得答案.
【詳解】對于A，第一個(gè)函數(shù)的定義域是，第二個(gè)函數(shù)定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)；
對于B，第一個(gè)函數(shù)的定義域是R，第二個(gè)函數(shù)定義域是，定義域不同，故不是同一函數(shù)；
對于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同、值域相同，故是同一函數(shù)；
對于D，第一個(gè)函數(shù)定義域?yàn)镽，第二個(gè)函數(shù)定義域?yàn)?，定義域不同，故不是同一函數(shù).
故選：C.
7．下列函數(shù)中，值域是的是( )
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】對選項(xiàng)A：，即函數(shù)的值域?yàn)椋e(cuò)誤；
對選項(xiàng)B：，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的，值域不連續(xù)，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)D：，函數(shù)的值域?yàn)?
故選：D
8．若關(guān)于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對分類討論即可得a的取值集合.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為對恒成立；
當(dāng)，要使得不等式對恒成立，則，解得
綜上，a的取值集合為.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題. 本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列選項(xiàng)是正確的是( )
A．若，則；B．若且，則
C．若，則；D．若且，則
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.
【詳解】A. 當(dāng)，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
B. 當(dāng)時(shí)，，又，，故B正確；
C. 因?yàn)?，所以，則，故C正確；
D. 因?yàn)榍?，所以，所以，故D正確.
故選：BCD
10．已知，都是正數(shù)，且，則下列說法正確的是( )．
A．的最大值為B．的最小值為12
C．的最小值為D．的最大值為
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式可對A，B、D判斷；利用基本不等式“1”的應(yīng)用可對C判斷；
【詳解】對A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故A選項(xiàng)正確；
對B：，由A知，所以，
僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對C：由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故C選項(xiàng)正確；
對D：由A知，所以，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
11．函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象上任一點(diǎn)滿足．則下列命題中正確的是( )：
函數(shù)可以是奇函數(shù)；
B. 函數(shù)一定是偶函數(shù)；
C. 函數(shù)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；
若函數(shù)值域是，則一定是奇函數(shù)．
【答案】AD
【分析】結(jié)合的奇偶性、值域等知識確定正確答案.
【詳解】由于的定義域是，
則，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的圖象有如下四種情況：
(1)
(2)
(3)
(4)
根據(jù)圖象可知AD正確，
故答案為：AD
三、填空題. 本大題共3小題，每小題5分，其中14題第一空2分，第二空3分，共15分.
12．設(shè)，則
【答案】3
【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)代入計(jì)算即可得.
【詳解】，則.
故答案為：3.
13．某校有26個(gè)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)小組，17個(gè)學(xué)生參加了物理小組，10個(gè)學(xué)生參加了化學(xué)小組，其中同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理小組的有12人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、化學(xué)小組的有6人，同時(shí)參加物理、化學(xué)小組的有5人，同時(shí)參加3個(gè)小組的有2人，現(xiàn)在這3個(gè)小組的學(xué)生都要乘車去市里參加數(shù)理化競賽，則需要預(yù)購 張車票.
【答案】32
【分析】根據(jù)韋恩圖，即可求解總?cè)藬?shù).
【詳解】由題意可得韋恩圖，如圖所示，
參加數(shù)理化競賽的學(xué)生有人，
所以需預(yù)購32張車票.
10

故答案為：32
14．已知函數(shù)在上的最大值為，在上的最大值為，
①當(dāng)時(shí)，A=
②若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】 ；
【分析】作出的圖象，分和兩種情況討論函數(shù)在上的最大值和在上的最大值，列出關(guān)系，解不等式即可得到答案.
【詳解】①
②由函數(shù)，作出的圖象如下：
由題得：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，即，
要使，則，令，解得：，，，，
由圖可得，要使函數(shù)在上的最大值為，且，
則，或，解得：.
當(dāng)時(shí)，
由圖，在上最大值，
在上單調(diào)遞增，最大值，
不可能成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
解答題. 本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．(13分)已知二次函數(shù)的圖像過，且函數(shù)圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由點(diǎn)在函數(shù)圖像上，可得n值，又由頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入對稱軸得m，求得函數(shù)的解析式；
(2)由已知函數(shù)圖像的對稱軸，函數(shù)在上的最小值必在頂點(diǎn)處取得，最大值必在端點(diǎn)處取得，求得值域.
【詳解】(1)由點(diǎn)在函數(shù)圖像上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得：
．
．
(2)圖像的對稱軸為．
故函數(shù)在上的最小值為，
又，
故函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?br>16．(15分)已知集合 ，
(1)若， 求；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)解不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解即得.
(2)根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系列式求解即可.
【詳解】(1)解不等式，得，當(dāng)時(shí)，集合，
所以
(2)由，得，則，解得，
所以的取值范圍是．
17．(15分)已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)用定義法討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)設(shè)，滿足，求a的取值范圍.
【答案】(1)3
(2)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，證明見解析
(3)
【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得的值；
(2)根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明．
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【詳解】(1)由題意可得：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)
，即，解得. 故
(2)任取，令
又，
故當(dāng)，即或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增
在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減
(3)，由(2)知：在單調(diào)遞減，由可得：
，故a的取值范圍為
18．(17分)重慶市第七屆運(yùn)動會于2024年3月至2024年10月在重慶合川舉行，運(yùn)動會舉辦前，某公司為了竟標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售 8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查，若每件售價(jià)提高1元，銷售量將相應(yīng)減少0.2萬件，要使銷售的總收入不低于原銷售收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元?
(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到元. 公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動宣傳費(fèi)用. 試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原銷售收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).
【答案】(1)40元；
(2)至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件，每件定價(jià)30元.
【分析】(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，由題設(shè)有，解一元二次不等式求范圍，即可確定最大值；
(2)問題化為時(shí)，有解，利用基本不等式求右側(cè)最小值，并確定等號成立條件，即可得到結(jié)論.
【詳解】(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得，
則，解得，
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元
(2)依題意，時(shí)，不等式有解 ，
等價(jià)于時(shí)，有解，
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 )，
所以，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元，
當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．
19．(17分)若函數(shù)G在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)G是在上的“幸福函數(shù)”．
(1)下列三個(gè)函數(shù)①；②；③，哪一個(gè)是在上的“幸福函數(shù)”，并說明理由．
(2)已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)G是在上的“幸福函數(shù)”，求t的值；
(3)已知函數(shù)，若函數(shù)G是在(m為整數(shù))上的“幸福函數(shù)”，且存在整數(shù)k，使得，求a的值．
【答案】(1)①，理由見解析；
(2)或；
(3)
【分析】(1)根據(jù)“美好函數(shù)”的定義逐個(gè)分析判斷即可；
(2)求出二次函數(shù)的對稱軸，然后分，，和四種情況求函數(shù)在給定范圍上的最值，然后利用列方程可求出的值；
(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，從而可求出，，然后由為整數(shù)可求出，再由列方程可求出.
【詳解】(1)對于①在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，符合題意；
對于②在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，不符合題意；
對于③在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，不符合題意；
故①是在上的美好函數(shù)；
(2)二次函數(shù)為，對稱軸為直線，
在1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
若，在上單調(diào)遞增，
則，解得(舍去)；
若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，解得(舍去)，；
若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，解得，(舍去)；
若，在上單調(diào)遞減，
則，解得(舍去)．
綜上所述，或；
(3)由(2)可知，二次函數(shù)對稱軸為直線，
又，
，
，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)取得最大值，時(shí)取得最小值，
∴
，為整數(shù)，且，
，即的值為5，
又∵，
，
．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)二次函數(shù)對稱軸確定但自變量取值區(qū)間變化時(shí)，需分“對稱軸在區(qū)間左側(cè)、中間、右側(cè)”進(jìn)行討論，對稱軸在區(qū)間中間時(shí)，還需繼續(xù)分析自變量區(qū)間中間值和對稱軸的關(guān)系，以此來確定函數(shù)的最值.

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