2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想?？v觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
專題09 菱形存在性問題
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y＝﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）寫出線段CE的長（用含有m的代數(shù)式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
（4）在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)G，使C、E、P、G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則C（0，3），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝4，則D（4，0），
所以CD＝＝5，
設(shè)P（m，﹣m2+4m+5），則E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），
∵EF∥OC，
∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4，
∴CE＝m（0＜m＜5）；
（3）存在．
PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2，EF＝|﹣m+3|，
∵PE＝5EF，
∴﹣m2+m+2＝5|﹣m+3|，
當(dāng)﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2，
當(dāng)﹣m2+m+2＝﹣5（﹣m+3），解得m1＝（舍去），m2＝，
綜上所述，m的值為2或；
（4）當(dāng)PC為對角線時(shí)，
作PG∥EC交y軸于G，如圖，
則四邊形PECG為平行四邊形，
當(dāng)CE＝PE時(shí)，四邊形PECG為菱形，
即m＝﹣m2+m+2，解得m1＝﹣（舍去），m2＝4，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）．
2．（2024秋?吉林月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接CP、BP，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；
（4）連接PO，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0）；
（3）當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)，S△BCP有最大值；理由如下：
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+3，
將B（3，0）代入y＝kx+3得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1；
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
過點(diǎn)P作PD∥y軸，如圖1所示：
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），則D（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
＝
＝，
∴當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)，S△BCP有最大值，且最大值為；
（4）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；理由如下：
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），PP′交x軸于點(diǎn)E，如圖2所示：
若四邊形POP′C為菱形，則PC＝PO，PE⊥CO，
∴，
即：﹣x2+2x+3＝，
解得：（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
3．（2024?深圳三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．如圖，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于點(diǎn)E，
若四邊形POP′C是菱形，連接PP′，則PE⊥OC，，
∴，
解得，，
∴P（，）或．
4．（2024?吐魯番市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)得，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx﹣3，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝9+3b﹣3，
解得：b＝﹣2，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E，如圖2，
則PO＝PC．
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′＝OP，CP′＝CP，
∴OP′＝OP＝CP′＝CP，
∴四邊形POP′C為菱形．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
把代入y＝x2﹣2x﹣3得，解得．
∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，
∴，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
5．（2024秋?牡丹江月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且OA＝OC，E是線段OA上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，線段DF有最大值？并寫出最大值為多少；
（3）若P是直線AC上的一動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出符合條件的菱形的個(gè)數(shù)并請直接寫出其中2個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且OA＝OC，
∴OA＝OC＝4，
∴OC＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
把A（﹣4，0），C（0，4）代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）由（1）可知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣3x+4，且A（﹣4，0），C（0，4），
∴設(shè)直線AC所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+4，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F，
∴點(diǎn)D、F的橫坐標(biāo)為m，
∴D（m，m+4），F(xiàn)（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，DF有最大值，且最大值為4；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；理由如下：
∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A（﹣4，0），
∴令y＝0時(shí)，x2+3x﹣4＝0，則x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），且C（0，4）
在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝4，
∴，
第一種情況：如圖1，點(diǎn)Q在直線AC下方，
四邊形PCBQ是菱形，
∴PC∥BQ，，
∵直線AC的解析式為y＝x+4，
∴設(shè)直線BQ所在直線的解析為y＝x+c，把點(diǎn)B（1，0）代入得：
0＝1+c，
解得：c＝﹣1，
∴直線BQ的解析式為y＝x﹣1，
設(shè)Q（q，q﹣1），過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，
∴BH＝1﹣q，QH＝q﹣1，
∴，
整理得：2q2﹣4q﹣15＝0，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即；
第二種情況：如圖2，點(diǎn)Q在直線AC上方，
∵四邊形BCQP是菱形，
∴QP∥BC，，
∵B（1，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y＝﹣4x+4，
設(shè)P（p，p+4），
∴，
整理得：p2+3p＝0，
解得：p1＝0（與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去），p2＝﹣3，即P（﹣3，1），
∴設(shè)PQ所在直線的解析式為y＝﹣4x+n，
把點(diǎn)P（﹣3，1）代入得：n＝﹣11，
∴直線PQ的解析式為y＝﹣4x﹣11，
根據(jù)題意，設(shè)Q（r，﹣4r﹣11），
∴，
整理得：17r2+102r+136＝0，
∴，即r1＝﹣2，r2＝﹣4，
∵﹣2＞﹣3，不合題意，
∴Q（﹣4，5）；
第三種情況，BC為菱形的對角線時(shí)，如圖3：
作BC的垂直平分線PN，交AC于P，交BC于N，
在直線PN上截取CQ＝PC，連接PB、BQ得菱形BPCQ，
∵B（1，0），C（0，4），
∴，
∴，
∵∠BOC＝∠BNM＝90°，∠CBO＝∠MBN，
∴△BOC∽△BNM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線PN為y＝mx+n，代入，，得：
，
解得，
∴，
與y＝x+4聯(lián)立，得：
，
解得，
∴，
∴將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)C，
將點(diǎn)B（1，0）經(jīng)過相同的平移得到點(diǎn)，即，
綜上所述，存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，共有4個(gè)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或（﹣4，5）．
6．（2024?明水縣校級二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，動點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接DC，DB，設(shè)△BCD的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由：
（4）如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使得△CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣2），
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式；
（2）如圖1所示：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，交BC與點(diǎn)F．
設(shè)D，則F，
∴FD＝，
∴，
∵﹣1＜0，
∴a＝2時(shí)，S最大，最大值為4．
此時(shí)，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，﹣3）；
（3）存在，理由如下：
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
設(shè)，
以BC為對角線時(shí)，
∴PC＝PB，
∴，
解得：e＝0，即，
當(dāng)BP為對角線時(shí)，
∴PC＝CB，
∴，
解得：，，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；
當(dāng)CP為對角線時(shí)，
∴PB＝CB，
∴，
解得：，，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；
綜上：P的坐標(biāo)為：或或或或．
（4）如圖2所示：過點(diǎn)D作DR⊥y垂足為R，DR交BC與點(diǎn)G，連接AC，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴，，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC為直角三角形．
取AB的中點(diǎn)E，連接CE，則CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴．
當(dāng)∠MCD＝2∠ABC時(shí)，則．
設(shè)，則DR＝x，．
∴，
解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．
當(dāng)∠CDM＝2∠ABC時(shí)，設(shè)MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵，
∴GM＝6k，，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴，．
∴．
∴，
解得：x＝0（舍去）或．
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2或．
7．（2024?建華區(qū)二模）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)P在線段BC上，不與B、C重合．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）在平面內(nèi)找到點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AP，取AP的中點(diǎn)G，連接DG，AP+2DG的最小值是 2 ．
【解答】解：（1）直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），
則，解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)P（m，﹣m+3），則點(diǎn)N（2﹣m，﹣m2+2m+3），
當(dāng)時(shí)，即（﹣m2+2m+3+m﹣3）：（2﹣m﹣m）＝1：2，
解得：m＝2+（舍去）或2﹣，
即P的橫坐標(biāo)為：2﹣；
（3）設(shè)Q（s，t），則點(diǎn)P（m，﹣m+3），
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，AC2＝10，
當(dāng)AC為對角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AP＝AQ得：，
解得m＝2.5，即點(diǎn)P（2.5，0.5）；
當(dāng)AQ、AP為對角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AP＝AC或AC＝AQ得：
或，
解得：m＝或2（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)P（，3﹣）或（2，1）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，3﹣）或（2，1）或（2.5，0.5）；
（4）作PE∥DG交AD的延長線于點(diǎn)E，連接PE，
則DG為△APE的中位線，則PE＝2GD，
作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E′，作EN∥x軸交BC于點(diǎn)N，連接NE′，
∵∠CNE＝45°，點(diǎn)E′、E關(guān)于直線BC對稱，
則∠E′NC＝45°，即△E′EN為等腰直角三角形，
由點(diǎn)A、D（0，﹣3）的坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)E（1，﹣6），
當(dāng)y＝﹣6時(shí)，即﹣6＝﹣x+3，則x＝9，即點(diǎn)N（9，﹣6），
則EN＝9﹣1＝8＝E′N，
則點(diǎn)E′（9，2），
則AP+2DG＝AP+PE＝AP+PE′≤AE′，
當(dāng)A、P、E′共線時(shí)，等式成立，
由點(diǎn)A、E′的坐標(biāo)得，AE′＝＝2．
8．（2024?宜興市二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出a、b的值；
（2）如圖1，連接BC，D在線段BC上，過D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)E，連接CE、OD，當(dāng)△OCD的面積是△CDE的面積的時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)G的坐標(biāo)（4，﹣3），作直線OG，點(diǎn)H在y軸的負(fù)半軸上，連接BH交直線OG于M，點(diǎn)N在該平面內(nèi)運(yùn)動，當(dāng)以O(shè)、H、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴a的值為，b的值為﹣；
（2）過C作CK⊥DE于K，過D作DT⊥y軸于T，如圖：
由（1）知拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵DF⊥x軸，
∴DF∥y軸，
∴CK＝DT，
∵△OCD的面積是△CDE的面積的，
∴OC?DT＝DE?CK×，
∴DE＝OC＝×4＝3，
由B（8，0），C（0，﹣4）得直線BC解析式為y＝x﹣4，
設(shè)D（m，m﹣4），則E（m，m2﹣m﹣4），
∴m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）＝3，
解得m＝2或m＝6，
∴D的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（6，﹣1）；
（3）如圖：
由G（4，﹣3）得直線OG解析式為y＝﹣x，
設(shè)M（t，﹣t），
由B（8，0），M（t，﹣t）可得直線BM解析式為y＝﹣x+，
令x＝0得y＝，
∴H（0，），
設(shè)N（p，q），
又O（0，0），
①若OH，MN為對角線，則OH，MN中點(diǎn)重合，且OM＝ON，
∴，
解得（舍去）或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程組的解，
∴H（0，﹣6）；
②若OM，HN為對角線，則OM，HN的中點(diǎn)重合，且MN＝ON，
∴，
解得（舍去）或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程組的解，
∴＝﹣，
∴H（0，﹣）；
③若ON，MH為對角線，則ON，MH中點(diǎn)重合，且OM＝MN，
∴，
解得（舍去）或（此時(shí)H不在y軸負(fù)半軸，舍去）或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程組的解，
∴＝﹣4，
∴H（0，﹣4）；
綜上所述，H的坐標(biāo)為（0，﹣6）或（0，﹣）或（0，﹣4）．
9．（2024?徐州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、C與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為 （﹣3，0） ，點(diǎn)D坐標(biāo)為 （﹣1，4） ；
（2）P為AD之間拋物線上一點(diǎn)，直線BP交AD于E，交x軸于F，若S△DBE＝S△AEF，求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有 4 個(gè)．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線頂點(diǎn)D為（﹣1，4），
故答案為：（﹣3，0），（﹣1，4）；
（2）連接DO，如圖：
由（1）知，A（﹣3，0），C（1，0），D（﹣1，4），
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S四邊形AOBD＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝，
∵S△DBE＝S△AEF，
∴S△DBE+S四邊形EAOB＝S△AEF+S四邊形EAOB，
即S四邊形AOBD＝S△BOF，
∴S△BOF＝，
∴OF×3＝，
∴OF＝5，
∴F（﹣5，0），
由B（0，3），F(xiàn)（﹣5，0）得直線BF函數(shù)表達(dá)式為y＝x+3，
聯(lián)立，
解得或，
∴P（﹣，）；
（3）①若以BC，BM為鄰邊，則以B為圓心，BC為半徑作圓與對稱軸直線x＝﹣1有交點(diǎn)M1，M2，如圖：
可作菱形BM1N1C，而M2與BC共線，以B，C，M2，N為頂點(diǎn)不能作菱形；
②若以CB，CM為鄰邊，則以C為圓心，CB為半徑作圓與對稱軸直線x＝﹣1有交點(diǎn)M3，M4，如圖：
可作菱形CM3N3B和菱形CM4N4B；
③若以MB，MC為鄰邊，則作BC的垂直平分線與對稱軸直線x＝﹣1有交點(diǎn)M5，如圖：
可作菱形CM5BN5；
綜上所述，以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有4個(gè)；
故答案為：4．
10．（2024?姑蘇區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)D為△ABC的外心．
（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （﹣1，0） ，∠ABC＝ 45 °；
（2）記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究S1﹣S2是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；
（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E，使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則m＝ ．
【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣1）x+m，
∴x1＝﹣1，x2＝m，
∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（m，0），
∴OB＝m，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m，
∴點(diǎn)C（0，m），
∴OB＝OC＝m，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
故答案為（﹣1，0），45；
（2）S1﹣S2＝為定值，理由：
∵點(diǎn)D為△ABC的外心，∠ABC＝45°，則∠ADC＝90°，
則∠ACD＝90°，則AD＝CD＝BD，
過點(diǎn)D作y軸的平行線交過點(diǎn)C和x軸的平行線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)D（x，y），
則CM＝x，DN＝y(tǒng)，AN＝x+1，DM＝m﹣y，
∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠ADM＝∠DAN，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，
∴△AND≌△DMC（AAS），
則AN＝DM，CM＝DN，
即x＝y(tǒng)且x+1＝m﹣y，
解得：x＝y(tǒng)＝（m﹣1），
則S2＝AB?DN＝（m+1）（m﹣1）＝（m2﹣1）；
∵△ACD為等腰直角三角形，
則S1＝AC2＝（m2+1），
則S1﹣S2＝為定值；
（3）由（2）知，點(diǎn)D（，），設(shè)點(diǎn)E（t，﹣t2+（m﹣1）t+m），
當(dāng)BC為對角線時(shí)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和BD＝CD得：
，解得：m＝2（不合題意的值已舍去）；
當(dāng)BD或BE為對角線時(shí)，
同理可得：或，
解得：m＝（不合題意的值已舍去）；
綜上，m＝，
故答案為：．
11．（2024?豐縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．
（1）a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，若△CDE是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
則y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
則a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，
即a＝1，b＝﹣2，
故答案為：1，﹣2；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，﹣3），
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式知：y＝x﹣3，
當(dāng)∠ECD＝90°，
由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4），
則直線CD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，
則直線CD⊥BC，
即當(dāng)點(diǎn)D和拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，△CDE是直角三角形，
即點(diǎn)P（1，0）；
當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，
則點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
則點(diǎn)P（2，0）；
綜上，P（1，0）或（2，0）；
（3）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)P（x，0），則點(diǎn)E（x，x﹣3），點(diǎn)D（x，x2﹣2x﹣3），
則DE＝x﹣3﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x，
①當(dāng)CE＝ED＝CF，
則CE＝DE，
即﹣x2+3x＝x，
解得：x＝3﹣，
則CE＝x＝32＝CF，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，3﹣5）（舍去）或（0，﹣3﹣1）．
②當(dāng)FE＝ED＝CD＝CF，
此時(shí)∠CED＝∠BCO＝45，∠FEC＝∠CED＝45（菱形的對角線平分菱形的角），
∴∠FED＝90，
因此這個(gè)菱形正好是特殊的正方形．
∴當(dāng)CD∥x軸（∠CDE＝90）時(shí)，即可滿足．
此時(shí)E（2，﹣1），
∵FE∥CD，
∴F（0，﹣1），
綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，﹣1）或（0，﹣3﹣1）．
12．（2024秋?陽信縣月考）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且 OA＝OC，E是線段OA上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)m為何值時(shí)，線段DF有最大值，并寫出最大值為多少；
（3）若點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且 OA＝OC，
∴C（0，4），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+4，
∴D（m，m+4），
∵F（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，DF最大＝4；
（3）設(shè)P（t，t+4），
∵B（1，0），C（0，4），
∴PB2＝（t﹣1）2+（t+4）2＝2t2+6t+17，
PC2＝t2+t2＝2t2，
BC2＝17，
當(dāng)PC2＝BC2時(shí)，
2t2＝17，
∴t＝±，
∴當(dāng)t1＝時(shí)，y＝，
∴P1（，+4），
∴Q 1（+1，），
當(dāng)t2＝﹣時(shí)，y＝﹣+4，
∴P2（﹣，﹣+4），
∴Q2（﹣+1，﹣），
當(dāng)PB2＝PC2時(shí)，
6t+17＝0，
∴t3＝﹣，
當(dāng)t＝﹣時(shí)，y＝﹣+4＝，
∴P3（﹣，），
∴Q3（，），
當(dāng)PB2＝BC2時(shí)，
2t2+6t＝0，
∴t4＝0（舍去），t5＝﹣3，
當(dāng)t＝﹣3時(shí)，點(diǎn)P4（﹣3，1），
∴Q4（﹣4，5），
綜上所述：Q（+1，）或（﹣+1，﹣）或（，）或（﹣4，5）．
13．（2024?玉泉區(qū)三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，二次函數(shù)的圖象過A，B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對稱軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)且以BC為一邊的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）在 中，
令x＝0得 ，
令 y＝0 得 x＝3，
∴A（3，0），；
（2）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過A、B兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；
（3）存在，理由如下：
由二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣可得其對稱軸為直線x＝＝1，
設(shè)P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C與B關(guān)于直線x＝1對稱，
∴C（2，﹣），
①BP、CQ為對角線時(shí)，如圖：
同理BP、CQ中點(diǎn)重合，可得，
解得，
∴當(dāng)P（1，0），Q（﹣1，0）時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四邊形BCPQ是菱形，
∴此時(shí)Q（﹣1，0）；
②以BQ、CP為對角線，如圖：
BQ、CP中點(diǎn)重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）時(shí)，四邊形BCQP是平行四邊形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四邊形BCQP是菱形，
∴此時(shí)Q（3，0）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為：（﹣1，0）或（3，0）．
14．（2024?涼州區(qū)校級模擬）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），對稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）連接ON，如圖：
設(shè)P（m，0），則N（m，m2+2m﹣3），
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S四邊形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON
＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S四邊形ABCN取最大值，
此時(shí)P（﹣，0）；
∴四邊形ABCN面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）；
（3）在y軸上存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC解析式為y＝﹣x﹣3，
設(shè)Q（0，t），P（n，0），則M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），
∵M(jìn)N∥CQ，
∴當(dāng)M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，MN，CQ是一組對邊；
①當(dāng)MC，NQ為對角線時(shí)，MC，NQ的中點(diǎn)重合，且CN＝CQ，
∴，
解得（此時(shí)M，N與C重合，舍去）或；
∴Q（0，﹣1）；
②當(dāng)MQ，CN為對角線時(shí)，MQ，CN的中點(diǎn)重合，且CQ＝CM，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．
15．（2024?蓬江區(qū)校級模擬）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn) C．點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①若點(diǎn)P僅在線段AO上運(yùn)動，如圖，求線段MN的最大值；
②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一動點(diǎn)，且PM⊥x軸．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函數(shù)有最大值．
又∵點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動，且﹣3＜﹣＜0，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，MN有最大值．
②如圖2﹣1中，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，MN＝MC，四邊形MNQC是菱形時(shí)．
∵M(jìn)N＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍棄）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如圖2﹣2中，當(dāng)MC是菱形的對角線時(shí)，四邊形MNCQ是正方形，此時(shí)CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如圖2﹣3中，當(dāng)點(diǎn)M在CA延長線上時(shí)，MN＝CM，四邊形MNQC是菱形時(shí)，
則有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍棄），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，顯然MN＞CM，此時(shí)滿足條件的菱形不存在．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．

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