1．我國航天領(lǐng)域發(fā)展迅速，從“天宮一號(hào)”到“天和”核心艙的發(fā)射，正式邁入“空間站時(shí)代”．下列與中國航天相關(guān)的圖標(biāo)中可以看作是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．對于分式，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，分式的值為B．當(dāng)時(shí)，分式無意義
C．當(dāng)時(shí)，分式的值為正數(shù)D．當(dāng)時(shí)，分式的值為
3．對于分式，當(dāng)a，b都擴(kuò)大到原來的2倍時(shí)，分式的值是（ ）．
A．不變B．?dāng)U大2倍C．?dāng)U大6倍D．?dāng)U大12倍
4．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．若m－n＝2，則代數(shù)式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
6．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置（其中點(diǎn)B和點(diǎn)D，點(diǎn)C和點(diǎn)E分別對應(yīng)）．若，則的大?。? ）
A．B．C．D．
7．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知的三邊長、、滿足條件：．那么的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
9．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在延長線上，已知，，，則的長為（ ）．
A．B．1C．D．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2025次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）．
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5小題）
11．因式分解： ．
12．化簡的結(jié)果為 ．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將沿x軸正方向平移得到，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)B與對應(yīng)點(diǎn)之間的距離為 ．
14．多項(xiàng)式有最小值，最小值為 ．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，是邊長為4的等邊三角形，已知點(diǎn)，，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，線段掃過的面積為 ．
三、解答題（本大題共9小題）
16．分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
17．計(jì)算：
(1)．
(2)．
18．先化簡，再求值：，其中．
19．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若則為度．
20．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為個(gè)單位長度，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)將向上平移個(gè)單位長度，再向右平移個(gè)單位長度后得到的，畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，按要求作出圖形；
(3)如果，通過旋轉(zhuǎn)可以得到，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．
21．如果兩個(gè)分式P與Q的差為常數(shù)k，且k是整數(shù)，則稱P是Q的“差整分式”，常數(shù)k稱為“差整值”．例如：分式，，所以，則P是Q的“差整分式”，“差整值”．
(1)已知分式，，判斷A是不是B的“差整分式”；若不是，請說明理由；若是，請求出“差整值”；
(2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．求M所代表的代數(shù)式．
22．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行因式分解時(shí)發(fā)現(xiàn)，若多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次整式相乘的形式，則或時(shí)，原多項(xiàng)式的值為0，嘗試定義和為多項(xiàng)式的“零值”，兩個(gè)“零值”的平均值為該多項(xiàng)式的“對稱值”．例如：多項(xiàng)式，當(dāng)或時(shí)，的值為0，則多項(xiàng)式的“零值”為和，“對稱值”為．
根據(jù)上述材料，解決下列問題．
(1)多項(xiàng)式的“零值”為__________，“對稱值”為__________；
(2)若多項(xiàng)式（實(shí)數(shù)m為常數(shù)）的兩個(gè)“零值”相等，求m的值及多項(xiàng)式的“對稱值”．
23．（1）對于一個(gè)矩形，可以通過部分、整體兩種方法分別計(jì)算它的面積，得到一個(gè)等式，要求等式從左邊到右邊，是一個(gè)多項(xiàng)式到幾個(gè)整式的積的變形形式，相當(dāng)于對左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們把這樣的等式叫“因式分解等式”，如圖1、是4個(gè)小矩形拼接而成的大矩形，根據(jù)計(jì)算矩形的面積，可以得到的“因式分解等式”為__________；如圖2，若，時(shí)，根據(jù)計(jì)算矩形的面積可以得到的“因式分解等式”為__________；
（2）類似的，通過不同的方法表示同一個(gè)長方體的體積，也可以探求相應(yīng)的“因式分解等式”、如圖3，棱長為的正方體被分割成8塊．則有__________；
（3）根據(jù)（1）和（2）中的結(jié)論解答下列問題：若圖1與圖2中的a與b的值滿足，，求的值．
24．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，填空：當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）
（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=4，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①求證：BE=CD
②直接寫出線段BE長的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=3，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值
參考答案
1．【答案】C
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、是中心對稱圖形，符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選C．
2．【答案】C
【分析】直接利用分式的值為零，分式無意義，分式的求值進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，，，分式的值為，故此項(xiàng)選項(xiàng)不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，，分式無意義，故此選項(xiàng)不符合題意；
C 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，分式無意義，故此選項(xiàng)符合題意；
D．當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選C．
3．【答案】B
【分析】把、替換原來的、，然后進(jìn)行分式的化簡計(jì)算，從而與原式進(jìn)行比較得出結(jié)論．
【詳解】解：把、替換原來的、可得，
由此可知分式的值擴(kuò)大2倍，
故選B．
4．【答案】B
【分析】分別利用平方差公式分解因式進(jìn)行判斷即可解答．
【詳解】解：A、，可以用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、，兩個(gè)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，不可以用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
C、，不可以用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、，可以用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選B．
5．【答案】D
【分析】先因式分解，再約分得到原式＝2（m-n），然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．
【詳解】解：原式?
＝2（m-n），
當(dāng)m-n＝2時(shí)，原式＝2×2＝4．
故選D．
6．【答案】B
【分析】先由平行線的性質(zhì)得到，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，則可求得結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，
∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選B．
7．【答案】C
【分析】首先把等式的左邊分解因式可得：，從而可得，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：
整理得：，
分解因式可得：，
，
．
故選C．
8．【答案】D
【分析】將等式左邊分解因式可求得或，進(jìn)而判定三角形的形狀．
【詳解】解：
或
或，
或，即的形狀為等腰三角形或直角三角形，
故選D．
9．【答案】A
【分析】在上截取，過點(diǎn)A作，根據(jù)，求出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，易得，證明，推出，進(jìn)而推出，結(jié)合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性質(zhì)求出，利用直角三角形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，在上截取，過點(diǎn)A作，
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選A．
10．【答案】C
【詳解】解：過點(diǎn)作軸于，

在中，，，，
，
，，
由勾股定理得，，
，
，，
，
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得，
以此類推，，，，，，6次一個(gè)循環(huán)，
，
第次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選C．
11．【答案】
【解析】略
12．【答案】1
【分析】先將原式化成同分母的分式再進(jìn)行運(yùn)算，能約分的要約分．
【詳解】解：
13．【答案】/
【分析】先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得出點(diǎn)與其對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，再根據(jù)平移的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)與點(diǎn)為對應(yīng)點(diǎn)，
∴
14．【答案】
【詳解】解：，
，
原式有最小值
15．【答案】
【分析】具體來說，利用是等邊三角形和的條件，證明和全等，從而將線段的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為線段的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而確定線段掃過的圖形，再計(jì)算其面積．
【詳解】解：是邊長為4的等邊三角形，
，．
，
又線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，．
，
即．
在和中，
，
．
，，
，，
，，
，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡在射線上，
作射線，在射線上截取，連接，
，
即點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，點(diǎn)Q從圖中的點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是下圖中的線段，
，，此時(shí)，
，
線段掃過的圖形的面積等于的面積．
作于，
，
，
線段掃過的面積
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可；
（2）提取公因式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
，
．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按同分母分式加減運(yùn)算法則，先將分子相減，再化簡成最簡分式或整式．
（2）先將原式通分化成同分母的分式再進(jìn)行運(yùn)算，能約分的要約分．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】，
【分析】先通分，計(jì)算括號(hào)內(nèi)，除法變乘法，化簡后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
；
當(dāng)時(shí)，原式．
19．【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，利用SAS證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出；
（2）由，得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出．
【詳解】（1）證明：∵，
，
∵將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，
，
在與中，
，
，
；
（2）由（1）知，
得．
在中，是外角，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)：，
為．
20．【答案】(1)圖見解析，
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連線得出，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
（3）連接，，作與的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為與的旋轉(zhuǎn)中心，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）如圖，即為所求．
（3）如圖，連接，，作與的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為與的旋轉(zhuǎn)中心，
旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為
21．【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中定義即可解答；
（2）根據(jù)題中定義，得到，即可解答；
【詳解】（1）解：，
A是B的“差整分式”，“差整值”；
（2）解：，
，
可得．
22．【答案】(1)和，
(2)的值為6或，多項(xiàng)式的“對稱值”為或
【分析】（1）仿照示例，求出多項(xiàng)式的“零值”和“對稱值”；
（2）根據(jù)題意，求出值，再仿照示例，求出多項(xiàng)式的“零值”和“對稱值”．
【詳解】（1）解：，
當(dāng)或時(shí)，，
多項(xiàng)式的“零值”為和，
“對稱值”為，
故答案為：和，；
（2）解：多項(xiàng)式（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的兩個(gè)“零值”相等，
多項(xiàng)式是完全平方式，
即，
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式可化為，
，“零值”為和，“對稱值”為；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式可化為，
，“零值”為和，“對稱值”為，
綜上所述，的值為6或，多項(xiàng)式的“對稱值”為或．
23．【答案】（1）；；
（2）；
（3）．
【分析】(1)根據(jù)圖形面積即可得解；
(2)根據(jù)正方體的體積公式以及分割成的圖形體積之和即可得解；
(3)參考上述結(jié)論計(jì)算求解即可．
【詳解】解：（1）由圖形等面積可得；；；
故答案為：；；
（2）正方體的體積為，
由圖可知正方體被分割成8部分，
其中1個(gè)邊長為的小正方體，
1個(gè)邊長為的小正方體，
3個(gè)底面邊長為，高為的長方體，
3個(gè)底面邊長為，高為的長方體，
，
故答案為：；
（3），，，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①見解析；②5；（3）+3
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝BE；②由于線段BE長的最大值＝線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝PA＝3，BN＝AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為3＋3；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，
∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長線上，a+b；
（2）①證明：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值，
由（1）知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長線上，
∴最大值為BD+BC=AB+BC=5；
（3）如圖3-1中，連接BM，
∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=3，BN=AM，
∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，
∴當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段BN取得最大值，（如圖3-2中）
最大值=AB+AN，
∵AN=AP=，
∴最大值為+3．

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