1．式子成立的條件是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知的三條邊分別是、、，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．計算 的結果為( )
A．B．C．D．
5．若實數(shù)，滿足，則的值為（ ）
A．3B．1或3C．1D．5
6．下列計算正確的是（ ）
A．=2B．2=6
C．D．=2
7．在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線把BC邊分成長度是3和4的兩部分，則平行四邊形ABCD的周長是( )
A．22B．20
C．22或20D．18
8．如圖是一株美麗的勾股樹，其作法為：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個正方形，計為2．依此類推…若正方形①的面積為16，則正方形③的邊長是（ ）

A．2B．4C．6D．8
9．下列說法：①一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形；②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；③對角線相等的四邊形；④一組對角相等、一組對邊平行的四邊形是平行四邊形．其中能判定一個四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．②④B．②③C．①②④D．①②③
10．如圖，O是平行四邊形的中心，過O點的兩條直線與對角線將平行四邊形分成陰影和空白部分．若，，．則陰影部分的面積為（ ）

A．6B．4C．3D．
11．如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點．將沿直線折疊，使得點A的對應點D落在邊的三等分點處，則線段的長為（ ）
A．3B．C．3或D．3或
12．如圖，在平行四邊形中，，點H、G分別是邊、上的動點．連接、，點E為的中點，點F為的中點，連接．則的最大值與最小值的差為（ ）
A．1B．1C．D．
二、填空題（本大題共6小題）
13．若直角三角形的兩邊長分別為 3cm，5cm，則第三邊長為 cm．
14．讀材料：我們規(guī)定，若，則稱a與b是關于的平衡數(shù)，若與m是關于的平衡數(shù)，則 ．
15．勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學著作《九章算術》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則 （用含的式子表示）．
16．如圖，矩形中，，，在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點M所表示的數(shù)為 ．
17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，連接DE、BE，點F、G、H分別為BE、DE、BC的中點．若∠A＝80°，則∠GFH＝ °．
18．如圖，在圖中，、、分別是的邊、、的中點，在圖中，、、分別是的邊、、的中點，，按此規(guī)律，則第個圖形中平行四邊形的個數(shù)共有 個．
三、解答題（本大題共7小題）
19．計算
(1)；
(2)．
(3)先化簡，再求值：，其中，．
20．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行，“海天”號每小時航行．它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？
21．在圖中，的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，由此我們稱這種三角形為格點三角形．
(1)在圖中，每個小正方形的邊長為時， ；
(2)在圖中，若每個小正方形的邊長為，請在此網(wǎng)格上畫出三邊長分別為、、的格點三角形；
22．如圖，在?中，，連接并延長交的延長線于點．若，求的度數(shù)．
23．【閱讀】我們將與稱為一對“對偶式”，
因為，所以構造“對偶式”，再將其相乘可以有效地將和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以這樣計算：如．像這樣，通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去，叫做分母有理化．
根據(jù)以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答下列問題：
(1)對偶式與之間的關系是____________；
A．互為相反數(shù) B．絕對值相等 C．互為倒數(shù)
(2)已知，，求；
(3)解方程：．
［提示：令，］．
(4)求的值．
24．八年級數(shù)學小組以“直角三角形的折疊”為主題，開展數(shù)學探究活動．
如圖①，已知，在中，，，，點D是邊上一動點，于點
(1)【操作判斷】如圖②，將沿直線折疊，點C恰好與點A重合，則與的數(shù)量關系是______；
(2)【問題解決】在（1）的條件下，求的長；
(3)【問題探究】將沿直線折疊，點C落在邊上的點F處，連接，當是等邊三角形時，直接寫出的面積．
25．如圖，在中，，，，．過點D作，垂足為E，動點P從點D出發(fā)沿方向以的速度向點A運動，動點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿射線運動，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動，設點P，Q運動的時間為．
(1)當時，求t的值；
(2)連接，設四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關系式；
(3)當點P關于直線的對稱點恰好在直線上時，請直接寫出t的值．
參考答案
1．【答案】C
【分析】直接利用二次根式和分式有意義的條件分析得出答案
【詳解】式子成立的條件是：x-3＞0，
解得：x＞3．
故選C．
2．【答案】B
【分析】根據(jù)：“被開方數(shù)不含分母，不含能開方開的盡的因數(shù)或因式的二次根式是最簡二次根式”，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是二次根式，不符合題意；
B、是最簡二次根式，符合題意；
C、被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選B．
3．【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤．
【詳解】解：A、設a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正確；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正確；
C、設∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正確；
D、設∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
錯誤；
故選D．
4．【答案】B
【分析】利用絕對值的性質(zhì)：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，分別化簡各式，進而合并求出即可．
【詳解】+++…+
=+2-+…+
=+
=
故選B．
5．【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a的值，進而求出b的值，代入即可得出答案，
【詳解】∵，
∴a?1=0，則b=4，
解得：a=1(舍去)或a=?1，
∴a+b=3.
故選A.
6．【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的運算法則運算即可.
【詳解】解：，，，則A、C、D均錯誤；
2，則B正確，
故選B.
7．【答案】C
【詳解】在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，則∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如圖，

①當BE=3，EC=4時，
平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②當BE=4，EC=3時，
平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故選C．
8．【答案】A
【分析】根據(jù)正方形①的面積，得到，再根據(jù)勾股定理，分別求出，，即可求解．
【詳解】解：如圖標記各點，
正方形①的面積為16，
，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
即正方形③的邊長是2，
故選A

9．【答案】A
【分析】準確理解并運用各個判定條件來判斷四邊形是否為平行四邊形．對每個說法逐一根據(jù)平行四邊形的判定定理進行分析判斷，確定哪些說法能判定四邊形是平行四邊形．
【詳解】一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，比如等腰梯形，它滿足一組對邊平行，另一組對邊相等，但不是平行四邊形，所以①錯誤，不符合題意；
根據(jù)平行四邊形的定義，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，所以②正確，符合題意；
對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形的對角線都相等，但等腰梯形不是平行四邊形 ，所以③錯誤，不符合題意；
已知一組對角相等，一組對邊平行，可通過平行線的性質(zhì)和等角的補角相等推出另一組對角也相等，根據(jù) “兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知這個四邊形是平行四邊形，所以④正確，符合題意；
綜上，能判定一個四邊形是平行四邊形的是②④，
故選A．
10．【答案】D
【分析】先根據(jù)平行四邊形的中心對稱性質(zhì)可知，，再根據(jù)勾股定理求出的長即可得出結果．
【詳解】解：過點作于點，

由平行四邊形的中心對稱性質(zhì)可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故選D．
11．【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分和兩種情形，設，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：，點A的對應點D落在邊的三等分點處，設BN＝x，
則和，，
在中，，
當時，，
解得：，
當時，，
解得：，
故選D．
12．【答案】C
【分析】取的中點M，連接、、，作于N，先求出的最大值為最小值為，再求出的最大值與最小值的差為即可．
【詳解】解：如圖，取的中點M，連接、、，作于N，
∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
根據(jù)題意，得的最大值為的長，最小值為的長，
∴的最大值為，最小值為，
∴的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值的差為．
故選C．
13．【答案】4或/或4
【分析】先分類討論，①當5cm長的邊為直角邊時，②當5cm長的邊為斜邊時，進而根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】①當5cm長的邊為直角邊時，
第三邊長為cm，
②當5cm長的邊為斜邊時，
第三邊長為cm
14．【答案】/
【分析】根據(jù)新定義列出算式計算即可．
【詳解】解：由題意，得：
15．【答案】
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．
【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，
，為直角邊，為斜邊，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇數(shù)，
．
16．【答案】/
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，再求出答案即可．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴點表示的數(shù)為
17．【答案】100
【分析】先證明FG是△BDE的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，推出∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠EFH+∠A+∠ABE=180°，再根據(jù)∠GFH=∠EFG+∠EFH進行求解即可．
【詳解】解：∵F、G、H分別是BE，DE，BC的中點，
∴FG是△BDE的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，
∴，
∴∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠EFH+∠A+∠ABE=180°，
∵∠GFH=∠EFG+∠EFH，
∴∠GFH=∠ABE+180°-∠A-∠ABE=100°
18．【答案】
【詳解】在圖（1）中，、、分別是的邊、、的中點，
∴，
，
∴四邊形是平行四邊形，共有3個．
在圖（2）中，分別是的邊的中點，
同理可證：四邊形、、、、、是平行四邊形，共有6個．
…
按此規(guī)律，則第n個圖形中平行四邊形的個數(shù)共有個
19．【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式、平方差公式展開，再合并同類項，即可作答．
（2）先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再進行乘法，最后運算加減，即可作答．
（3）先利用二次根式的性質(zhì)化簡，運算加減，得，然后代入數(shù)值化簡，即可作答．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：依題意，，，
則把，分別代入，
得．
20．【答案】“海天”號沿西北方向航行
【分析】根據(jù)路程=速度時間分別求得，的長，再進一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明是直角三角形，從而進行分析求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，
，，，
因為，
即，所以，
由“遠航”號沿東北方向航行可知，，
因此，即“海天”號沿西北方向航行，
答：“海天”號沿西北方向航行．
21．【答案】(1)
(2)畫圖見解析（答案不唯一）
【分析】（）利用勾股定理計算即可；
（）取格點，由勾股定理可得，，，故即為所求
【詳解】（1）解：由勾股定理得，，
故答案為：；
（2）解：如圖所求，即為所求．
22．【答案】
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，由即可證出，證出，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）計算對偶式，可得兩數(shù)互為倒數(shù)；
（2）根據(jù)已知分別化簡x，y，然后求和即可；
（3）令，則兩邊同乘以，得，求出t，根據(jù)，，解得，即可求出x值，檢驗即可；
（4）將每個加數(shù)分母有理化，再相加即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴對偶式與之間的關系是互為倒數(shù)；
故選C；
（2）解：由題意得
，
；
∴
（3）解：令，則兩邊同乘以，
得，
解得，
∵，
，
∴①+②，得
，
兩邊同時平方得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
（4）解：
24．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得；
（2）由勾股定理可求BD的長；
（3）由直角三角形的性質(zhì)可求，可得，由三角形的面積公式可求解．
【詳解】（1）解：∵將沿直線折疊，
，
故答案為：；
（2）解：，
，
∵，，
，
；
（3）解：如圖，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
的面積
25．【答案】(1)
(2)
(3)2或6
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定可知：，列方程可解答；
（2）根據(jù)梯形面積公式可解答；
（3）分兩種情況討論，由軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，
，
當時，四邊形是平行四邊形，
，
，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
如圖2，當點的對稱點在線段上時，
，
，
是等邊三角形，
，
，
；
如圖3，當點的對稱點在線段的延長線上時，
，
，
點的對稱點在線段的延長線上，
，
，
，
，
，
，
，
綜上，的值是2或6．

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