例1．（2024春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，福州西湖公園上有一座造型為拋物線形狀的拱橋，因其宛如玉帶，從而被人稱為玉帶橋，經(jīng)測量，玉帶橋的拱頂離水面的平均高度為4.2m，若玉帶橋所在的這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2+4.2（a＜0），則該拋物線所在的平面直角坐標(biāo)系是如下的（ ）
A．以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸
B．以拋物線與水面的左交點(diǎn)為原點(diǎn)，以水面為x軸
C．以水面為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸
D．以圖中夕陽所在位置為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸
練習(xí)1．（2023秋?湖北月考）如圖1是拋物線形拱橋的剖面圖，拱頂離水面2m，水面寬4m．以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則拋物線的二次函數(shù)是（ ）
A．B．C．y＝﹣4x2D．y＝﹣2x2
例2.（2024秋?海淀區(qū)校級期中）賽龍舟是中國端午節(jié)最重要的一種節(jié)日民俗活動，一場賽龍舟活動中，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）與到點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，水面的寬度OA為60米；
拱橋最高處到水面的距離BC為9米．
（1）求橋拱上的點(diǎn)到水面的豎直高度y（單位：m）與到點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）滿足的二次函數(shù)解析式；
（2）據(jù)調(diào)查，各參賽隊(duì)所用龍舟均為活動主辦方統(tǒng)一提供，每條龍舟寬度為9m．龍舟最高處距離水面2.5m為保障安全，通過拱橋時(shí)龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少為2.5m．問5條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）是否可以同時(shí)通過橋洞？
例3．（2024?扶溝縣一模）閱讀材料并運(yùn)用已學(xué)的知識解決問題：
材料1：我國的石拱橋有悠久的歷史．《水經(jīng)注》里提到的“旅人橋”，大約建成于公元282年，可能是有記載的最早的石拱橋，我國的石拱橋幾乎到處都有，這些橋大小不一，形式多樣，有許多驚人的杰作，河北趙縣趙州橋“長虹臥波”，橋拱呈圓弧形，永定河上的盧溝橋由11個(gè)半圓形的石拱組成，頤和園玉帶橋橋拱則呈蛋尖形（可近似看作拋物線形），還有的拱橋里多邊形、橢圓形、馬蹄形和尖拱形，可說應(yīng)有盡有．
材料2：圖1是陶然亭公園“玉虹橋”．經(jīng)2023年10月15日中午測量，中間大拱在水面的跨度（即圖2線段AB長度）約為14m，當(dāng)時(shí)大拱的最高點(diǎn)距離水面的高度（即圖2點(diǎn)C到AB的距離）約為3.5m．
解決問題：
（1）若橋拱為拋物線形，在圖2中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式（不要求寫自變量取值范圍）．
（2）若玉虹橋的橋拱為圓弧形，則橋拱所在圓的半徑為 m．（取近似值，精確到0.1）
（3）正值2023陶然亭菊花節(jié)，很多游人前往陶然亭公園劃船游玩．為安全考慮，兩船同行時(shí)安全間隔至少為1m，船幫船篷和橋拱的距離不少于0.5m．若常用四人電動船的船寬為1.6m．船篷頂離水面平均高度為1.9m．參考材料2從（1）（2）中任選一種形狀計(jì)算，中間大拱最多可供幾艘常用四人電動船同時(shí)通過？（若兩種情況都選，按第（1）種計(jì)分）
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024春?明山區(qū)校級月考）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，是沈陽“伯官橋”，它是中國首座“六跨中承式飄帶形提籃拱橋”，也是全國施工難度最大的一座橋梁工程，造型別致，每段都是拋物線形狀，宛如河上的一條飄帶．
【提出問題】如果將該拱橋的一段抽象成二次函數(shù)的圖形，該圖象對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是什么？
【分析問題】如圖2，是拱橋其中一段的橫截面，虛線部分表示水面，橋墩跨度AB為40米，在距離A點(diǎn)水平距離為d米的地方，拱橋距離水面的高度為h米．小亮對d與h之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，經(jīng)過多次測量，取平均值得到了d和h的幾組對應(yīng)值，如下表
【解決問題】
（1）請?jiān)谙旅娴钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出表格中數(shù)據(jù)對應(yīng)的函數(shù)圖象，并直接寫出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)拱橋距離水面的高度為18.6米時(shí)，此時(shí)據(jù)距離A點(diǎn)水平距離是多少？
（3）今年是伯官橋建成十周年整，為了慶祝，決定在伯官橋上掛設(shè)彩燈，如圖3，共掛三串彩燈，第一串彩燈EF平行于水面掛設(shè)，彩燈兩端E，F(xiàn)皆在拋物線上；另外兩串彩燈CE，DF都垂直于水面掛設(shè)，且距離水面2.0米，求掛設(shè)的三串彩燈CE，EF，DF長度和的最大值．
2．（2024?南陽二模）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A到對稱軸的距離OA＝3，點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)B到對稱軸的距離是1．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點(diǎn)P，加裝拉桿PA，PB，同時(shí)使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點(diǎn)P的位置并求出坐標(biāo)．
3．（2024?蘭州模擬）如圖1，從遠(yuǎn)處看蘭州深安黃河大橋似張開的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黃河上，它采用疊合梁拱橋方案設(shè)計(jì)．深安黃河大橋主拱形OAB呈拋物線狀，從上垂下若干個(gè)吊桿，與橋面相連．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，吊桿CD到原點(diǎn)O的水平距離OC＝26m，吊桿EF到原點(diǎn)O的水平距離OE＝134m，且CD＝EF，主拱形離橋面的距離y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.006（x﹣h）2+k，其對稱軸為直線x＝h．
（1）求OH的長度；
（2）求主拱形到橋面的最大高度AH的長．
4．（2024?長子縣二模）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點(diǎn)A水平距離為x米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為y米．小路同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對y和x之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．
經(jīng)過測量，得出了y和x的幾組對應(yīng)值，如上表．將表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)y是x的二次函數(shù)y＝ax2+bx+0.88．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出橋墩露出水面的高度AE＝ 米；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為3.5m，寬為1.5m，露出水面高度為1.88m的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩距離CE至少為多少米．
5.（2024秋?香洲區(qū)期中）【實(shí)踐探究】
數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐——應(yīng)用——探究的過程：
（1）實(shí)踐：他們對一條拋物線形拱橋進(jìn)行測量，測得當(dāng)拱頂高離水面6m時(shí)，水面寬10m，并畫出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式；
（2）應(yīng)用：按規(guī)定，船通過拱橋時(shí)，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．一場大雨，讓水面上升了0.2m，為了確保安全，問該拱橋能否讓寬度為6m、高度為3.2m的貨船通過？請通過計(jì)算進(jìn)行說明（貨船看作長方體）；
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，并過原點(diǎn)作一條y＝x的直線OF，交拋物線于點(diǎn)F，交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，提出了以下問題，
如圖2，B為直線OF上方拋物線上一動點(diǎn)，過B作BA垂直于x軸，交x軸于A，交直線OF于C，過點(diǎn)B作BD垂直于直線OF，交直線OF于D，則BD+CD的最大值為 ．
6．（2023秋?濱江區(qū)校級月考）拱橋具有穩(wěn)固美觀的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用到橋梁建筑中．如圖是某拱橋的截面圖，目前水面寬度AB的長為6m．
（1）若將拱橋的截面近似看作半徑為6m的圓弧，求弧AB的長．
（2）若將拱橋的截面近似看作二次函數(shù)圖象，以水面AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．橋拱頂面離水面AB的最大高度為2.25m，求出二次函數(shù)的解析式，并求出水上漲1m后的水面寬度．
7．（2024?正陽縣一模）河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時(shí)，水面離橋孔頂部4米．如圖1，橋孔與水面交于A、B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）請求出此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）因降暴雨水位上升1.5米，一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4.5m（橫截面如圖2），暴雨后，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請說明理由．
8．（2023?平頂山二模）隋朝李春設(shè)計(jì)建造的趙州石拱橋，距今已有1400多年的歷史，其石拱的橫截面形狀近似拋物線，如圖所示，測得它的跨度AB為37.4m，拱高（拋物線的最高點(diǎn)C到AB中點(diǎn)O的距離）CO為7.2m，以AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣h）2+k．
（1）結(jié)合計(jì)算器提供的信息，求拋物線的解析式．（a值精確到0.01）
（2）當(dāng)雨季來臨時(shí)，水位上漲，若水面寬度EF不大于21m時(shí)，要采取緊急措施保護(hù)橋梁的安全，當(dāng)測量員測得點(diǎn)C到水面EF的距離CD只有2m時(shí)，是否需要采取緊急措施？請說明理由．
9．（2022秋?邳州市期中）一條河流上有座拋物線形的小拱橋，橋拱的跨徑為8米、拱高為4米．
（1）把該橋拱看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，請你建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）一條高于水面2米，寬為6米的貨船能否順利通過該拱橋？
10．（2023秋?長嶺縣期中）如圖，正常水位時(shí)，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20m，此時(shí)拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4m．
（1）把拱橋看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，達(dá)到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過多長時(shí)間此橋孔將被淹沒？
11．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面8米時(shí)，水面寬AB為12米．當(dāng)水面上升6米時(shí)達(dá)到警戒水位，此時(shí)拱橋內(nèi)的水面寬度是多少米？下面是兩個(gè)興趣小組解決這個(gè)問題的兩種方法，請補(bǔ)充完整：
方法一：如圖1，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，可求這條拋物線的解析式為 ．
方法二：如圖2，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，這時(shí)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為 ．當(dāng)取y＝﹣2時(shí)，即可求出此時(shí)拱橋內(nèi)的水面寬度為 ，解決了這個(gè)問題．
12．（2024秋?青山區(qū)期中）如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋，夏季正常水位時(shí)拱橋的拱頂?shù)剿鍭B的距離為1.8m，秋季水位會下降約0.2m，此時(shí)水面CD寬度約為4.0m．
（1）如圖1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，請求拋物線的解析式；
（2）一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為1.6m，船頂高出水面約為1.3m，為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間隔0.1m，請問當(dāng)水位處于正常水位（即水面為AB）時(shí)，游船是否能夠通過？并說明理由；
（3）如圖2，國慶節(jié)期間為裝點(diǎn)節(jié)日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點(diǎn)到水面CD的距離為1.4m，求這串彩燈的最大長度．
13．（2023秋?興隆縣期末）一座拱橋的示意圖如圖2所示，當(dāng)水面寬為16米時(shí)，橋洞頂部離水面4米．已知橋洞的拱橋是拋物線，請嘗試解決以下問題：
（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的表達(dá)式；
（2）由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了2米，求此時(shí)水面的寬度；
（3）已知一艘貨船的高為2.6米，寬為3.2米，其截面如圖3所示．為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升多少米？（結(jié)果精確到0.1）
14．（2024秋?通州區(qū)期中）如圖1，單孔拱橋的形狀近似拋物線形，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在正常水位時(shí)，水面寬度AB為12m，拱橋的最高點(diǎn)C到水面AB的距離為6m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）因?yàn)樯嫌嗡畮煨购椋鎸挾茸優(yōu)?0m，求水面上漲的高度．
d/米
0
6
10
18
24
30
36
40
h/米
8.6
18.8
23.6
28.4
27.8
23.6
15.8
8.6
x/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
y/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.6
0.88

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