2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
專題13 等腰直角三角形存在性問題
1．（2024?咸豐縣模擬）綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)解析式．
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在m使得△CPE為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2024秋?集美區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)及直線BC的表達(dá)式．
（2）過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，求PD的最大值．
（3）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，問在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的圖象上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2024秋?中山市校級(jí)月考）九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐—應(yīng)用—探究的過程
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)你求出拋物線的解析式．
（2）應(yīng)用：按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探究拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問題，請(qǐng)予解答：
①如圖2，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸上，設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，求l的最大值．
②如圖3，過原點(diǎn)作一條直線y＝x，交拋物線于M，交拋物線的對(duì)稱軸于N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，問在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．（2024?海南模擬）如圖1，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8）．經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E（0，1）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）連接AC、DC，求△ACD的面積；
（3）如圖1，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交該拋物線于點(diǎn)F，作FG∥x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)G．
①若△PFG是等腰直角三角形，求PF的長(zhǎng)；
②如圖2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣6，點(diǎn)M是直線AD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)問是否存在點(diǎn)M，使得以P、N、E為頂點(diǎn)的三角形與△PME全等，且以同一條線段PE為對(duì)應(yīng)邊？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2024?文昌校級(jí)模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P（m，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)m＝2時(shí)，求△BCP的面積；
（3）當(dāng)∠PCB＝15°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．（2024?東昌府區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過x軸上點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（5，0），過y軸上點(diǎn)C（0，﹣5），點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜5）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求四邊形OCPB面積的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m滿足2＜m＜5時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7．（2023?阜新模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A和點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）拋物線對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，若P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），求△PAD面積的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△ANM是以AN為直角邊的等腰直角三角形；若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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