2、學會運用數形結合思想。數形結合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以形助數）。
3、要學會搶得分點。要將整道題目解題思路轉化為得分點。
4、學會運用等價轉換思想。將復雜轉化為簡單，將抽象轉化為具體，將實際轉化為數學。
5、學會運用分類討論的思想?？v觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉化思想:把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，把未知的問題轉化為已知的問題。
專題23 實際應用之隧道問題
例1：（2024秋?中山市校級月考）九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐—應用—探究的過程
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．
（2）應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探究拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
①如圖2，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．
②如圖3，過原點作一條直線y＝x，交拋物線于M，交拋物線的對稱軸于N，P為直線OM上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，問在直線OM上是否存在點P，使以點P、N、Q為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）根據坐標系可知此函數頂點坐標為（5，6.25），且圖象過（10，0）點，
代入頂點式得：y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
（2）當最寬3米，最高3.5米的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，
∴10﹣3×2＝4，4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
解得y＝4，
∴4﹣3.5＝0.5（米），
∴隧道能讓最寬3米，最高3.5米的兩輛廂式貨車居中并列行駛；
（3）①假設AO＝x米，可得AB＝（10﹣2x）米，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25（米）；
∵矩形ABCD的周長為l，
∴l(xiāng)＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：；
②在直線OM上存在點P，使以點P、N、Q為頂點的三角形為等腰直角三角形；理由如下：
當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形時，
∵P在y＝x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．如圖3，
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q點的縱坐標為5，
∴5＝﹣m2+10m 4，
解得：，
∴P或，
當∠P3NQ3＝90°時，過點Q3作Q3K1⊥對稱軸，
當△NQ3K1為等腰直角三角形時，△NP3Q3為等腰直角三角形，
Q點在OM的上方時，
P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝，Q3K1＝5﹣x，
Q點在OM的下方時，
P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝，Q4K2＝x﹣5，
∴，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10），
∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：
或或（4，4）或（10，10）．
對應練習：
1．（2024?通榆縣一模）如圖，一個橫截面為拋物線的隧道，其底部的寬AB為8m，拱高為4m．該隧道為雙向車道，且兩車之間有0.4m的隔離帶，一輛寬為2m的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂部與隧道間有不少于0.5m的空隙，則該貨車能夠安全通行的最大高度是 2.29 m．
【解答】解：以AB所在直線為x軸，過拱頂垂直地面的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖：
則A（﹣4，0），C（0，4），
設拋物線解析式為y＝ax2+k，
由題意，得，
解得：，
∴拋物線表達式為y＝﹣x2+4；
∵2+＝2.2，
當x＝2.2時，y＝﹣×2.22+4＝2.79，
2.79﹣0.5＝2.29 （m）．
∴該貨車能夠通行的最大高度為2.29m，
故答案為：2.29．
2．（2022秋?鎮(zhèn)原縣期中）有一輛載有長方體形狀集裝箱的貨車想通過橫截面為拋物線的隧道，如圖所示，已知隧道的底部寬：AB為4m，高OC為3.2m，集裝箱的寬與貨車的寬都是2.4m，集裝箱頂部離地面2.1m，這輛貨車 不能 通過這個隧道（填“能”或“不能”）．
【解答】解：如圖，以O點為原點AB為x軸，建立直角坐標系，
根據題意知點A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，3.2），
設拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣2），
將（0，3.2）代入，得：﹣4a＝3.2，
解得：a＝﹣0.8，
則拋物線解析式為y＝﹣0.8x2+3.2，
當x＝1.2時，y＝2.048＜2.1，
所以貨車不能通過隧道．
故答案為：不能．
3．某隧道的內拱橫截面的輪廓線是一條拋物線，隧道地面寬為16米，頂端離地面的高度為8米，當車輛寬度為10米時，車輛應限高在 米內，才能確保隧道內行車安全．
【解答】解：建立如圖所示的坐標系，虛線矩形為車輛最大通行時的位置，
設拋物線的頂點為D，由題意得，點D（8，8），
設拋物線的表達式為y＝a（x﹣8）2+8，
將點（0，0）點入上式得：0＝a（0﹣8）2+8，解得a＝﹣，
故拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣8）2+8，
設車輛的最右端為點A（13，0），
將點A的坐標代入拋物線的表達式得：y＝﹣（13﹣8）2+8＝（米），
故答案為．
4．（2023秋?農安縣期末）如圖，有一個橫截面邊緣為拋物線的隧道入口，隧道入口處的底面寬度為8m，兩側距底面4m高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為6m，則這個隧道入口的最大高度為 9.1 m（精確到0.1m）．
【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系．
由題意可知各點的坐標，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．
設拋物線的解析式為：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得
，
解得，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+，
則C（0，）．
∵m≈9.1m．
故答案為：9.1．
5．（2024秋?平山縣期中）如圖是某隧道截面，由部分拋物線和矩形構成，以矩形的頂點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線的解析式為，頂點為P，且AD＝2m．點C的坐標為 （8，2） ．
【解答】解：由題意得：D（0，2），
設C（x，y），
拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝4，
在矩形ABCD中，AD＝BC，
∴C、D關于x＝4對稱，
x+0＝2×4，y＝2，
解得：x＝8，
∴C（8，2），
故答案為：（8，2）．
6．（2024秋?平城區(qū)校級月考）山西是一個多山的省份，大部分地區(qū)平均海拔在1000米以上，全省面積中80%以上是山地和丘陵在公路建設中，過去的普遍做法是盤山繞行或深填高挖，現在則多沿著山腳打隧道而過．如圖，已知某隧道的截面是拋物線形，且該拋物線的解析式為，為增加照明度，在該拋物線上距地面AB高為6米的點E，F處要安裝兩盞燈，則這兩盞燈的水平距離EF是 米．
【解答】解：令y＝6，則＝6，
解得，
故EF＝x1﹣x2＝4，
故答案為：．
7．（2023秋?霍邱縣月考）如圖，一輛寬為2米的貨車要通過跨度為8米，拱高為4米的單行拋物線隧道（從正中通過），拋物線滿足表達式y(tǒng)＝﹣+4．保證安全，車頂離隧道的頂部至少要有0.5米的距離，求貨車的限高應是多少．
【解答】解：當x＝1時，y＝﹣+4＝3.75，
∴3.75﹣0.5＝3.25（米）．
答：貨車的限高應是3.25米．
8．（2023?蓮湖區(qū)一模）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成．長方形的長為16m，寬為6m，拋物線的最高點C離路面AA1的距離為8m．
（1）建立適當的坐標系，求出表示拋物線的函數表達式；
（2）一大型貨車裝載設備后高為7m，寬為4m．如果隧道內設雙向行駛車道，那么這輛貨車能否安全通過？
【解答】解：（1）如圖，以AA1所在直線為x軸，以線段AA1的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，
根據題意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
設拋物線的解析式為y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a＝﹣．
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+8．
（2）根據題意，把x＝±4代入解析式y(tǒng)＝﹣x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴貨運卡車能通過．
9．（2013?武漢模擬）有一拋物線形隧道跨度為8米，拱高為4米．
（1）建立適當的平面直角坐標系，使隧道的頂端坐標為（O，4）；隧道的地面所在直線為x軸，求出此坐標系中拋物線形隧道對應的函數關系式；
（2）一輛裝滿貨后寬度為2米的貨車要通過隧道，為保證通車安全，車要從正中通過，車頂離隧道頂部至少要有0.5米的距離，試求貨車安全行駛裝貨的最大高度為多少米？
【解答】解：（1）∵隧道跨度為8米，隧道的頂端坐標為（O，4），
∴A、B關于y軸對稱，
∴OA＝OB＝AB＝×8＝4，
∴點B的坐標為（4，0），
設拋物線頂點式形式y(tǒng)＝ax2+4，
把點B坐標代入得，16a+4＝0，
解得a＝﹣，
所以，拋物線解析式為y＝﹣x2+4；
（2）∵車的寬度為2米，車從正中通過，
∴x＝1時，y＝﹣×12+4＝，
∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為﹣＝（米）．
10．（2024?安康一模）某山體的隧道截面近似于拋物線，隧道最高點A距離地面5m，隧道地面MN寬8m．如圖，以MN為x軸，M為坐標原點構建平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數表達式．
（2）現要在拋物線型隧道內安裝一個矩形LED屏，LED屏長為2m，寬為50cm，若矩形同LED屏的一個頂點在拋物線上且長邊需平行于MN．求LED屏底邊距離地面的最大高度．
【解答】解：（1）根據題意，A為拋物線的頂點，A點坐標為（4，5），M（0，0），N（8，0），
設拋物線解析式為y＝a（x﹣4）2+5，
把M（0，0）代入解析式得：16a+5＝0，
解得a＝﹣，
∴拋物線的函數表達式為y＝﹣（x﹣4）2+5；
（2）如圖所示：
由題意可知，EF∥MN，CD＝EF＝2m，CE＝DF＝50cm＝0.5m，
由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x＝4，
∴點C的橫坐標為4﹣1＝3，
∴當x＝3時，y＝﹣×1+5＝4.6875，
4.6875﹣0.5＝4.1875（m），
∴LED屏底邊距離地面的最大高度為4.1875m．
11．（2017秋?蜀山區(qū)校級期中）有一輛載有長方體形狀集裝箱的貨車想通橫截面為拋物線的隧道，如圖所示，已知隧道底部寬AB為 4m，高OC為 3.2m，集裝箱的寬與貨車的寬都是 2.4m，集裝箱頂部離地面 2.1m．這輛貨車能通過這個隧道嗎？請說明理由．
【解答】解：如圖，以O點為原點AB為x軸，建立直角坐標系，
根據題意知點A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，3.2），
設拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣2），
將（0，3.2）代入，得：﹣4a＝3.2，
解得：a＝﹣0.8，
則拋物線解析式為y＝﹣0.8x2+3.2，
當x＝1.2時，y＝2.048＜2.1，
所以貨車不能通過隧道．
12．（1）一輛寬2m的貨車要通過跨度為8m、拱高為4m的單行拋物線隧道（從正中通過），為了保證安全，車頂離隧道頂部至少要0.5m的距離，貨車的限高為多少？
（2）若將（1）中的單行道改為雙行道，即貨車必須從隧道中線的右側通過，貨車的限高應是多少？
【解答】解：（1）如圖所示，建立平面直角坐標系，∵隧道跨度為8米，隧道的頂端坐標為（O，4），
∴A、B關于y軸對稱，
∴OA＝OB＝AB＝×8＝4，
∴點B的坐標為（4，0），
設拋物線頂點式形式y(tǒng)＝ax2+4，
把點B坐標代入得，16a+4＝0，
解得a＝﹣，
所以，拋物線解析式為y＝﹣x2+4（﹣4≤x≤4），
∵車的寬度為2米，車從正中通過，
∴x＝1時，y＝﹣×12+4＝，
∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為﹣＝（米），
即貨車的限高為：m；
（2）由題意可得：當x＝2時，y＝3，
故貨車限高為3﹣0.5＝2.5（米）．
13．（2024秋?海珠區(qū)校級期中）如圖是大廣高速路上單向雙車道某隧道的橫截面，其形狀是拋物線型，有關尺寸如圖所示，現有一輛車身寬為2.5m的貨車準備裝一批貨物途過此隧道前往某地，（根據高速公路管理規(guī)定：機動車在通過隧道時只能在一條道上行駛）．
（1）建立適當的平面直角坐標系并求出此拋物線的解析式；
（2）這輛貨車滿載貨物時限高為多少？
【解答】解：（1）如圖，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，
則O（0，0），B（5，﹣6），
設y＝ax2，
∵拋物線經過（5，﹣6），
∴﹣6＝25a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2（﹣5≤x≤5）；
（2）由題意，∵車身寬為2.5m，
∴令x＝2.5，則y＝﹣×2.52＝﹣1.5．
∴這輛貨車滿載貨物時限高為1.5m．
14．（2024秋?福州期中）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度OM為16米．現以點O為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．
（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明．
【解答】解：（1）依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米，現在O點為原點，
∴點M（16，0），頂點P（8，8），
設拋物線的解析式為y＝ax2+bx，
把點M（16，0），點P（8，8）代入得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∵OM＝16，M（16，0），
∴自變量x的取值范圍為：0≤x≤16；
（2）該雙車道能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛；理由如下：
當時，，
故能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛．
15．（2024秋?大連期中）如圖，一條單向通行且一排道的隧道，它的截面由拋物線和長方形構成．在長方形OCBA中，OC長為6m，AO長為2m，隧道最高點P位于AB的中央且距地面5m，以OC為x軸，OA為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若一輛貨車高4m，寬3m，這輛貨車能否從該條隧道通過？為什么？
【解答】解：（1）由題意，設拋物線的方程為y＝a（x﹣3）2+5，
又∵點A（0，2）在拋物線上，
∴可有2＝a（0﹣3）2+5，
解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣3）2+5．
（2）由題意，由（1）令y＝4，則有4＝﹣（x﹣3）2+5．
∴x＝3+或x＝3﹣．
∵3+﹣（3﹣）＝2＞3，
∴該貨車可以通過．
16．（2024秋?蘇州期中）項目式學習．
【解答】解：任務1：以O為原點，以AB所在直線為x軸，以OC所在的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，
∴頂點C為（0，5），
∵拋物線過A（﹣5，0），
設拋物線的解析式為：y＝ax2+5，
把A（﹣5，0）代入解析式得：25a2+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+5；
任務2：
∵普通貨車的高度大約為2.5m，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm，
∴當懸掛點的縱坐標y≥2.5+0.2+0.5＝3.2，
即懸掛點的縱坐標的最小值是3.2m，
當y＝3.2時，﹣x2+5＝3.2，
∴x＝±3，
∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是：﹣3≤x≤3；
任務3：
方案一：如圖2（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈帶，
∵﹣3≤x≤3，相鄰兩盞燈帶懸掛點的水平間距均為0.8m，
∴若頂點一側懸掛4條燈帶時，0.8×4＞3，
若頂點一側懸掛3條燈帶時，0.8×3＝2.4＜3，
∴頂點一側最多懸掛3條燈帶，
∵燈掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛7條燈帶，
∴最右邊一條燈帶的橫坐標為：0.8×3＝2.4；
方案二：如圖3，
∵若頂點一側懸掛5條燈帶時，0.4+0.8×（5﹣1）＞3，
若頂點一側懸掛4條燈帶時，0.4+0.8×（4﹣1）＜3，
∴頂點一側最多懸掛4條燈帶，
∵燈掛滿后成軸對稱分布，
∴共可掛8條燈帶，
∴最右邊一條燈帶的橫坐標為：0.4+0.8×3＝2.8．
綜上，掛7條或8條，最右邊一條燈帶安裝點的橫坐標分別為2.4和2.8．
17．（2024秋?昭通月考）近年來，云南在公路與隧道建設方面成績顯著，已建成通車的公路隧道數量及長度均居全國第一．現有一座隧道的截面由拋物線和長方形構成．在長方形OCBA中，OC長為6m，AO長為2m，隧道最高點P位于AB的中央且距地面5m，以OC為x軸，OA為y軸建立如圖所示的坐標系，若一輛貨車高4m，寬3m，能否從隧道通過？為什么？
【解答】解：設拋物線的方程為y＝a（x﹣3）2+5，
又∵點A（0，2）在拋物線上，
∴可有2＝a（0﹣3）2+5，
解得，
∴，
令y＝4，則有，
∴，，
∵，
∴該貨車可以通過．
18．（2024秋?杭州月考）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現在O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．
（1）求出這條拋物線的函數解析式；
（2）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上，設A的橫坐標為t，求AB＝ ﹣（x﹣6）2+6 ，AD＝ 12﹣2x .（用含t的代數式表示）
（3）為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？
【解答】解：（1）∵頂點坐標（6，6），
∴設y＝a（x﹣6）2+6（a≠0），
又∵圖象經過（0，0），
∴0＝a（0﹣6）2+6，
∴，
∴這條拋物線的函數解析式為y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x；
（2）設A（x，y），
∴A（x，﹣（x﹣6）2+6），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝﹣（x﹣6）2+6，
根據拋物線的軸對稱性，可得：OB＝CM＝x，
∴BC＝12﹣2x，即AD＝12﹣2x，
故答案為：﹣（x﹣6）2+6，12﹣2x；
（3）令L＝AB+AD+DC
＝2[﹣（x﹣6）2+6]+12﹣2x
＝﹣x2+2x+12
＝﹣（x﹣3）2+15．
∴當x＝3，L最大值為15，
∴AB、AD、DC的長度之和最大值為15米．
19．（2023秋?萊西市校級期中）如圖，有一條雙向隧道，其橫斷面由拋物線和矩形ABCO的三邊組成，隧道的最大高度為4.9米；AB＝10米，BC＝2.4米，
（1）在如圖所示的坐標系中，求拋物線的解析式．
（2）若有一輛高為4米，寬為2米裝有集裝箱的汽車要通過隧道，則汽車靠近隧道的一側離開隧道壁m米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規(guī)則，問m的取值范圍是多少？
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx，
由題意知，隧道的最大高度為4.9米；AB＝10米，BC＝2.4米，
由題意可知，拋物線的頂點坐標為（5，2.5），且過（10，0）點，
則有，
∴a＝﹣0.1，b＝1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣0.1（x﹣5）2+2.5；
（2）由題意得，y＝﹣0.1（x﹣5）2+2.5，
當y＝4﹣2.4＝1.6時，﹣0.1（x﹣5）2+2.5＝1.6，
∴x1＝2，x2＝8．
當x＝2或8時，集裝箱剛好碰到隧道的頂部，此時m＝2，
當m＝3時，此時剛好違反交通規(guī)則，
∵汽車靠近隧道的一側離開隧道壁m米，才不會碰到隧道的頂部，又不違反交通規(guī)則，
∴2＜m＜3，
∴m的取值范圍是2＜m＜3．
20．（2024秋?東港區(qū)校級月考）如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構成，矩形的長AB為4m，寬BC為3m，以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸，最高點E到地面的距離為4m．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）在距離地面高處，隧道的寬度是多少？
（3）如果該隧道為單行道（只能朝一個方向行駛），現有一輛貨運卡車高3.4m、寬2.4m，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論．
【解答】解：（1）根據題意，得點D（﹣2，0），C（2，0），E（0，1）．
設拋物線的解析式為y＝ax2+1．
把點D（﹣2，0）代入y＝ax2+1，得4a+1＝0．
解得．
∴拋物線的解析式為．
（2）在中，令，得．
解得，．
∵，
∴在距離地面高處，隧道的寬度是．
（3）解：這輛貨運卡車能通過該隧道．
2.4÷2＝1.2（m）．
將x＝1.2代入，得y＝0.64．
∵3+0.64＝3.64＞3.4，
∴這輛貨運卡車能通過該隧道．
21．（2023秋?滁州校級月考）如圖1，某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2，橫截面的上邊緣是一段拋物線，以拋物線的對稱軸作為y軸，以水平地面作為x軸建立平面直角坐標系．已知該拋物線的頂點坐標為C（0，6），拋物線與x軸的交點分別為點A和點B，拋物線的表達式為．（長度單位：m）
（1）求AB的長；
（2）若每個隧道都是雙向車道，中間是實線（車輛不能壓實線，實線的寬度忽略不計），現有一輛高4m，寬3m的貨車次通過此隧道，請你判斷該貨車能否通過該隧道，并說明理由．
【解答】解：（1）把點C（0，6）代入，得c＝6，
∴拋物線的表達式為．
當y＝0時，，
解得，x1＝6，x2＝﹣6，
∴AB＝6﹣（﹣6）＝12，
∴AB的長為12m．
（2）該貨車能通過該隧道，理由如下：
當x＝3時，，
∵4.5＞4，
∴高4m，寬3m的貨車能通過該隧道．
22．位于哈密市的東天山特長隧道是國內設計施工難度最大、風險最高的公路隧道之一．如圖是隧道施工時的截面圖，其輪廓線可近似看作拋物線的一部分，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標系，已知其跨度ON為16米，且拋物線過點（4，4.5）．
（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）若兩輛車在該隧道內并排行駛時，需沿中心黃線兩側行駛并間隔2.4米（中心線寬度不計），則兩輛寬為2.4米，高為2.6米的貨車是否能并排行駛？請判斷并說明理由．
【解答】解：（1）由題意得拋物線過原點，
設拋物線的函數表達式為y＝ax2+bx，把（16，0），（4，4.5）代入表達式，
得，
解得，
∴拋物線對應的函數表達式為；
（2）能，理由如下：
由（1）可知8）2+6，
如圖，由題意可知中心線左側貨車需距離中心線最遠2.4米，貨車寬為2.4米，此時貨車距離隧道左側路邊緣3.2米，
當x＝3.2時，，
∵2.6＜3.84，
∴這兩輛貨車能并排行駛．
23．（2024?龍亭區(qū)一模）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在的直線為x軸，以過點O作垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求OE＝12m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9m．
（1）求滿足設計要求的拋物線的函數解析式；
（2）現需在這一隧道內壁的同樣高度的A、B處安裝上照明燈，如圖所示，若要求A、B兩個照明燈之間的水平距離為8m，求出此時A、B兩個照明燈距離地面的高度．
【解答】解：（1）∵OE＝12m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9m，
∴拋物線的頂點P（6，9），
∴可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+9，
把（0，0）代入，得，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵A、B距離地面的高度相同，
∴A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱．
如圖，過點B作y軸的垂線BQ，交y軸于點Q，交拋物線的對稱軸于點F，則BF經過點A．
由（1）知，拋物線的對稱軸為x＝6，則FQ＝6．
∵AB＝8，
則BF＝AF＝4，
∴AQ＝FQ﹣AF＝2，BQ＝QF+BF＝10，
∴A點的橫坐標為2，B點的橫坐標為10，
令x＝2，代入拋物線的解析式，
得y＝5，
∴此時A、B兩個照明燈距離地面的高度為5m．
24．（2024?平頂山三模）小明發(fā)現有一處隧道的截面由拋物線的一部分和矩形構成，他對此展開研究：測得矩形的寬為OC＝2m，長為OA＝8m，最高處點P到地面的距離PQ為6m．建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k．其中y（m）表示拋物線上任一點到地面OA的高度，x（m）表示拋物線上任一點到隧道一邊OC的距離．
（1）求拋物線的解析式．
（2）為了保障貨車在道路上的通行能力及行車安全，根據我國交通運輸部的相關規(guī)定，普通貨車的寬度應在2m﹣2.55m之間，高度應在3.8m﹣4.2m之間．小明發(fā)現隧道為單行道，一貨車EFGH沿隧道中線行駛，寬度FG為2.4m，貨車的最高處與隧道上部的豎直距離DE約為1.3m．通過計算，判斷這輛貨車的高度是否符合規(guī)定．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的頂點為P（4，6），
∴可設拋物線為y＝a（x﹣4）2+6．
又過C（0，2），
∴2＝a（0﹣4）2+6．
∴a＝﹣．
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）2+6．
（2）由題意得，∵FG＝2.4，
∴FQ＝1.2，OF＝4﹣1.2＝2.8．
∴F（2.8，0）．
可設D（2.8，d），
∴d＝﹣（2.8﹣4）2+6＝5.64．
∴D（2.8，5.64），即DF＝5.64m．
∴EF＝DF﹣DE＝5.64﹣1.3＝4.34（m）．
∵4.34m＞4.2m，
∴這輛貨車的高度不符合規(guī)定．
25.（2024?柘城縣校級模擬）如圖1，在物體運動的速度v關于時間t的函數圖象中，函數圖象與橫軸以及直線t＝t1，t＝t2所圍成的圖形（陰影部分）面積等于物體從t1到t2這個時間段的運動路程．現某車以30m/s的速度駛向隧道，到達限速標志位置（隧道前500m）時開始減速，從開始減速到車頭進入隧道用了20s，其速度v關于時間t的函數圖象如圖2所示，t1和t2是兩次雷達測速的時刻，已知第一次雷達測速儀閃光時，車速已經降到了25m/s，第二次雷達測速儀閃光時，車速已經降到了22m/s，則下列說法不正確的是（ ）
[雷達測速儀安裝在車輛前進方向的路上，根據短時間的兩次測速（均有閃光提示），測出兩個時刻車輛和測速儀之間的距離，再用距離差除以兩次測速的時間差，算出這段路程的平均車速]
A．該車進入隧道時的速度為20m/s
B．t1＝12s
C．t2＝16s
D．t1～t2時間段內該車的平均速度為23.5m/s
【解答】解：∵函數圖象與橫軸以及直線t＝t1，t＝t2所圍成的圖形（陰影部分）面積等于物體從t1到t2這個時間段的運動路程，某車以30m/s的速度駛向隧道，到達限速標志位置（隧道前500m）時開始減速，
∴圖2中函數圖象與橫軸、縱軸、直線t＝20圍成的梯形的面積為500．
設t＝20時對應的車速為v1，
∴＝500．
解得：v1＝20．
∴該車進入隧道時的速度為20m/s．
故A選項正確，不符合題意；
設v與t的函數關系式為：v＝kt+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴v＝﹣0.5t+30．
當v＝25時，25＝﹣0.5t+30．
解得：t＝10．
即t1＝10．
故B錯誤，符合題意；
當v＝22時，22＝﹣0.5t+30．
解得：t＝16．
即t2＝16．
故C正確，不符合題意；
t1～t2時間段內該車的平均速度為：＝23.5m/s．
故D正確，不符合題意．
故選：B．
26．（2024?盤州市一模）如圖①，桐梓隧道位于遵義市桐梓縣境內，是貴州省高速公路第一長隧道．如圖②是桐梓隧道的部分截面，圖③是其截面簡化示意圖，由矩形ABCD和拋物線的一部分CED構成，矩形ABCD的邊AB＝12m，AD＝2m，拋物線的最高點E離地面8m．以AB的中點為原點、AB所在直線為x軸．建立平面直角坐標系xOy．
（1）求拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；
（2）為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記．已知將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標記的區(qū)域，則貼黃黑立面標記的區(qū)域的面積為 12 m2；
（3）該隧道為單向雙車道，且規(guī)定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度．
【解答】解：（1）由題意得，頂點E（0，8），
∴可設拋物線為y＝ax2+8．
又∵AB＝12m，AD＝2m，
∴D（6，2），﹣6≤x≤6．
∴2＝36a+8．
∴a＝﹣．
∴所求拋物線的解析式為y＝﹣x2+8（﹣6≤x≤6）．
（2）由題意，如圖，
將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標記的區(qū)域+拋物線CED面積＝拋物線CED面積+矩形C'D'DC面積．
∴貼黃黑立面標記的區(qū)域的面積為1×12＝12（m2）．
故答案為：12．
（3）由題意，∵車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，
∴可令x＝4，則y＝﹣×42+8＝．
又﹣＝5（米），
∴該隧道車輛的限制高度為5米．
27．九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐到應用的過程．
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得一隧道的路面寬為10m．隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖．建立了如圖所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式；
（2）應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？并說明理由．
【解答】解：（1）根據坐標系可知此函數頂點坐標為（5，6.25），且圖象過（10，0）點，
代入頂點式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
（2）隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛．
理由如下：
當最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛．
28．（2024?西安校級模擬）如圖①，是某高速公路正在修建的隧道．圖②是其中一個隧道截面示意圖，由矩形OACB和拋物線的一部分CDB構成，矩形OACB的邊OA＝12m，AC＝2m，拋物線的最高點D離地面8m．
（1）以點O為原點、OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy，求拋物線的表達式；
（2）為了行駛安全，現要在隧道洞口處貼上黃黑立面標記．已知將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標記的區(qū)域，則貼黃黑立面標記的區(qū)域的面積為 12 m2；
（3）該隧道為單向雙車道，且規(guī)定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于的空隙，請利用二次函數的知識確定該隧道車輛的限制高度．
【解答】解：（1）由題意得，B（0，2），
∴可設拋物線為y＝a（x﹣h）2+k．
又∵AB＝12m，
∴D（6，8），0≤x≤12．
∴y＝a（x﹣6）2+8．將B（0，2）
∴a＝﹣．
∴所求拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣6）2+8（0≤x≤12）．
（2）由題意，如圖，
將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標記的區(qū)域+拋物線CED面積＝拋物線CED面積+矩形C'D'DC面積．
∴貼黃黑立面標記的區(qū)域的面積為1×12＝12（m2）．
故答案為：12．
（3）由題意，∵車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內行駛，
∴可令x＝2，則y＝﹣×42+8．
又﹣＝5（米），
∴該隧道車輛的限制高度為5米．
29．（2024秋?大連期中）如圖，一條單向通行且一排道的隧道，它的截面由拋物線和長方形構成．在長方形OCBA中，OC長為6m，AO長為2m，隧道最高點P位于AB的中央且距地面5m，以OC為x軸，OA為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若一輛貨車高4m，寬3m，這輛貨車能否從該條隧道通過？為什么？
【解答】解：（1）由題意，設拋物線的方程為y＝a（x﹣3）2+5，
又∵點A（0，2）在拋物線上，
∴可有2＝a（0﹣3）2+5，
解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣3）2+5．
（2）由題意，由（1）令y＝4，則有4＝﹣（x﹣3）2+5．
∴x＝3+或x＝3﹣．
∵3+﹣（3﹣）＝2＞3，
∴該貨車可以通過．
30．（2024秋?紅塔區(qū)校級月考）如圖，某市一條高速公路的隧道口在平面直角坐標系上的示意圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是16m，寬是6m，隧道頂距地面8m．
（1）求出隧道上部拋物線的解析式；
（2）現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4m，車載大型設備的頂站與路面的距離均為7m，它能否完全通過這個隧道？請說明理由．
（3）如果該隧道內設雙行道，那么這輛運貨汽車沿隧道中線右側行駛能否完全通過這個隧道？說明理由．
【解答】解：（1）根據題意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
設拋物線的解析式為y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8＝6，
解得：．
拋物線的解析式為；
（2）貨運汽車能完全通過這個隧道．理由如下：
根據題意，把x＝2代入解析式，
得．
∵7.875m＞7m，
∴貨運汽車能通過；
（3）貨運汽車能完全通過這個隧道．理由如下：
根據題意，把x＝4代入解析式，
得．
∵7.5m＞7m，
∴貨運汽車能通過．
如何確定隧道中警示燈帶的安裝方案？
素材1
2022年10月，溫州市府東路過江通道工程正式開工，建成后將成為溫州甌江第一條超大直徑江底行車隧道．隧道頂部橫截面可視為拋物線，如圖1，隧道底部寬AB為10m，高OC為5m．



素材2
貨車司機長時間在隧道內行車容易疲勞駕駛，為了安全，擬在隧道頂部安裝上下長度為20cm的警示燈帶，沿拋物線安裝．（如圖2）．為了實效，相鄰兩條燈帶的水平間距均為0.8m（燈帶寬度可忽略）；普通貨車的高度大約為2.5m（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm．燈帶安裝好后成軸對稱分布．


問題解決
任務1
確定隧道形狀
在圖1中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式．
任務2
探究安裝范圍
在你建立的坐標系中，在安全的前提下，確定燈帶安裝點的橫、縱坐標的取值范圍．
任務3
擬定設計方案
求出同一個橫截面下，最多能安裝幾條燈帶，并根據你所建立的坐標系，求出最右邊一條燈帶安裝點的橫坐標．

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