2025年新高考數(shù)學(xué)突破新定義壓軸題綜合講義專題05數(shù)列下的新定義(七大題型)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：牛頓數(shù)列問題
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
題型三：數(shù)列定義新概念
題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算
題型五：數(shù)列定義新情景
題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列
題型七：非典型新定義數(shù)列
【方法技巧與總結(jié)】
1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時考查了學(xué)生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識歸類、套路總結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．
2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：
（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗證，使問題得以順利解決．
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．
【典型例題】
題型一：牛頓數(shù)列問題
【典例1-1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.
(1)求；
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；
(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.
【典例1-2】（2024·高二·浙江紹興·期末）物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為，用代替重復(fù)上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．

(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【變式1-1】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù).
(1)證明：恰有一個零點，且；
(2)我們曾學(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點的近似值，另一種常用的求零點近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實施如下步驟：在點處作的切線，交軸于點：在點處作的切線，交軸于點；一直繼續(xù)下去，可以得到一個數(shù)列，它的各項是不同精確度的零點近似值.
（i）設(shè)，求的解析式；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
【典例2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，
定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足使得．
【典例2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【變式2-1】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
【變式2-2】（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；
②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．
(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.
題型三：數(shù)列定義新概念
【典例3-1】（2024·廣西南寧·一模）若無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列，若數(shù)列同時滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)若數(shù)列為數(shù)列，，證明：當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是；
(2)若數(shù)列為數(shù)列，，記，且對任意的，都有，求數(shù)列的通項公式．
【典例3-2】（2024·山東泰安·一模）已知各項均不為0的遞增數(shù)列的前項和為，且（，且）．
(1)求數(shù)列的前項和；
(2)定義首項為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”．證明：
①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；
②當(dāng)且時，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立．
【變式3-1】（2024·江西南昌·一模）對于各項均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分?jǐn)?shù)列”與的“2-比分?jǐn)?shù)列”是同一個數(shù)列.
(1)若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和；
(2)若是公差為2的等差數(shù)列，求.
題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算
【典例4-1】（2024·江蘇徐州·一模）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列P：，定義變換，將數(shù)列P變換成數(shù)列：．對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義，定義變換，將數(shù)列Q各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列．
(1)若數(shù)列為2，4，3，7，求的值；
(2)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，令，．
（i）探究與的關(guān)系；
（ii）證明：．
【典例4-2】（2024·江西贛州·一模）設(shè)數(shù)列.如果對小于的每個正整數(shù)都有.則稱是數(shù)列的一個“時刻”.記是數(shù)列的所有“時刻”組成的集合，的元素個數(shù)記為.
(1)對數(shù)列，寫出的所有元素；
(2)數(shù)列滿足，若.求數(shù)列的種數(shù).
(3)證明：若數(shù)列滿足，則.
【變式4-5】（2024·高三·山東·開學(xué)考試）在無窮數(shù)列中，令，若，，則稱對前項之積是封閉的．
(1)試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是否是封閉的？
(2)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為．若對前項之積是封閉的，求出的兩個值；
(3)證明：對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．
【變式4-6】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知時，.
（i）求；
（ii）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：.
題型五：數(shù)列定義新情景
【典例5-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足（，且，就稱該數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是項數(shù)為7的數(shù)列，且成等比數(shù)列，，試寫出的每一項；
(2)已知是項數(shù)為的數(shù)列，且構(gòu)成首項為100，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？
(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求這些數(shù)列的前2024項和.
【典例5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）將平面直角坐標(biāo)系中的一列點、、、、，記為，設(shè)，其中為與軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為點列.
(1)判斷、、、、、是否為點列，并說明理由；
(2)若為點列，且任取其中連續(xù)三點、、，證明為鈍角三角形；
(3)若為點列，對于正整數(shù)、、，比較與的大小，并說明理由.
【變式5-1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的價值，數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的效果．現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項公式，，通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列進(jìn)行操作后得到，設(shè)前n項和為．
(1)求；
(2)是否存在不同的實數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；
(3)若，，對數(shù)列進(jìn)行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．
題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列
【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……
(1)求的二階差數(shù)列；
(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項和．
【典例6-2】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若有窮數(shù)列，，…，（是正整數(shù)），滿足（，且），就稱該數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是項數(shù)為7的數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列，，，試寫出的每一項；
(2)已知是項數(shù)為（）的數(shù)列，且，，…，構(gòu)成首項為100，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？
(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求這些數(shù)列的前2024項和.
【變式6-1】（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．
(1)試求，，，的值；
(2)設(shè)n是一個正整數(shù)，p，q是兩個不同的素數(shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；
(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：
①準(zhǔn)備兩個不同的、足夠大的素數(shù)p，q；
②計算，歐拉函數(shù)；
③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；
④其中稱為公鑰，稱為私鑰．
已知計算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【變式6-2】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”；如果的二階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；
(2)設(shè)數(shù)列的通項公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請說明理由；
(3)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
題型七：非典型新定義數(shù)列
【典例7-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項為互不相等的正整數(shù)，前項和為，稱滿足條件“對任意的，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.
(1)試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，并給出證明；
(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前項和為.
①若，求數(shù)列的通項公式；
②若，且對任意給定的正整數(shù)，，有，，成等比數(shù)列，求證：.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：
①；②.
(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；
(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；
(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.
【變式7-1】（2024·湖南長沙·一模）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；
(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.
【過關(guān)測試】
1．（2024·天津和平·一模）若數(shù)列滿足，其中，則稱數(shù)列為M數(shù)列.
(1)已知數(shù)列為M數(shù)列，當(dāng)時.
（?。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)n.使得.
2．（2024·黑龍江·二模）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．
(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；
(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．
(1)求和（用表示）；
(2)令，證明：；
(3)若，證明：對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
4．（2024·天津·一模）若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”.
(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；
(2)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時，
（i）求數(shù)列的通項公式；
（ii）求證：.
5．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把點稱為自然點.按如圖所示的規(guī)則，將每個自然點進(jìn)行賦值記為，例如，.

(1)求;
(2)求證:;
(3)如果滿足方程，求的值.
6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：
①；
②對于，使得的正整數(shù)對有個.
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.
7．（2024·河南鄭州·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.
8．（2024·安徽黃山·一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．
(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？
(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
9．（2024·北京門頭溝·一模）已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，．記的前項和分別為，規(guī)定．記，且，，且
(1)若，，寫出；
(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列，并說明理由；
(3)若，且．證明：，使得．
10．（2024·河南·一模）在正項無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．
(1)若為1階等比數(shù)列，，求的通項公式及前項和；
(2)若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；
(3)若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．
11．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項公式；
(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項公式；
(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.
12．（2024·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根在的附近，如圖所示，然后在點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標(biāo)就是，用代替重復(fù)上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會越來越逼近．于是，求近似解的過程轉(zhuǎn)化為求，若設(shè)精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位）；
(2)若，求的取值范圍．
13．（2024·高二·廣東·階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學(xué)習(xí)過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.
(1)證明：有唯一零點，且；
(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實施如下步驟：
在處作曲線的切線，交軸于點；
在處作曲線的切線，交軸于點；
……
在處作曲線的切線，交軸于點；
可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.
（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
14．（2024·高三·山西呂梁·階段練習(xí)）三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)的圖象恰如其形，因而得名三叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞減.
15．（2024·河南信陽·一模）定義：已知數(shù)列滿足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列為正項數(shù)列，證明：不存在實數(shù)A，使得．
16．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；記，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，…，一般地，對于，記，規(guī)定：，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列．對于數(shù)列，如果（為常數(shù)），則稱數(shù)列為階等差數(shù)列．
(1)數(shù)列是否為階等差數(shù)列，如果是，求值，如果不是，請說明為什么？
(2)請用表示，并歸納出表示的正確結(jié)論（不要求證明）；
(3)請你用（2）歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列為階等差數(shù)列，則其前項和為；
(4)某同學(xué)用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，巧合用了2024個球．第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，問：這位同學(xué)共堆積了多少層？
17．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，
18．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記
集合．
（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；
（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．
19．（2013·北京·高考真題）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為，第n項之后各項，…的最小值記為，.
(1)若為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出的值；
(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：(n=1,2,3…)的充分必要條件為為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若，(n=1,2,3…)，則的項只能是1或2，且有無窮多項為1.
20．（2024·高三·北京西城·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足：存在和，使得對任意和，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；如果數(shù)列滿足：存在，使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；
(1)在下列情況下，分別判斷是否“數(shù)列”，是否“數(shù)列”？①，，；②，；
(2)若數(shù)列，是“數(shù)列”，其中且，求的所有可能值；
(3)設(shè)“數(shù)列”和“數(shù)列”的各項均為正數(shù)，定義分段函數(shù)，如下：記為“不超過的最大正整數(shù)”，證明：若是周期函數(shù)，則是“數(shù)列”.
專題05 數(shù)列下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：牛頓數(shù)列問題
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
題型三：數(shù)列定義新概念
題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算
題型五：數(shù)列定義新情景
題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列
題型七：非典型新定義數(shù)列
【方法技巧與總結(jié)】
1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時考查了學(xué)生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識歸類、套路總結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．
2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：
（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗證，使問題得以順利解決．
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．
【典型例題】
題型一：牛頓數(shù)列問題
【典例1-1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.
(1)求；
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；
(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.
【解析】（1）因為，則，從而有，
由，則，
則，解得則有，所以；
（2）由，則，
所以，
故（非零常數(shù)），且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
（3）由等比數(shù)列的前n項和公式得：，
因為不等式對任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，
所以對任意的恒成立，令，，
則，當(dāng)時，，是減函數(shù)，
當(dāng)時，，是增函數(shù)，
又，且，，，則，
當(dāng)n為偶數(shù)時，原式化簡為，所以當(dāng)時，；
當(dāng)n為奇數(shù)時，原式化簡為，所以當(dāng)時，，所以；
綜上可知，.
【典例1-2】（2024·高二·浙江紹興·期末）物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為，用代替重復(fù)上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．

(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【解析】（1）
，
在點處的切線方程為：
令，得，
所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
故
（2）令
法一：錯位相減法
，
，
兩式相減得：
化簡得：
故，
化簡得
令，
則，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以
從而整數(shù)；
法二：裂項相消法
由，
設(shè)且，
則，
于是，得，
即
所以

故，化簡得
令，
則時，，
當(dāng)當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以
從而整數(shù)
【變式1-1】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù).
(1)證明：恰有一個零點，且；
(2)我們曾學(xué)習(xí)過“二分法”求函數(shù)零點的近似值，另一種常用的求零點近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實施如下步驟：在點處作的切線，交軸于點：在點處作的切線，交軸于點；一直繼續(xù)下去，可以得到一個數(shù)列，它的各項是不同精確度的零點近似值.
（i）設(shè)，求的解析式；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
【解析】（1），定義域為，
所以，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且；
（2）（i）由（1）知，
所以，曲線在處的切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即，
令得，
所以，切線與軸的交點，即，
所以，；
證明：（ii）對任意的，由（i）知，曲線在,處的切線方程為：，
故令，
令，
所以，，
所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng),時，，單調(diào)遞減，
所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時，，
（若，則，故任意，顯然矛盾），
因為是的零點，
所以，
因為為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，對任意的時，總有，
又因為，
所以，對于任意，均有，
所以，，，
所以，
綜上，當(dāng)，總有．
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
【典例2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，
定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足使得．
【解析】（1）由題意可知：，
當(dāng)時，則，故；
當(dāng)時，則，故；
當(dāng)時，則故；
當(dāng)時，則，故；
綜上所述：，，，.
（2）由題意可知：，且，
因為，且，則對任意恒成立，
所以，
又因為，則，即，
可得，
反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，
當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，
則，
又因為，則，
假設(shè)不成立，故，
即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，
（?。┤簦瑒t可取，滿足使得；
（ⅱ）若，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得；
（ⅲ）若，
定義，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
即滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得.
綜上所述：存在使得．
【典例2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【解析】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．
（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；
當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．
（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，
若，則至多可表個數(shù)，矛盾,
從而若,則，至多可表個數(shù)，
而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個負(fù)數(shù)（恰 21個），這表明中僅一個負(fù)的，沒有0，且這個負(fù)的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負(fù)數(shù)為，
則所有數(shù)之和，，
，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，
（僅一種方式），
與2相鄰，
若不在兩端,則形式，
若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），
，同理，故在一端，不妨為形式，
若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，
，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，
由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、
故只能，①或，②
這2種情形，
對①：，矛盾，
對②：，也矛盾，綜上，
當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，
．
【變式2-1】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
【解析】(1)因為所以，
因為所以
所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因為或，所以或.
若，則，
不滿足，舍去.
當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，
當(dāng)時：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因為，有
即當(dāng)時命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時，，滿足題意.
【變式2-2】（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；
②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．
(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.
【解析】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；
(Ⅱ)具有性質(zhì)①；
具有性質(zhì)②；
(Ⅲ)解法一
首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：
顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項，設(shè)，
第一種情況：若，即，
由①可知：存在，滿足，存在，滿足，
由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.
第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，
另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，
這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.
同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負(fù)數(shù).
綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.
其次，證明：
利用性質(zhì)②：取，此時，
由數(shù)列的單調(diào)性可知，
而，故，
此時必有，即，
最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：
假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，
其中，（的情況類似）
由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）
由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，
由可得：（**）
由（**）和（*）式可得：，
結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，
注意到均為整數(shù)，故，
代入（**）式，從而.
總上可得，數(shù)列的通項公式為：.
即數(shù)列為等比數(shù)列.
解法二：
假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：
首先利用性質(zhì)②：取，此時，
由數(shù)列的單調(diào)性可知，
而，故，
此時必有，即，
即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，
然后利用性質(zhì)①：取，則，
即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，
否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，
在性質(zhì)②中，取，則，從而，
與前面類似的可知則存在，滿足，
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與假設(shè)矛盾；
若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；
即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，
然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項，
下面我們用反證法來證明，
否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，
在性質(zhì)②中，取，則，從而，
與前面類似的可知則存在，滿足，
即由②可知：，
若，則，與假設(shè)矛盾；
若，則，與假設(shè)矛盾；
若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；
綜上可知，假設(shè)不成立，則.
同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，
同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.
由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).
從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.
題型三：數(shù)列定義新概念
【典例3-1】（2024·廣西南寧·一模）若無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列，若數(shù)列同時滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)若數(shù)列為數(shù)列，，證明：當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是；
(2)若數(shù)列為數(shù)列，，記，且對任意的，都有，求數(shù)列的通項公式．
【解析】（1）先證必要性：
依題意得，，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，故，
故數(shù)列是，公差的等差數(shù)列，
故.
再證充分性：
由，得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
又，故，故數(shù)列是遞增數(shù)列.
（2）因為，由，知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
故數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，
依題意，可得，故當(dāng)時，有.
下面證明數(shù)列中相鄰兩項不可能同時為非負(fù)數(shù).
假設(shè)數(shù)列中存在同時為非負(fù)數(shù)，
因為，
若，則有，與條件矛盾；
若，則有，與條件矛盾；
即假設(shè)不存在，即對任意正整數(shù)中至少有一個小于0；
由，對成立，
故時，，，即，
故，
故，
即，即.
又，所以數(shù)列是，公差為1的等差數(shù)列，
所以.
【典例3-2】（2024·山東泰安·一模）已知各項均不為0的遞增數(shù)列的前項和為，且（，且）．
(1)求數(shù)列的前項和；
(2)定義首項為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”．證明：
①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；
②當(dāng)且時，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立．
【解析】（1）
，
各項均不為0且遞增，
，
，
，
，
化簡得，
，
，
，
，
，
為等差數(shù)列，
，
，
；
（2）①證明：設(shè)“G-數(shù)列”公比為，且，
由題意，只需證存在對且成立，
即成立，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
，
，
存在，使得對任意且成立，
經(jīng)檢驗，對任意且均成立，
對任意且，存在“G-數(shù)列”使得成立；
②由①知，若成立，則成立，
當(dāng)時，取得，取得，
由，得，
不存在，
當(dāng)且時，不存在“G-數(shù)列”使得對任意正整數(shù)成立．
【變式3-1】（2024·江西南昌·一模）對于各項均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分?jǐn)?shù)列”與的“2-比分?jǐn)?shù)列”是同一個數(shù)列.
(1)若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和；
(2)若是公差為2的等差數(shù)列，求.
【解析】（1）由題意知，
因為，且是公比為2的等比數(shù)列，所以，
因為，所以數(shù)列首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以；
（2）因為，且是公差為2的等差數(shù)列，所以，
所以，
所以，
所以，因為，
所以.
題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算
【典例4-1】（2024·江蘇徐州·一模）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列P：，定義變換，將數(shù)列P變換成數(shù)列：．對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義，定義變換，將數(shù)列Q各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列．
(1)若數(shù)列為2，4，3，7，求的值；
(2)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，令，．
（i）探究與的關(guān)系；
（ii）證明：．
【解析】（1）依題意，，，
.
（2）（i）記，
，
，
，
，所以.
（ii）設(shè)是每項均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，
當(dāng)存在，使得時，交換數(shù)列的第項與第項得到數(shù)列，
則，
當(dāng)存在，使得時，若記數(shù)列為，則，
因此，從而對于任意給定的數(shù)列，
由，，由（i）知，
所以.
【典例4-2】（2024·江西贛州·一模）設(shè)數(shù)列.如果對小于的每個正整數(shù)都有.則稱是數(shù)列的一個“時刻”.記是數(shù)列的所有“時刻”組成的集合，的元素個數(shù)記為.
(1)對數(shù)列，寫出的所有元素；
(2)數(shù)列滿足，若.求數(shù)列的種數(shù).
(3)證明：若數(shù)列滿足，則.
【解析】（1）由題設(shè)知當(dāng)時，，故是數(shù)列的一個“時刻”，
同理當(dāng)時，都有，即也是數(shù)列的一個“時刻”，
綜上，.
（2）解法一：
由，易知或
①當(dāng)時，必須從左往右排列，6可以是中任一個，共有5種情況
②當(dāng)時，若中的四個元素是由集合中的元素或或或引起的
【變式4-1】若由引起，即4，3，2，1從左往右排列，則5必須排在4的后面，共4種；
【變式4-2】若由引起，即5，3，2，1從左往右排列，則4必須排在3的后面，共3種
【變式4-3】若由引起，即從左往右排列，則3必須排在2的后面，共2種；
【變式4-4】若由引起，即從左往右排列，則2必須排在1的后面，共1種
綜上，符合的數(shù)列有15種
解法二：
因為數(shù)列，
由題意可知中的四個元素為中的四個，共有5種情況：
①當(dāng)時，數(shù)列共有1種情況；
②當(dāng)時，數(shù)列共有2種情況；
③當(dāng)時，數(shù)列共有3種情況；
④當(dāng)時，
數(shù)列共有4種情況；
⑤當(dāng)時，
數(shù)列，共有5種情況；
綜上，符合的數(shù)列有15種.
（3）①若，由，
所以，即成立；
②若，
不妨設(shè)且
從而
由累加法知：
又，即；
綜上，，證畢.
【變式4-5】（2024·高三·山東·開學(xué)考試）在無窮數(shù)列中，令，若，，則稱對前項之積是封閉的．
(1)試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是否是封閉的？
(2)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為．若對前項之積是封閉的，求出的兩個值；
(3)證明：對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．
【解析】（1）不是的，理由如下：
如等差數(shù)列，
所以不是任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是封閉的．
（2）是等比數(shù)列，其首項，公比，
所以，
所以，
由已知得，對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，
即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，
使得成立，
即對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，
①當(dāng)時，得，所以；
②當(dāng)時，得，
且，
綜上，或.
（3）對任意的無窮等比數(shù)列，，
令，，則，
下面證明：是對前項之積是封閉的．
因為，所以，
取正整數(shù)得，，
所以對前項之積是封閉的，
同理證明：也對前項之積是封閉的，
所以對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，
使得，其中和對前項之積都是封閉的．
【變式4-6】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)，若，且，，則將k的最大值記為，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知時，.
（i）求；
（ii）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：.
【解析】（1）依題可得表示所有不超過正整數(shù)m，且與m互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，
因為與2互質(zhì)的數(shù)為1，所以；
因為與3互質(zhì)的數(shù)為1，2，所以；
因為與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，所以.
（2）（i）因為中與互質(zhì)的正整數(shù)只有奇數(shù)，
所以中與互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)為，所以，
又因為中與互質(zhì)的正整數(shù)只有與兩個，
所以中與互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)為，
所以，所以，
（ii）解法一：因為，
所以，所以，
令，因為，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前n項和，
所以，
又因為，所以，
解法二：因為，所以，
又因為，
所以，
所以，
所以，所以
因為，所以，
題型五：數(shù)列定義新情景
【典例5-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足（，且，就稱該數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是項數(shù)為7的數(shù)列，且成等比數(shù)列，，試寫出的每一項；
(2)已知是項數(shù)為的數(shù)列，且構(gòu)成首項為100，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？
(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求這些數(shù)列的前2024項和.
【解析】（1）設(shè)的公比為，
則，解得，
當(dāng)時，數(shù)列為；
當(dāng)時，數(shù)列為；
綜上，數(shù)列為或.
（2）解法一：因為構(gòu)成首項為100，公差為的等差數(shù)列，
所以
，
又，所以當(dāng)或時，取得最大值.
解法二：當(dāng)該數(shù)列恰為或時取得最大值，
此時或，
所以當(dāng)或25時，.
（3）依題意，所有可能的“數(shù)列”是：
①；
②；
③
④
對于①，當(dāng)時，；
當(dāng)時，
；
對于②，當(dāng)時，；
當(dāng)時，
；
對于③，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
對于④，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
【典例5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）將平面直角坐標(biāo)系中的一列點、、、、，記為，設(shè)，其中為與軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為點列.
(1)判斷、、、、、是否為點列，并說明理由；
(2)若為點列，且任取其中連續(xù)三點、、，證明為鈍角三角形；
(3)若為點列，對于正整數(shù)、、，比較與的大小，并說明理由.
【解析】（1）為點列，理由如下：
由題意可知，，，所以，
，即，，
所以、、、、、為點列；
（2）由題意可知，，，所以，
因為為點列，所以，，
又因為，所以
所以對中連續(xù)三點、、，都有，
因為，，
因為，故與不共線，即、、不共線，
因為，
所以，，則為鈍角，
所以為鈍角三角形；
（3）由，
因為為點列，由知，，
所以，，，
，
兩邊分別相加可得，
所以，
所以，所以，
又，，
所以，，
所以
【變式5-1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的價值，數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的效果．現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項公式，，通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列進(jìn)行操作后得到，設(shè)前n項和為．
(1)求；
(2)是否存在不同的實數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；
(3)若，，對數(shù)列進(jìn)行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．
【解析】（1）由，知：當(dāng)時，；
當(dāng)時，故，，
則，；
（2）假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，，，
化簡得，∵，∴，
∴，∴，
與“，且，”矛盾，故不存在；
（3）由題意，，則，，，
所以保留，，則，，，
又，，，，，
將，刪去，得到，則，，
，，，
即：，，，
即：，，
記，下面證明：，
由，，，，
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
，
綜上，對任意的，都有，原命題得證．
題型六：差分?jǐn)?shù)列、對稱數(shù)列
【典例6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列……
(1)求的二階差數(shù)列；
(2)用含的式子表示的階差數(shù)列，并求其前項和．
【解析】（1）由差數(shù)列的定義，數(shù)列的一階差數(shù)列為
數(shù)列的二階差數(shù)列為的一階差數(shù)列，即
故數(shù)列的二階差數(shù)列為．
（2）通過找規(guī)律得，的階差數(shù)列為，下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)時，顯然成立；時，由（1）得結(jié)論也成立．
②假設(shè)該結(jié)論對時成立，嘗試證明其對時也成立．
由差數(shù)列的定義，的階差數(shù)列即的階差數(shù)列的一階差數(shù)列，即
故該結(jié)論對時也成立，證畢．
故的階差數(shù)列為．該數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故其前項和為
故的階差數(shù)列為，其前項和為.
【典例6-2】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若有窮數(shù)列，，…，（是正整數(shù)），滿足（，且），就稱該數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是項數(shù)為7的數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列，，，試寫出的每一項；
(2)已知是項數(shù)為（）的數(shù)列，且，，…，構(gòu)成首項為100，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？
(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求這些數(shù)列的前2024項和.
【解析】（1）因為，，，成等比數(shù)列，設(shè)公比為，又，，
所以，所以或，
當(dāng)時，則，，，，，；
當(dāng)時，則，，，，，；
所以該數(shù)列的項依次為，，，，，，或，，，，，，.
（2）因為構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
又，，，，，
所以，
又當(dāng)時，當(dāng)時，
所以當(dāng)或時取得最大值，且.
（3）因為，，，，成為數(shù)列中的連續(xù)項，且該對稱數(shù)列的項數(shù)不超過，
所以這樣的對稱數(shù)列有：
①，，，，，，，，，，（共項）；
②，，，，，，，，，，（共項）；
③，，，，，，，，，，，（共項）；
④，，，，，，，，，，，（共項）；
因為，
對于①，當(dāng)時；
當(dāng)時
，
所以；
對于②，當(dāng)時；
當(dāng)時
，
所以；
對于③，當(dāng)時；
當(dāng)時
，
所以；
對于④：當(dāng)時；
當(dāng)時
，
所以；
【變式6-1】（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．
(1)試求，，，的值；
(2)設(shè)n是一個正整數(shù)，p，q是兩個不同的素數(shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；
(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：
①準(zhǔn)備兩個不同的、足夠大的素數(shù)p，q；
②計算，歐拉函數(shù)；
③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；
④其中稱為公鑰，稱為私鑰．
已知計算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【解析】（1）由歐拉函數(shù)的定義知，不越過3且與3互素的正整數(shù)有1，2，則，
不越過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，
不越過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，
不越過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，
所以.
（2）在不大于的正整數(shù)中，只有3的倍數(shù)不與互素，而3的倍數(shù)有個，
因此.
由，是兩個不同的素數(shù)，得，
在不超過的正整數(shù)中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，
于是，
所以.
（3）計算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是，則，從而
由（2）得，，
即正整數(shù)滿足的條件為：，
，令，則，
令，則，
取，則，于是，
因此，即，
，
.
【變式6-2】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”；如果的二階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；
(2)設(shè)數(shù)列的通項公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請說明理由；
(3)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
【解析】（1）對于數(shù)列，
可得：一階差分?jǐn)?shù)列為，不滿足，
所以不是“絕對差異數(shù)列”，
二階分差數(shù)列為，滿足，
所以是“累差不變數(shù)列”；
（2）因為，
所以，所以，
因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
因為，
所以數(shù)列數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；
（3）由題意得，
對，都有，
所以，
所以，
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，則，
當(dāng)時，，與矛盾；
當(dāng)時，當(dāng)時，，
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，故，
，
則，
，
因為，所以，
所以，
則當(dāng)時，不等式恒成立，
另一方面，當(dāng)時，令，
則，
，
則
，
因為，
所以當(dāng)時，，
即有，與恒成立矛盾.
綜上所述，實數(shù)的最大值為.
題型七：非典型新定義數(shù)列
【典例7-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項為互不相等的正整數(shù)，前項和為，稱滿足條件“對任意的，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.
(1)試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，并給出證明；
(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前項和為.
①若，求數(shù)列的通項公式；
②若，且對任意給定的正整數(shù)，，有，，成等比數(shù)列，求證：.
【解析】（1）設(shè)，的前項和分別為，，
若，則，
所以，
而，
所以對任意的，成立，
即數(shù)列是“好”數(shù)列.
若，則，不妨取，，
則，，
此時，
故數(shù)列不是“好”數(shù)列.
（2）因為數(shù)列為“好”數(shù)列，取，
則，即，
當(dāng)時，有，
兩式相減，得，
即，
所以，
所以，
即，即，
對于，
當(dāng)時，有，即，
所以，對任意的，恒成立，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列的公差為，因為數(shù)列的各項為互不相等的正整數(shù)，所以，
① 若，則，即，
又，所以，，所以.
② 若，則，
由，，，成等比數(shù)列，得，所以，
化簡得，即.
因為是任意給定的正整數(shù)，所以要使，則，
不妨設(shè)，由于是任意給定的正整數(shù)，
所以.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：
①；②.
(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；
(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項（，用表示）；
(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.
若，則由①得，得，
由②得或.
若，由①得，，得，不可能.
綜上所述，.
或.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
，
即，
當(dāng)時，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，
當(dāng)時，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，
，
，即，
由得，即，
.
當(dāng)時，同理可得，
即.
由得，即，
.
綜上所述，當(dāng)時，，當(dāng)時，.
（3）記中非負(fù)項和為，負(fù)項和為，則，
得，，，即.
若存在，使，由前面的證明過程知：
，，，，，，，，且.
若數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”，
記數(shù)列的前項和為，則.
，
又，，
.
又，
，，，，
，
又與不能同時成立，
數(shù)列不為階“曼德拉數(shù)列”.
【變式7-1】（2024·湖南長沙·一模）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期.若周期數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”.
(1)判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列.如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；
(2)若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值.
【解析】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：
因為，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）.
因為，
所以.
所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）.
（2）當(dāng)是奇數(shù)時，首先證明不存在數(shù)列滿足條件.
假設(shè)，即對于，都有.
因為，
所以，
即，及.
又時，，
所以，與的最小值是矛盾.
其次證明存在數(shù)列滿足條件.
取
及，
對于，都有.
當(dāng)是偶數(shù)時，首先證明時不存在數(shù)列滿足條件.
假設(shè)，即對于，都有.
因為，
所以，
即，及.
又時，，
所以，與的最小值是矛盾.
其次證明時存在數(shù)列滿足條件.
取
及
對于，都有.
綜上，當(dāng)是奇數(shù)時，的最大值為；
當(dāng)是偶數(shù)時，的最大值為.
【過關(guān)測試】
1．（2024·天津和平·一模）若數(shù)列滿足，其中，則稱數(shù)列為M數(shù)列.
(1)已知數(shù)列為M數(shù)列，當(dāng)時.
（?。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)n.使得.
【解析】（1）（?。┯?，可得，
所以數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，
所以，
又因為，所以.
（ⅱ），
設(shè)，，
，，
所以，
.
（2）若是M數(shù)列，有，
故，且，
即
，
則
，
由隨的增大而增大，
若，可得，
因為，故對任意的，總存在正整數(shù)使，
即總存在正整數(shù)n，使得.
2．（2024·黑龍江·二模）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．
(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；
(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．
【解析】（1）易知當(dāng)時，可得，即；
而當(dāng)時，，可得；
此時，不滿足“型數(shù)列”定義，
猜想：數(shù)列不是“型數(shù)列”，
證明如下：
由可得，當(dāng)時，，
兩式相減可得，可得，
此時從第二項起，每一項與它前一項的比為，因此不是“型數(shù)列”；
（2）設(shè)數(shù)列的公比為，易知，
又因為數(shù)列不是“型數(shù)列”，可得
可得，即得；
又?jǐn)?shù)列為“型數(shù)列”，可得；
易知“型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當(dāng)趨近于正無窮大時，趨近于，即可得；
綜上可得，即，可得；
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列；
即可得，可得；
所以數(shù)列的通項公式為.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．
(1)求和（用表示）；
(2)令，證明：；
(3)若，證明：對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
【解析】（1）因為，所以；
因為，所以；
（2）由數(shù)列定義得：；所以．
而，
所以；
（3）當(dāng)，由（2）可知，無上界，故對任意，存在，使得．
設(shè)是滿足的最小正整數(shù)．下面證明．
①若是偶數(shù)，設(shè)，
則，于是．
因為，所以．
②若是奇數(shù)，設(shè)，
則．
所以．
綜上所述，對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
4．（2024·天津·一模）若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”.
(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；
(2)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時，
（i）求數(shù)列的通項公式；
（ii）求證：.
【解析】（1），令，則，
令，則；由①，
當(dāng)時，②，
由①②得，當(dāng)時，，
所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列.
因為，所以，
所以，因此，
從而，所以數(shù)列是“型數(shù)列”.
（2）（i）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，
所以，所以，因此數(shù)列遞增.又，
所以，因此遞增，
所以公比.又不是“型數(shù)列”，所以存在，
使得，所以，又公比為正整數(shù)，
所以，又，所以，則.
（ii），
因為，所以，
所以，令，當(dāng)時，，
當(dāng)時，
5．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把點稱為自然點.按如圖所示的規(guī)則，將每個自然點進(jìn)行賦值記為，例如，.

(1)求;
(2)求證:;
(3)如果滿足方程，求的值.
【解析】（1）根據(jù)圖形可知.
（2）固定，則為一個高階等差數(shù)列，且滿足
所以
，
所以，，所以
.
（3），
等價于，
等價于，
即，
化簡得，
由于增大，也增大，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故當(dāng)時，，即
6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：
①；
②對于，使得的正整數(shù)對有個.
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.
【解析】（1）由題意得，則或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.
（2）當(dāng)時，因為存在的6增數(shù)列，
所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且，
若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，
所以，不符合題意，所以
若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，符合的6增數(shù)列.
所以，當(dāng)時，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7.
7．（2024·河南鄭州·二模）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.
【解析】（1）由題意得，
且對于，使得的正整數(shù)對有1個，
由于或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.
（2）當(dāng)時，存在m的6增數(shù)列，
即，且對于，使得的正整數(shù)對有6個，
所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且.
若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，
所以，不符合題意，所以.
若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，
此時數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對分別為，
符合m的6增數(shù)列，
所以當(dāng)時，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.
（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，
若，所以數(shù)列中存在大于1的項，
若首項，將拆分成個1后k變大，
所以此時k不是最大值，所以.
當(dāng)時，若，交換，的順序后k變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，所以.
若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項1，所以k的值變大，
所以此時k不是最大值，所以.
若數(shù)列中存在相鄰的兩項，，設(shè)此時中有x項為2，
將改為2，并在數(shù)列首位前添加個1后，k的值至少變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，
所以數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
設(shè)其中有x項為1，有y項為2，
因為存在100的k增數(shù)列，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，k取最大值為1250.
8．（2024·安徽黃山·一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．
(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？
(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
【解析】（1）因為，所以，
因為，，，
故，，
顯然，
所以不是等差數(shù)列；
因為，則，，
所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.
（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
所以，故，
所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，
所以，
且對任意的，都存在，使得，即，
所以，因為，所以，
①若，則，解得（舍），或，
即當(dāng)時，對任意的，都存在，使得.
②若，則，對任意的，不存在，使得.
綜上所述，.
（3）因為為常數(shù)列，則是等差數(shù)列，
設(shè)的公差為，則，
若，則，與題意不符；
若，所以當(dāng)時，，
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，所以，
由等差數(shù)列前項和公式可得，
所以，
因為，
所以，
因為，故，
所以
則當(dāng)時，不等式恒成立，
另一方面，當(dāng)時，令，，，
則，，
則
，
因為，，
當(dāng)時，，
即，不滿足不等式恒成立，
綜上，的最大值為2.
9．（2024·北京門頭溝·一模）已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，．記的前項和分別為，規(guī)定．記，且，，且
(1)若，，寫出；
(2)若，寫出所有滿足條件的數(shù)列，并說明理由；
(3)若，且．證明：，使得．
【解析】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）由，所以，，所以對于，有，則，所以.
當(dāng)，由得，又，所以不符合題意，舍去；
當(dāng)，由得，又，所以，
經(jīng)檢驗不符合題意，舍去, 或符合題意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因為，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
，使得．
10．（2024·河南·一模）在正項無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．
(1)若為1階等比數(shù)列，，求的通項公式及前項和；
(2)若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；
(3)若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．
【解析】（1）
因為為1階等比數(shù)列，所以為正項等比數(shù)列，
設(shè)公比為，則為正數(shù)，
由已知得
兩式相除得，所以（舍去），所以，
所以的通項公式為，
前項和為；
（2）因為為階等比數(shù)列，
所以，使得成立，
所以，
又，
所以，
即成立，
所以為階等差數(shù)列；
（3）因為既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，
所以與同時成立，
所以與同時成立，
又的各項均為正數(shù)，所以對任意的，
數(shù)列和數(shù)列都是等比數(shù)列，
由數(shù)列是等比數(shù)列，
得也成等比數(shù)列，
設(shè)，
所以，所以是等比數(shù)列．
11．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項公式；
(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項公式；
(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.
【解析】（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；
若，則，得，
而，解得或，
故或.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，則，則，
由，得，
而，故，
兩式相減得，即，
又，得，
所以.
（3）記中所有非負(fù)項之和為，負(fù)項之和為，
因為數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，則得，
故，所以.
若存在，使得，即，
則，
且.
假設(shè)數(shù)列也為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，
則
因為，所以.
所以；
又，則.
所以；
即與不能同時成立.
故數(shù)列不為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
12．（2024·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根在的附近，如圖所示，然后在點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標(biāo)就是，用代替重復(fù)上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會越來越逼近．于是，求近似解的過程轉(zhuǎn)化為求，若設(shè)精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位）；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
曲線在處的切線為，且
曲線在處的切線為，且
故，用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解為．
（2）由，得，
設(shè)，
則
∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，由于時，，不合題意；
當(dāng)時，則有，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，
即，即
易知單調(diào)遞增，且，故.
13．（2024·高二·廣東·階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學(xué)習(xí)過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法——“牛頓切線法”.
(1)證明：有唯一零點，且；
(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實施如下步驟：
在處作曲線的切線，交軸于點；
在處作曲線的切線，交軸于點；
……
在處作曲線的切線，交軸于點；
可以得到一個數(shù)列，它的各項都是不同程度的零點近似值.
（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
【解析】（1）證明：，定義域為，
所以，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點，且.
（2）（i）由（1）知，
所以，曲線在處的切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即
令得
所以，切線與軸的交點，即，
所以，.
(ii)對任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：
，故令，
令
所以，，
所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時，，
（若，則，故任意，顯然矛盾）
因為是的零點，
所以
因為為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，對任意的時，總有
又因為，
所以，對于任意，均有，
所以，
所以，
綜上，當(dāng)，總有
14．（2024·高三·山西呂梁·階段練習(xí)）三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)的圖象恰如其形，因而得名三叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞減.
【解析】（1）由題意可知，
解得，，
故（）.
（2）證明：，，且，則
.
由，且，
得，，，
所以，，
所以，
則，即.
故在上單調(diào)遞減.
15．（2024·河南信陽·一模）定義：已知數(shù)列滿足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列為正項數(shù)列，證明：不存在實數(shù)A，使得．
【解析】（1）依題意，，顯然；
故；
，
即或，則或．
（2），
對恒成立，
.
，
，
① 時,
當(dāng) , 且時,.
的集合為且
② 時,
，
，
，
當(dāng), 且時, .
的集合為且
③且時, 的集合為
（3），；
設(shè)，
①若，則，，
對任意，?。╗x]表示不超過x的最大整數(shù)），
當(dāng)時，；
②若，
?。┤鬝為有限集，設(shè)，，
對任意，?。╗x]表示不超過x的最大整數(shù)），
當(dāng)時，；
ⅱ）若S為無限集，設(shè)，，
若，則，又，矛盾；
故；
記；
當(dāng)時，，，；
因為，所以；
當(dāng)時，，，
因為，故；
因為，故，
故對任意，取，當(dāng)時，；
綜上所述，不存在實數(shù)A，使得．
綜上所述，不存在實數(shù)A，使得對任意的正整數(shù)n，都有．
16．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；記，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，…，一般地，對于，記，規(guī)定：，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列．對于數(shù)列，如果（為常數(shù)），則稱數(shù)列為階等差數(shù)列．
(1)數(shù)列是否為階等差數(shù)列，如果是，求值，如果不是，請說明為什么？
(2)請用表示，并歸納出表示的正確結(jié)論（不要求證明）；
(3)請你用（2）歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列為階等差數(shù)列，則其前項和為；
(4)某同學(xué)用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，巧合用了2024個球．第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，問：這位同學(xué)共堆積了多少層？
【解析】（1）因為，
而，
所以，數(shù)列是二階等差數(shù)列．
（2）因為數(shù)列為階等差數(shù)列，則，
則，
則，
，
．
歸納得一般結(jié)論：①．
（3）設(shè)數(shù)列：，因為，
所以數(shù)列為階等差數(shù)列，
由（2）中①得：，因為
所以．
（4）由（1）知數(shù)列為二階等差數(shù)列，
且，
則由（3）得：
②．
設(shè)共堆積了層，第層共有個球，第1層有1個球，因為每層的“邊”比上一層多1個球，所以第層的“邊”共有個球，則第層的球數(shù)為．
則這層所有球的個數(shù)為．
【法一】由②式得：
．
解得：．
答：這位同學(xué)共堆積了22層．
【法二】
．
解得：．
答：這位同學(xué)共堆積了22層．
17．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，
【解析】（1）
（2）
，
（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.
或
或
∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且
或有兩個不等的正根.
可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個不等正根，設(shè).
① 當(dāng)時，，即，此時，，滿足題意.
② 當(dāng)時，，即，此時，，此情況有兩個不等負(fù)根，不滿足題意舍去.
綜上，
18．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記
集合．
（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；
（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．
【解析】（Ⅰ）若，由于，2，，．
故集合的所有元素為6，12，24，
；
（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，2，，可歸納證明對任意，是3的倍數(shù)．
如果，的所有元素都是3的倍數(shù)；
如果，因為，或，所以是3的倍數(shù)；于是是3的倍數(shù)；
類似可得，，，都是3的倍數(shù)；
從而對任意，是3的倍數(shù)；
綜上，若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，則集合的所有元素都是3的倍數(shù)
（Ⅲ）對，，2，，可歸納證明對任意，，3，
因為是正整數(shù)，，所以是2的倍數(shù)．
從而當(dāng)時，是2的倍數(shù)．
如果是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)，是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)時，，24，，這時的元素個數(shù)不超過5．
如果不是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)，不是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)時，，8，16，20，28，，這時的元素個數(shù)不超過8．
當(dāng)時，，2，4，8，16，20，28，，有8個元素．
綜上可知，集合的元素個數(shù)的最大值為8．
19．（2013·北京·高考真題）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為，第n項之后各項，…的最小值記為，.
(1)若為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出的值；
(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：(n=1,2,3…)的充分必要條件為為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若，(n=1,2,3…)，則的項只能是1或2，且有無窮多項為1.
【解析】（1）依題意，，則，，則，，則，，則，
所以，.
（2）充分性：因為是公差為的等差數(shù)列，且，則，
因此，，
必要性：因為，則，又因為，所以，
于是，
因此，，即是公差為的等差數(shù)列，
所以(n=1,2,3…)的充分必要條件為為公差為d的等差數(shù)列.
（3）因為，(n=1,2,3…)，則，，即對任意，，
假設(shè)中存在大于2的項，
設(shè)m為滿足的最小正整數(shù)，則，并且對任意，
又因為，則有，且，
于是，
因此，與矛盾，
從而對于任意，都有，即非負(fù)整數(shù)數(shù)列的各項只能為1或2，
因為對任意，，于是，，
假定是無窮數(shù)列中最后一個1，則，而，于是，矛盾，
所以數(shù)列有無窮多項為1.
20．（2024·高三·北京西城·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足：存在和，使得對任意和，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；如果數(shù)列滿足：存在，使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；
(1)在下列情況下，分別判斷是否“數(shù)列”，是否“數(shù)列”？①，，；②，；
(2)若數(shù)列，是“數(shù)列”，其中且，求的所有可能值；
(3)設(shè)“數(shù)列”和“數(shù)列”的各項均為正數(shù)，定義分段函數(shù)，如下：記為“不超過的最大正整數(shù)”，證明：若是周期函數(shù)，則是“數(shù)列”.
【解析】（1）對于①，，，，
則數(shù)列的各項分別為：、、、、、、，
所以，，且，
故數(shù)列是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”；
對于②，，，
則數(shù)列的各項分別為：、、、、、，
當(dāng)時，，此時，數(shù)列是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”.
（2）①若，則且，合題意.
③若，則且.
因為，所以數(shù)列的符號正負(fù)交替變化.不合題意.
④若，
首先，數(shù)列中不可能出現(xiàn)連續(xù)兩項為.
（否則前一項為，依此類推，之前各項均為，不合條件）
假設(shè)是“數(shù)列”，則存在，對任意，都有或都有.
若都有，則，，出現(xiàn)矛盾；
若都有，則，，也出現(xiàn)矛盾；
故不是“數(shù)列”.
綜上，.
（3）設(shè)的周期為（注意，不能確定，感覺是對的，似乎很難證.）
由題，存在和，對任意和，有，單調(diào)不減.
假設(shè)不是“數(shù)列”，則存在，使得.
以下推導(dǎo)矛盾：
對任意，數(shù)列是周期數(shù)列，必有最大值，設(shè)是最大值，其中.
一方面，因為的周期為，所以存在，使得.
另一方面，，與矛盾.
所以假設(shè)不成立，即對任意，都有為常數(shù)列.
所以是“數(shù)列”.

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