2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想?？v觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題27 二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用之路徑高度分析
例．（2024?裕華區(qū)模擬）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，球的拋出路線是拋物線L1：y＝﹣+bx的一部分，斜坡可以看作直線L2：y＝x的一部分．若小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，6），解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線L1的表達(dá)式，并直接寫出拋物線L1的對(duì)稱軸；
（2）小球在斜坡上的落點(diǎn)為A，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在斜坡OA上的B點(diǎn)有一棵樹，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為4，小球M能否飛過(guò)這棵樹？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；
（4）直接寫出小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度．
【解答】解：（1）把點(diǎn)（6，6）代入得：
，
解得：b＝4，
∴拋物線L1的解析式為，
∵，
∴拋物線L1的對(duì)稱軸為直線x＝4；
（2）聯(lián)立得：，
解得：或，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）小球M能飛過(guò)這棵樹，理由如下：
當(dāng)x＝2時(shí)，
對(duì)于，y＝1，
對(duì)于，y＝6，6﹣1＝5＞4，
∴小球M能飛過(guò)這棵樹；
（4）根據(jù)題意得：小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的距離為，
∵，
∴小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度為．
對(duì)應(yīng)練習(xí)．1.（2024?寶雞二模）如圖是一個(gè)東西走向近似于拋物線的山坡，以地面的東西方向?yàn)閤軸，西側(cè)的坡底為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，山坡近似滿足函數(shù)解析式，無(wú)人機(jī)從西側(cè)距坡底O為10米處的B點(diǎn)起飛，沿山坡由西向東飛行，飛行軌跡可以近似滿足拋物線．當(dāng)無(wú)人機(jī)飛越坡底上空時(shí)（即點(diǎn)D），與地面的距離為20米．
（1）求無(wú)人機(jī)飛行軌跡的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行的水平距離距起點(diǎn)為30米時(shí)，求無(wú)人機(jī)與山坡的豎直距離d；
（3）由于山坡上有障礙物，無(wú)人機(jī)不能離山坡過(guò)近．當(dāng)無(wú)人機(jī)與山坡的豎直距離大于9米時(shí)，無(wú)人機(jī)飛行才是安全的，請(qǐng)判斷無(wú)人機(jī)此次飛行是否安全，并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）由題意可知，點(diǎn)B（﹣10，0），D（0，20），將B，D坐標(biāo)分別代入，
得：，解得：，
∴無(wú)人機(jī)飛行軌跡的函數(shù)表達(dá)式為，
（2）當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行的水平距離距起點(diǎn)為30米時(shí)，x＝30﹣10＝20，
∵無(wú)人機(jī)與山坡的豎直距離
∴當(dāng)x＝20時(shí)，（米），
答：當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行的水平距離距起點(diǎn)為30米時(shí)，無(wú)人機(jī)與山坡的豎直距離d為13米；
（3）安全，理由如下：
由（2）知，
∵，
∴x＝45時(shí)，d有最小值 ，
∴無(wú)人機(jī)此次飛行是安全的．
2．（2024?萬(wàn)山區(qū)一模）排球考試要求：墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度至少為2米．某次模擬測(cè)試中，某生在O處將球墊偏，之后又在A、B兩處先后墊球，球沿拋物線C1→C2→C3運(yùn)動(dòng)（假設(shè)拋物線C1、C2、C3在同一平面內(nèi)），最終正好在O處墊住，O處離地面的距離為1米．如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)1米為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，x軸平行于地面水平直線m，已知點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，拋物線C1表達(dá)式為y＝ax2﹣2ax和拋物線C3表達(dá)式為y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式；
（2）第一次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度是否達(dá)到要求？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）為了使第三次墊球后，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度達(dá)到要求，該生第三次墊球處B離地面的高度至少為多少米？
【解答】解：（1）∵拋物線C1表達(dá)式為y＝ax2﹣2ax，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）最大高度未達(dá)到要求，理由如下：
由（1）得，拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵O處離地面的距離為1米，
∴球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度為，
∴最大高度未達(dá)到要求；
（3）解：由（1）可知，，
∵拋物線C3表達(dá)式為y＝﹣x2+bx，
∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度達(dá)到要求，
∴，
∴b≥2或b≤﹣2，
∵對(duì)稱軸在x軸負(fù)半軸，
∴b＜0，
∴b≤﹣2，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
∴，
∴當(dāng)b＝﹣2時(shí)，yB有最小值，最小值為，
∴點(diǎn)B離地面的高度至少為（米）．
3．（2024?威縣校級(jí)三模）某課外科技小組研制了一種航模飛機(jī)．通過(guò)實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如下表：
【探究發(fā)現(xiàn)】
通過(guò)表格可發(fā)現(xiàn)x與t滿足一次函數(shù)關(guān)系，即x＝5t．而y與t之間的數(shù)量關(guān)系也可以用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)來(lái)描述．
【解決問(wèn)題】
（1）直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）
（2）如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下面的問(wèn)題：
①若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0m，求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；
②在安全線上設(shè)置回收區(qū)域，點(diǎn)M的右側(cè)為回收區(qū)域（包括端點(diǎn)M），AM＝125m．若飛機(jī)落到回收區(qū)域內(nèi)，求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度．
【解答】解：（1）根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：y與t是二次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y＝at2+bt，
由題意得：，
解得，
∴y與t的函數(shù)解析式為y＝﹣t2+12t；
（2）①依題意得，令y＝0，則，
解得 t1＝0，t2＝24，
當(dāng)t＝24時(shí)，x＝5t＝120．
答：飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離120m；
②設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為n m，飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度為，
∵x≥125，
∴5t≥125，
∴t≥25，
在 中，
當(dāng)剛好落在M點(diǎn)時(shí)，即t＝25，y1＝0 時(shí)，n＝12.5，
∴若飛機(jī)落到回收區(qū)域，則n≥12.5，
答：發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度為12.5m．
4．（2024?祥符區(qū)一模）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助滑道后在點(diǎn)A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里OA表示起跳點(diǎn)A到地面OB的距離，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點(diǎn)O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落點(diǎn)P的水平距離是40m，豎直高度是30m．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是 （0，70） ，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （40，30） ；
（2）求滿足的函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c；
（3）運(yùn)動(dòng)員在空中飛行過(guò)程中，當(dāng)他與著陸坡BC豎直方向上的距離達(dá)到最大時(shí)，直接寫出此時(shí)的水平距離．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，A（0，70），P（40，30），
故答案為：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+70；
（3）如圖，作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點(diǎn)，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
設(shè)線段BC的關(guān)系式為y＝kx+m，則，
解得：，
所以線段BC的關(guān)系式為y＝﹣x+60，
設(shè)M（a，﹣a2+a+70），則N（a，﹣a+60），
則MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)a＝18時(shí)，MN有最大值，最大值為30.25，
答：運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離時(shí)水平距離是18m．
5．（2024?確山縣二模）某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．
（1）求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？
（3）經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到24米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．
【解答】解：（1）∵關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴第二象限拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，5），
設(shè)水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+3）2+5（a≠0），
將（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
（2）當(dāng)y＝1.8時(shí)，有﹣（x+3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心7米以內(nèi)；
（3）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣（x+3）2+5＝，
設(shè)改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+bx+，
∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（﹣12，0），
∴0＝﹣×（﹣12）2+（﹣12）b+，
解得：b＝﹣，
∴改造后水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+）2+，
∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為 米．
6．（2024?河南）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．
（1）小球被發(fā)射后 s時(shí)離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．
（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說(shuō)：“這兩次間隔的時(shí)間為3s．”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m，請(qǐng)判斷他的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴當(dāng)t＝﹣＝時(shí)，離地面的高度最大．
故答案為：；
（2）當(dāng)t＝ 時(shí)，h＝20．
．
解得：v0＝20（取正值）．
答：小球被發(fā)射時(shí)的速度是20m/s；
（3）小明的說(shuō)法不正確．
理由如下：
由（2）得：h＝﹣5t2+20t．
當(dāng)h＝15時(shí)，15＝﹣5t2+20t．
解方程，得：t1＝1，t2＝3．
∵3﹣1＝2（s），
∴小明的說(shuō)法不正確．
7．（2024?江西）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出，球的飛行路線可以用二次函數(shù)y＝ax2+bx（a＜0）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如表：
（1）①m＝ 3 ，n＝ 6 ；
②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間t（秒）滿足關(guān)系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飛行的最大高度為 8 米；
②求v的值．
【解答】解：（1）①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+4x，
當(dāng)y＝時(shí)，﹣x2+4x＝，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
當(dāng)x＝6時(shí)，n＝y(tǒng)＝﹣62+4×6＝6，
故答案為：3，6．
②聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，）．
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t﹣）2+，
則＝8，
解得v＝4（負(fù)值舍去）．
飛行時(shí)間t/s
0
2
4
6
8
…
飛行水平距離x/m
0
10
20
30
40
…
飛行高度y/m
0
22
40
54
64
…
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…

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