例1．（2024春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，福州西湖公園上有一座造型為拋物線形狀的拱橋，因其宛如玉帶，從而被人稱為玉帶橋，經(jīng)測(cè)量，玉帶橋的拱頂離水面的平均高度為4.2m，若玉帶橋所在的這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2+4.2（a＜0），則該拋物線所在的平面直角坐標(biāo)系是如下的（ ）
A．以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸
B．以拋物線與水面的左交點(diǎn)為原點(diǎn)，以水面為x軸
C．以水面為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸
D．以圖中夕陽所在位置為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸
【解答】解：∵玉帶橋的拱頂離水面的平均高度為4.2m，二次函數(shù)為y＝ax2+4.2（a＜0），
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4.2），
∴該拋物線所在的平面直角坐標(biāo)系是以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，以水面為x軸，
故選：C．
練習(xí)1．（2023秋?湖北月考）如圖1是拋物線形拱橋的剖面圖，拱頂離水面2m，水面寬4m．以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則拋物線的二次函數(shù)是（ ）
A．B．C．y＝﹣4x2D．y＝﹣2x2
【解答】解：由題意得：二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣2），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2，把（2，﹣2）代入得﹣2＝a×22，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
故選：B．
例2.（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）賽龍舟是中國端午節(jié)最重要的一種節(jié)日民俗活動(dòng)，一場(chǎng)賽龍舟活動(dòng)中，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）與到點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，水面的寬度OA為60米；
拱橋最高處到水面的距離BC為9米．
（1）求橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）與到點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）滿足的二次函數(shù)解析式；
（2）據(jù)調(diào)查，各參賽隊(duì)所用龍舟均為活動(dòng)主辦方統(tǒng)一提供，每條龍舟寬度為9m．龍舟最高處距離水面2.5m為保障安全，通過拱橋時(shí)龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少為2.5m．問5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）是否可以同時(shí)通過橋洞？
【解答】解：（1）由題意，拋物線的頂點(diǎn)C（30，9），點(diǎn)A（60，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣30）2+9，
將點(diǎn)A（60，0）代入得0＝a（60﹣30）2+9，
解得a＝﹣0.01，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣0.01（x﹣30）2+9；
（2）由題意，當(dāng)y＝5時(shí)，﹣0.01（x﹣30）2+9＝5，
∴x＝10或x＝50．
∴可設(shè)計(jì)賽道的寬度為50﹣10＝40（m）．
∵＝4＜5，
∴最多可設(shè)計(jì)龍舟賽道的數(shù)量為4條，
∴5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）不可以同時(shí)通過橋洞．
例3．（2024?扶溝縣一模）閱讀材料并運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)解決問題：
材料1：我國的石拱橋有悠久的歷史．《水經(jīng)注》里提到的“旅人橋”，大約建成于公元282年，可能是有記載的最早的石拱橋，我國的石拱橋幾乎到處都有，這些橋大小不一，形式多樣，有許多驚人的杰作，河北趙縣趙州橋“長虹臥波”，橋拱呈圓弧形，永定河上的盧溝橋由11個(gè)半圓形的石拱組成，頤和園玉帶橋橋拱則呈蛋尖形（可近似看作拋物線形），還有的拱橋里多邊形、橢圓形、馬蹄形和尖拱形，可說應(yīng)有盡有．
材料2：圖1是陶然亭公園“玉虹橋”．經(jīng)2023年10月15日中午測(cè)量，中間大拱在水面的跨度（即圖2線段AB長度）約為14m，當(dāng)時(shí)大拱的最高點(diǎn)距離水面的高度（即圖2點(diǎn)C到AB的距離）約為3.5m．
解決問題：
（1）若橋拱為拋物線形，在圖2中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式（不要求寫自變量取值范圍）．
（2）若玉虹橋的橋拱為圓弧形，則橋拱所在圓的半徑為 8.8 m．（取近似值，精確到0.1）
（3）正值2023陶然亭菊花節(jié)，很多游人前往陶然亭公園劃船游玩．為安全考慮，兩船同行時(shí)安全間隔至少為1m，船幫船篷和橋拱的距離不少于0.5m．若常用四人電動(dòng)船的船寬為1.6m．船篷頂離水面平均高度為1.9m．參考材料2從（1）（2）中任選一種形狀計(jì)算，中間大拱最多可供幾艘常用四人電動(dòng)船同時(shí)通過？（若兩種情況都選，按第（1）種計(jì)分）
【解答】解：（1）建立坐標(biāo)系如圖：
由題意得AD＝BD＝AB＝7，CD＝3.5，
∴B（7，0），A（﹣7，0），頂點(diǎn)C（0，3.5），
設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+3.5，
把B（7，0）代入得：0＝49a+3.5，
∴a＝﹣，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3.5；
（2）由題意得DC⊥AB，AD＝BD＝AB＝7，DC經(jīng)過圓心，
設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，連接OA，OC，
連接OA，設(shè)半徑OA＝OB＝R，OD＝OC﹣CD＝R﹣3.5，
在Rt△ADO中，OA2＝AD2+OD2，
∴R2＝（R﹣3.5）2+72，
解得R＝8.75≈8.8．
故答案為：8.8；
（3）如圖4，過點(diǎn)O作OH⊥EM于H，則四邊形MHOD是矩形，
∴OH＝MD，MH＝OD，
由題意得AD＝BD＝AB＝7，CD＝3.5，
由（1）知OE＝8.75，則OD＝OC﹣CD＝8.75﹣3.5＝5.25，
∵船幫船篷和橋拱的距離不少于0.5m，船篷頂離水面平均高度為1.9m．
∴EH＝1.9+0.5+5.25＝7.65，
在Rt△ADO中，OE2＝EH2+OH2，
∴8.752＝7.652+OH2，
解得OH＝≈4.3．
∴MN≈8.6，
∵兩船同行時(shí)安全間隔至少為1m，常用四人電動(dòng)船的船寬為1.6m．
∴中間大拱最多可供3艘常用四人電動(dòng)船同時(shí)通過；
如圖5，
∵船幫船篷和橋拱的距離不少于0.5m，船篷頂離水面平均高度為1.9m．
∴EM＝1.9+0.5＝2.4，
二次函數(shù)y＝﹣x2+3.5，當(dāng)y＝2.4時(shí)，2.4＝﹣x2+3.5，
解得x≈±3.9，
∴MN≈7.8，
∵兩船同行時(shí)安全間隔至少為1m，常用四人電動(dòng)船的船寬為1.6m．
∴中間大拱最多可供3艘常用四人電動(dòng)船同時(shí)通過．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024春?明山區(qū)校級(jí)月考）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，是沈陽“伯官橋”，它是中國首座“六跨中承式飄帶形提籃拱橋”，也是全國施工難度最大的一座橋梁工程，造型別致，每段都是拋物線形狀，宛如河上的一條飄帶．
【提出問題】如果將該拱橋的一段抽象成二次函數(shù)的圖形，該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是什么？
【分析問題】如圖2，是拱橋其中一段的橫截面，虛線部分表示水面，橋墩跨度AB為40米，在距離A點(diǎn)水平距離為d米的地方，拱橋距離水面的高度為h米．小亮對(duì)d與h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，經(jīng)過多次測(cè)量，取平均值得到了d和h的幾組對(duì)應(yīng)值，如下表
【解決問題】
（1）請(qǐng)?jiān)谙旅娴钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出表格中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，并直接寫出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)拱橋距離水面的高度為18.6米時(shí)，此時(shí)據(jù)距離A點(diǎn)水平距離是多少？
（3）今年是伯官橋建成十周年整，為了慶祝，決定在伯官橋上掛設(shè)彩燈，如圖3，共掛三串彩燈，第一串彩燈EF平行于水面掛設(shè)，彩燈兩端E，F(xiàn)皆在拋物線上；另外兩串彩燈CE，DF都垂直于水面掛設(shè)，且距離水面2.0米，求掛設(shè)的三串彩燈CE，EF，DF長度和的最大值．
【解答】解：（1）由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線．
又∵對(duì)稱軸是直線d＝＝20，
∴可設(shè)拋物線為h＝a（d﹣20）2+k．
又過（0，8.6），（10，23.6），
∴．
∴．
∴拋物線為h＝﹣（d﹣20）2+28.6．
（2）由題意，根據(jù)（1）拋物線為h＝﹣（d﹣20）2+28.6，
令h＝18.6，
∴18.6＝﹣（d﹣20）2+28.6．
∴d＝20±．
∴此時(shí)據(jù)距離A點(diǎn)水平距離是（20﹣）米或（20+）米．
（3）由（1）可知，h＝﹣（d﹣20）2+28.6＝﹣d2+2d+8.6，對(duì)稱軸為直線d＝20，
設(shè)點(diǎn)E（m，﹣m2+2m+8.6），F(xiàn)（40﹣m，﹣），
∴EF＝40﹣m﹣m＝40﹣2m，CE＝DF＝﹣﹣2，
∴CE+EF+DF＝2×（﹣﹣2）+40﹣2m＝﹣+2m+53.2＝﹣（m﹣10）2+63.2，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝10時(shí)，CE+EF+DF有最大值，最大值為63.2米．
2．（2024?南陽二模）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離OA＝3，點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離是1．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點(diǎn)P，加裝拉桿PA，PB，同時(shí)使拉桿的長度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)P的位置并求出坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+9，
把點(diǎn)A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+9．
（2）作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣3，0），連接A′B交OC于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx+m，
∴．
∴．
∴y＝2x+6．
令x＝0，得y＝6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）．
3．（2024?蘭州模擬）如圖1，從遠(yuǎn)處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設(shè)計(jì)．深安黃河大橋主拱形OAB呈拋物線狀，從上垂下若干個(gè)吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，吊桿CD到原點(diǎn)O的水平距離OC＝26m，吊桿EF到原點(diǎn)O的水平距離OE＝134m，且CD＝EF，主拱形離橋面的距離y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.006（x﹣h）2+k，其對(duì)稱軸為直線x＝h．
（1）求OH的長度；
（2）求主拱形到橋面的最大高度AH的長．
【解答】解：（1）由題意得，其對(duì)稱軸為直線x＝＝80，即h＝80，OH＝80m，
答：OH的長度為80m；
（2）∵h(yuǎn)＝80，
∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，
∵直線x＝80是其對(duì)稱軸，
∴B（160，0），
將B點(diǎn)代入函數(shù)y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，
得，﹣0.006（160﹣80）2+k＝0，
解得：k＝38.4，
∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+38.4，
∴A（80，38.4），即AH＝38.4m，
答：主拱形到橋面的最大高度AH的長為38.4m．
4．（2024?長子縣二模）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為x米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為y米．小路同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y和x之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．
經(jīng)過測(cè)量，得出了y和x的幾組對(duì)應(yīng)值，如上表．將表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)y是x的二次函數(shù)y＝ax2+bx+0.88．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出橋墩露出水面的高度AE＝ 0.88 米；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為3.5m，寬為1.5m，露出水面高度為1.88m的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩距離CE至少為多少米．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)x＝0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是0.88，
故AE的高度為0.88m，
故答案為：0.88．
（2）把（1，2.38）、（3，2.38）代入y＝ax2+bx+0.88，
得，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88．
（3）令y＝1.88，
則1.88＝﹣0.5x2+2x+0.88，
解得（舍去），．
答：C處距離橋墩的距離至少為米．
5.（2024秋?香洲區(qū)期中）【實(shí)踐探究】
數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐——應(yīng)用——探究的過程：
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條拋物線形拱橋進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得當(dāng)拱頂高離水面6m時(shí)，水面寬10m，并畫出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式；
（2）應(yīng)用：按規(guī)定，船通過拱橋時(shí)，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．一場(chǎng)大雨，讓水面上升了0.2m，為了確保安全，問該拱橋能否讓寬度為6m、高度為3.2m的貨船通過？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說明（貨船看作長方體）；
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，并過原點(diǎn)作一條y＝x的直線OF，交拋物線于點(diǎn)F，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，提出了以下問題，
如圖2，B為直線OF上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過B作BA垂直于x軸，交x軸于A，交直線OF于C，過點(diǎn)B作BD垂直于直線OF，交直線OF于D，則BD+CD的最大值為 ．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）2+6，
當(dāng)x＝0時(shí)，25a+6＝0，
解得a＝，
∴拋物線的解析式為y＝﹣+6；
（2）該拱橋不能讓寬度為6m、高度為3.2m的貨船通過；理由如下：
∵船的寬為6m，
∴10﹣6＝4（m），
當(dāng)x＝2 時(shí)，y＝﹣×9+6＝3.84，
∵3.2+0.2+0.5＝3.9＞3.84，
∴船不能通過；
（3）y＝+6，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝5，
∴E（5，5），
∴∠EOA＝45°，
∵BD⊥OE，AB⊥OA，
∴∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，BD＝CD＝BC，
設(shè)B（t，﹣+6），則C（t，t），
∴BC＝+＝+，
當(dāng)t＝時(shí)，BC的最大值為，
∴BD+CD的最大值為，
故答案為：．
6．（2023秋?濱江區(qū)校級(jí)月考）拱橋具有穩(wěn)固美觀的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到橋梁建筑中．如圖是某拱橋的截面圖，目前水面寬度AB的長為6m．
（1）若將拱橋的截面近似看作半徑為6m的圓弧，求弧AB的長．
（2）若將拱橋的截面近似看作二次函數(shù)圖象，以水面AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．橋拱頂面離水面AB的最大高度為2.25m，求出二次函數(shù)的解析式，并求出水上漲1m后的水面寬度．
【解答】解：（1）設(shè)圓的圓心為R，
∵圓的半徑和AB長度相等，
則△OAB為等邊三角形，
則＝×2πr＝×2π×6＝2π（m），
即弧AB的長為2πm；
（2）由題意得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2.25），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣h）2+k，
即y＝a（x﹣3）2+2.25，
解得：a＝﹣0.25，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣0.25（x﹣3）2+2.25，
如圖，設(shè)EF＝1，則點(diǎn)F（x，1），
即點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：1＝﹣0.25（x﹣3）2+2.25，
解得：x＝3±，
則此時(shí)的水面寬為3+﹣（3﹣）＝2（m），
即水上漲1m后的水面寬度為2m．
7．（2024?正陽縣一模）河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時(shí)，水面離橋孔頂部4米．如圖1，橋孔與水面交于A、B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）請(qǐng)求出此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）因降暴雨水位上升1.5米，一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4.5m（橫截面如圖2），暴雨后，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由題意可得，
該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），過點(diǎn)（6，0），
設(shè)此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣3）2+4，
則a（6﹣3）2+4＝0，
解得a＝﹣，
∴此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）暴雨后，這艘小船不能從這座石拱橋下通過，
理由：∵該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），小船的寬為4.5m，
∴令x＝3﹣4.5÷2＝0.75時(shí)，y＝﹣（0.75﹣3）2+4＝，
∵1.5+0.5＞，
∴暴雨后，這艘小船不能從這座石拱橋下通過．
8．（2023?平頂山二模）隋朝李春設(shè)計(jì)建造的趙州石拱橋，距今已有1400多年的歷史，其石拱的橫截面形狀近似拋物線，如圖所示，測(cè)得它的跨度AB為37.4m，拱高（拋物線的最高點(diǎn)C到AB中點(diǎn)O的距離）CO為7.2m，以AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣h）2+k．
（1）結(jié)合計(jì)算器提供的信息，求拋物線的解析式．（a值精確到0.01）
（2）當(dāng)雨季來臨時(shí)，水位上漲，若水面寬度EF不大于21m時(shí)，要采取緊急措施保護(hù)橋梁的安全，當(dāng)測(cè)量員測(cè)得點(diǎn)C到水面EF的距離CD只有2m時(shí)，是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由已知可得，拋物線頂點(diǎn)C（0，7.2），A（﹣18.7，0），B（18.7，0），
∴y＝ax2+7.2，
把B（18.7，0）代入得：
0＝a×18.72+7.2，
解得：a＝﹣0.02，
∴拋物線的解析式為y＝﹣0.02x2+7.2；
（2）∵CD＝2m，
∴OD＝5.2m，
在y＝﹣0.02x2+7.2中，令y＝5.2得：
﹣0.02x2+7.2＝5.2，
解得x＝10或x＝﹣10，
∴EF＝10﹣（﹣10）＝20（m），
∵20＜21，
∴需要采取緊急措施．
9．（2022秋?邳州市期中）一條河流上有座拋物線形的小拱橋，橋拱的跨徑為8米、拱高為4米．
（1）把該橋拱看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，請(qǐng)你建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）一條高于水面2米，寬為6米的貨船能否順利通過該拱橋？
【解答】解：（1）以拱頂為原點(diǎn)，以垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，
水面與拱橋的交點(diǎn)為A，B，則A（﹣4，﹣4），
把A（﹣4，﹣4）代入y＝ax2，得16a＝﹣4，
解得a＝﹣，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2；
（2）當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣×32＝﹣，
∵4﹣＝＜2，
∴貨船不能順利通過該拱橋．
10．（2023秋?長嶺縣期中）如圖，正常水位時(shí)，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20m，此時(shí)拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4m．
（1）把拱橋看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，達(dá)到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過多長時(shí)間此橋孔將被淹沒？
【解答】解：（1）以水面所在直線AB為x軸，以過拱頂垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
∴A（﹣10，0），C（0，4），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+4（a≠0），
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，即x＝5時(shí)，y＝﹣×52+4＝3，
此時(shí)水面離拱頂4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：達(dá)到警戒水位后，再過5h此橋孔將被淹沒．
11．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面8米時(shí)，水面寬AB為12米．當(dāng)水面上升6米時(shí)達(dá)到警戒水位，此時(shí)拱橋內(nèi)的水面寬度是多少米？下面是兩個(gè)興趣小組解決這個(gè)問題的兩種方法，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
方法一：如圖1，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （12，0） ，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （6，8） ，可求這條拋物線的解析式為 y＝﹣x2+ ．
方法二：如圖2，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，這時(shí)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為 y＝﹣x2 ．當(dāng)取y＝﹣2時(shí)，即可求出此時(shí)拱橋內(nèi)的水面寬度為 6米 ，解決了這個(gè)問題．
【解答】解：方法一：A（0，0），B（12，0），頂點(diǎn)（6，8），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣6）2+8，
把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+8＝﹣x2+，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+．
故答案為：（12，0）；（6，8）y＝﹣x2+x；
方法二：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2；
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，﹣2＝﹣x2，
解得：x＝±3，
即可求出此時(shí)拱橋內(nèi)的水面寬度為6米．
故答案為：y＝﹣x2；6米．
12．（2024秋?青山區(qū)期中）如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時(shí)拱橋的拱頂?shù)剿鍭B的距離為1.8m，秋季水位會(huì)下降約0.2m，此時(shí)水面CD寬度約為4.0m．
（1）如圖1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)求拋物線的解析式；
（2）一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為1.6m，船頂高出水面約為1.3m，為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間隔0.1m，請(qǐng)問當(dāng)水位處于正常水位（即水面為AB）時(shí)，游船是否能夠通過？并說明理由；
（3）如圖2，國慶節(jié)期間為裝點(diǎn)節(jié)日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，彩燈兩端的最低點(diǎn)到水面CD的距離為1.4m，求這串彩燈的最大長度．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+k（a≠0），
由題意得：拱頂?shù)淖鴺?biāo)為（0，1.8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣0.2），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+1.8；
（2）游船能夠通過．
理由：由（1）得：拋物線解析式為：y＝﹣x2+1.8，
當(dāng)x＝0.8時(shí)，y＝﹣×0.82+1.8＝1.48．
∵1.48＞1.3+0.1，
∴游船能夠通過；
（3）設(shè)此時(shí)彩燈與拋物線交于點(diǎn)M（a，﹣a2+1.8），
∴PM＝2a，
∵彩燈兩端的最低點(diǎn)到水面CD的距離為1.4m，秋季水位會(huì)下降約0.2m，
∴彩燈的最低點(diǎn)Q在直線y＝1.2上，
∴點(diǎn)N為（a，1.2），
∴MN＝﹣a2+0.6，
設(shè)彩燈的長度為w，
w＝PM+2MN
＝2a﹣a2+1.2
＝﹣a2+2a+1.2，
∵﹣1＜0，
∴a＝1時(shí)，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2．
答：這串彩燈的最大長度為2.2米．
13．（2023秋?興隆縣期末）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當(dāng)水面寬為16米時(shí)，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線，請(qǐng)嘗試解決以下問題：
（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的表達(dá)式；
（2）由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了2米，求此時(shí)水面的寬度；
（3）已知一艘貨船的高為2.6米，寬為3.2米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升多少米？（結(jié)果精確到0.1）
【解答】解：（1）如圖，AB為寬16米的水面，C為拱橋最高點(diǎn)，以AB的中點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下：
則，OC＝4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，4），B（8，0），
∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+4，
將B（8，0）代入，得：a?82+4＝0，
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為；
（2）在中，當(dāng)y＝2時(shí)，則，
解得：，
，
∴水面上升2米后的水面寬度為米，
（3）如圖，這艘貨船安全通過拱橋時(shí)，水面最多可以上升到O′處，
∵貨船的高為2.6米，寬為3.2米，
∴米，O′E＝2.6，
設(shè)OO′＝m米，則OE＝OO′+O′E＝（m+2.6）米，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1.6，m+2.6），
將F（1.6，m+2.6）代入，得：
解得m＝1.24，
∴要使這艘貨船安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升1.2米．
14．（2024秋?通州區(qū)期中）如圖1，單孔拱橋的形狀近似拋物線形，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在正常水位時(shí)，水面寬度AB為12m，拱橋的最高點(diǎn)C到水面AB的距離為6m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）因?yàn)樯嫌嗡畮煨购椋鎸挾茸優(yōu)?0m，求水面上漲的高度．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+k，
由題意，得：B（6，0）、C（0，6），
∴y＝ax2+6，
∴0＝a?62+6，
解得a＝﹣，
∴解析式為y＝﹣x2+6；
（2）由題意得，水面寬度的橫坐標(biāo)為﹣5和5，
∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，
∴水面上漲的高度為m．d/米
0
6
10
18
24
30
36
40
h/米
8.6
18.8
23.6
28.4
27.8
23.6
15.8
8.6
x/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
y/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.6
0.88

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