（一）數列新定義問題的特點及求解策略
1.新定義試題通過新定義一個數學對象或數學運算,以此為基礎為學生搭建思維平臺,設置試題.該題型形式新穎,考查功能顯著,主要表現在四個方面：通過新定義創(chuàng)設數學新語境和話語體系；通過新情境搭建試題框架,創(chuàng)設解題條件；通過新設問設置思維梯度,逐步深入,準確區(qū)分不同層次的學生；通過解題過程展現學生數學思維和探究過程,實現對分析、推理、判斷、論述等關鍵能力的考查.
2.通過給出一個新的定義,或約定一種新的運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景,要求在閱讀理解的基礎上,依據題目提供的信息,聯系所學的知識和方法,實心信息的遷移,達到靈活解題的目的.
3.遇到數列新定義問題,應耐心讀題,分析新定義的特點,弄清新定義的性質,按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、運算、驗證,使得問題得以解決.
4. 類比“熟悉數列"的研究方式,用特殊化的方法研究新數列,向“熟悉數列"的性質靠.
【例1】（2025屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三7月新起點摸底）若有窮數列滿足：且,則稱其為“階數列”.
(1)若“6階數列”為等比數列,寫出該數列的各項；
(2)若某“階數列”為等差數列,求該數列的通項（,用表示）；
(3)記“階數列”的前項和為,若存在,使,試問：數列能否為“階數列”？若能,求出所有這樣的數列；若不能,請說明理由.
【解析】（1）設成公比為的等比數列,顯然,
則有,得,解得,
由,得,解得,
所以數列或為所求；
（2）設等差數列的公差為,
,
,即,當時,矛盾,
當時,,
,即,由得,即,
,
當時,同理可得,即,
由得,即,
,
綜上所述,當時,,
當時,；
（3）記中非負項和為A,負項和為,則,
得,即,
若存在,使,可知：
,且,
時,時,
,
又與不能同時成立,
數列不為“階數列”.
【例2】（2025屆江西省重點中學盟校高三7月聯考）已知數列,記集合.
(1)對于數列,寫出集合；
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一組符合條件的,若不存在,說明理由；
(3)若,把集合中的元素從小到大排列,得到的新數列為,若,求的最大值.
【解析】（1）因為數列,
所以,,,
所以
（2）假設存在,使得,則有
,
由于與奇偶性相同,所以與奇偶性不同,
又因為,,所以中必有大于等于3的奇數因子
這與無1以外的奇數因子矛盾,故不存在,使得；
（3）由題意得,
當,時,,
除,外,,,
其中與一奇一偶,則能拆成奇數與偶數之乘積,
在正偶數中,只有無法拆成一個大于2的奇數與一個不小于2的偶數之乘積,
又中的元素均為偶數,故,
故2至2024偶數中除去4,8,16,32,64,128,256,512,1024,
所以,故的最大值為．
（二）定義一類新數列
此類問題,通常把滿足某些條件的數列定義為一類新數列,然后利用這些條件求解所給問題.
【例3】（2024屆新疆部分學校高三4月二模）我們把滿足下列條件的數列稱為數列：
①數列的每一項都是正偶數；
②存在正奇數m,使得數列的每一項除以m所得的商都不是正偶數．
(1)若a,b,c是公差為2的等差數列,求證：a,b,c不是數列；
(2)若數列滿足對任意正整數p,q,恒有,且,判斷數列是否是數列,并證明你的結論；
(3)已知各項均為正數的數列共有100項,且對任意,恒有,若數列為數列,求滿足條件的所有兩位數k值的和．
【解析】（1）若 a,b,c 是 數列, 則 a,b,c 都是正偶數,
設 ,則
若 , 則 除以 3 為 , 是正偶數, 與題中條件 (2) 矛盾,
若 , 則 除以 3 為 , 是正偶數, 與題中條件 (2) 矛盾,
若 , 則 除以 3 為 , 是正偶數, 與題中條件 (2) 矛盾,
所以 a,b,c 不是 數列.
（2）在 中, 令 , 得 ,
所以數列 是首項為 8 , 公比為 8 的等比數列, 所以 ,
因為 是正偶數, 所以數列 的每一項都滿足題中條件 (1),
因為, 能被 7 整除,
所以 除以 7 的余數為 1 , 即數列 的每一項被 7 除余 1 , 一定不是正整數,
所以一定不是正偶數, 即數列 的每一項都滿足題中條件(2),
所以數列 是 數列.
（3）因為
,
所以 ,
,
得 .
因為 , 所以 ,
,
得 .
因為 , 所以 .
在 中,
分別令 , 得 ,
所以數列 是首項為 , 公差為 的等差數列, 所以 .
若數列 是 數列,
則 是正偶數, 除以 111 所得的商都不是正偶數,
因為 , 且 ,
所以當 為 3 或 37 的正偶數倍時, 數列 不是 數列,
所以滿足條件的所有兩位數 值的和為
.
【例4】（2024屆江蘇省江陰市成化高級中學高三下學期調研）如果一個數列從第二項起,每一項與它前一項的比都大于3,則稱這個數列為“型數列”.
(1)若數列滿足,判斷是否為“型數列”,并說明理由；
(2)已知正項數列為“型數列”,,數列滿足,n∈N*,是等比數列,公比為正整數,且不是“型數列”,
①求證：數列為遞增數列；
②求數列的通項公式.
【解析】（1）
不滿足“型數列”定義,數列不是“型數列”；
（2）①∵正項數列為“型數列”,
∴數列為遞增數列
②設數列的公比為,,又因為數列不是“型數列”,可得
可得,即得；
又數列為“型數列”,可得；
由①知為遞增數列,因此當趨近于正無窮大時,趨近于,即可得；
綜上可得,即,可得；
所以數列是以為首項,公比為的等比數列；
即可得,可得；所以數列的通項公式為.
（三）定義一個新運算
此類問題一般是定義一個臨時的運算法則,然后按照這個運算法則去求解,求解的關鍵是理解所給的運算法則,然后“按章辦事”.
【例5】(2024屆天津市濱海高考模擬檢測)已知等差數列的前項和為,,S9=63,數列是公比大于1的等比數列,且,．
(1)求,的通項公式；
(2)數列,的所有項按照“當為奇數時,放在的前面；當為偶數時,放在的前面”的要求進行“交叉排列”,得到一個新數列：,,,,,,,…,求數列的前7項和及前4n+3項和T4n+3；
(3)是否存在數列,滿足等式成立,若存在,求出數列的通項公式,若不存在,請說明理由．
【解析】（1）設等差數列an的公差為,,S9=63
可知,所以a5=7．
又,所以數列an的公差,所以,
設等比數列bn的公比為,,．
所以,．得到,聯立得
解得或（舍去）,代入中,解得
得數列bn的通項公式為．
（2）由題意
=4n+1+2n2+9n+5
（3）由已知得①
當時,②,
①②兩式相減得：,
當時,也符合③
所以,對于都成立．
又當時④成立
③④兩式相減得：,經檢驗也符合故存在．
（四）定義數列的新性質
此類問題,通常是總結出數列的一個性質,然后判斷所給數列是否具有此性質,或根據數列的該性質去求解或驗證某些結論.
【例6】如果無窮數列滿足“對任意正整數,都存在正整數,使得”,則稱數列具有“性質”.
(1)若等比數列的前項和為,且公比,求證：數列具有“性質”；
(2)若等差數列的首項,公差,求證：數列具有“性質”,當且僅當；
(3)如果各項均為正整數的無窮等比數列具有“性質”,且四個數中恰有兩個出現在數列中,求的所有可能取值之和.
【解析】（1）
解得：則即
且若則
則當對任意正整數,都存在正整數使得
則等比數列an滿足性質.
（2）因為數列bn具有“性質”,
則
若數列具有性質則,
則,
又則
則,
,
則,
又則當時上式成立,
當時.,
則
因為則時,則則則則
反之,若則則上面各式成立,則數列bn具有“性質”
綜上數列bn具有“性質”,當且僅當.
（3）從這四個數中任選兩個,共有以下6種情況：,；,；
,; ,; ,; ,.
①對于, 因為為正整數,可以認為an是等比數列中的項,,首項的最小值為1.
下面說明此數列具有性質P：
=,=,任取,,則,
為正整數,因此此數列具有性質P,
②對于,.因為為正整數,認為是等比數列an中的項,,
首項的最小值為,下面說明此數列不具有性質P：
,,若不為等比數列an中的項,
因此此數列不具有性質P,同理可得,；,；,；,
每組所在等比數列an不具有“性質P’’
（五）定義一個新情景
此類問題通過創(chuàng)設數學新語境和話語體系,通過新情境搭建試題框架.
【例7】（2025屆湖北省武漢市硚口區(qū)部分高中高三起點考試）定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和,形成新的數列,我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”,例如：數列經過第一次“和擴充”后得到數列；第二次“和擴充”后得到數列.設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為,所有項的和為.
(1)若,求；
(2)若,求正整數的最小值；
(3)是否存在數列,使得數列為等比數列？請說明理由.
【解析】（1）,第一次“和擴充”后得到數列,
第二次“和擴充”后得到數列,
,；
（2）數列經每一次“和擴充”后是在原數列的相鄰兩項中增加一項,
數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為,
則經第次“和擴充”后增加的項數為,
所以,所以,
其中數列經過1次“和擴充”后,得到,
故,故是首項為4,公比為2的等比數列,
所以,故,則,即,
又,解得,最小值為10；
（3）因為,
,依次類推,,
故
,
若使為等比數列,則或.
（六）具有高等數學背景的數列新定義
數列的極限、收斂性及子數列等具有高等數學背景的數列問題,常出現在高中模擬試卷中.
【例8】（湖北省宜荊荊高三下學期適應性考試）龍泉游泳館為給顧客更好的體驗,推出了A和B兩個套餐服務,顧客可選擇A和B兩個套餐之一,并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動,下表是該游泳館在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．
經計算可得：.
(1)因為優(yōu)惠券購買火爆,App平臺在第10天時系統(tǒng)出現異常,導致當天顧客購買優(yōu)惠券數量大幅減少,已知銷售量y和日期t呈線性關系,現剔除第10天數據,求y關于t的經驗回歸方程結果中的數值用分數表示；
(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為,選擇B套餐的概率為,并且A套餐可以用一張優(yōu)惠券,B套餐可以用兩張優(yōu)惠券,記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為,求；
(3)記（2）中所得概率的值構成數列.
①求的最值；
②數列收斂的定義：已知數列,若對于任意給定的正數,總存在正整數,使得當時,,（是一個確定的實數）,則稱數列收斂于.根據數列收斂的定義證明數列收斂．
參考公式： .
【解析】（1）解：剔除第10天的數據,可得,
,
則,
所以,
可得,所以.
（2）解：由題意知,其中,
所以,又由,
所以是首項為1的常數列,所以
所以,又因為,
所以數列是首項為,公比為的等比數列,
故,所以.
（3）解：①當為偶數時,單調遞減,
最大值為；
當 為奇數時,單調遞增,最小值為,
綜上可得,數列的最大值為,最小值為.
②證明：對任意總存在正整數,其中 表示取整函數,
當 時,,所以數列收斂.
（七）集合背景中的數列新定義問題
不少數列問題,常使用集合語言進行“包裝”,求解此類問題的關鍵是把問題還原為數列問題.
【例9】已知數集（）,若對任意的（）,與兩數中至少有一個屬于A,則稱數集A具有性質P．
(1)分別判斷數集B=與數集C=是否具有性質,并說明理由；
(2)若數集A具有性質P．
①當時,證明,且成等比數列；
②證明：．
【解析】（1）數集具有性質,不具有性質,理由如下：
因為,,,,,都屬于數集,所以具有性質；
因為,都不屬于數集,所以不具有性質．
（2）①當時,,．
因為,所以,,所以與都不屬于A,
因此,,所以．
因為,且,所以,
且,所以,所以成等比數列．
②因為具有性質,所以,至少有一個屬于A,
因為,所以,,因此,．
因為,所以（）,
故當時,,,（）,
又因為,
則,,,,,
可得,
所以.
【例10】（2024屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期二模）集合論在離散數學中有著非常重要的地位.對于非空集合和,定義和集,用符號表示和集內的元素個數.
(1)已知集合,,,若,求的值；
(2)記集合,,,為Cn中所有元素之和,,求證：；
(3)若與都是由個整數構成的集合,且,證明：若按一定順序排列,集合與中的元素是兩個公差相等的等差數列.
【解析】（1）由題：,
所以,,且,
從而,,,故.
（2）若,,,,使,其中,,,,
則,故,.
,
,
.
（3）設集合,,其中,.
則,
這里共個不同元素,又,所以上面為和集中的所有元素.
又,
這里共個不同元素,也為合集中的所有元素,
所以有,即.
一般地,由,
,
可得,即.
同理可得,得證.
【例1】（2025屆廣西“飛天”校際高三上學期7月考試）數列是正項遞增數列,由數列中所有項構成集合A,它的任意一個子集記為,定義集合B是每一個子集中的所有數之和（即分別寫出1個數,2個數,……n個數之和）.
(1)若,寫出,以及集合B；
(2),將集合B中的元素分成n組,要求每組中最大項與最小項之比不超過2,證明一個符合題意的分組；
(3),將集合B中的元素分成n組,要求與（2）相同,證明存在這個分組.
【解析】（1）或或,,；
（2）不難發(fā)現共有個數,
不妨讓最大數與最小數之比,
可以分為1,2,,,……,,
假設分為n組,這樣最后一個數是第個,
只需證明,
令,只需,
,（其中是的導數）,
所以,
所以,即不必分至n組即可將個數全部分完,
在已經分好的組中再多分幾組,均可滿足題意,
僅一組中還可再分組,顯然成立,
故可分至n組,故該分組符合題意；
（3）要證,其中,s是某些數之和,
只需證明,假設,從而,使得,
所以,
所以,故存在這樣的分組.
【例2】（2024屆甘肅省蘭州第一中學高三下學期測試）信息論之父香農（Shannn）在1948年發(fā)表的論文“通信的數學理論”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小與信息中每個符號（數字、字母或單詞）的出現概率或者說不確定性有關,香農借鑒了熱力學的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”,并給出了計算信息熵的數學表達式．設隨機變量X所有取值為,且,定義的信息熵
(1)當時,求的值；
(2)當時,若,探究與的關系,并說明理由；
(3)若,求此時的信息摘．
【解析】（1）若,則,因此.
（2）與正相關,理由如下：
當時, ,則,
令,則,其中,所以
則,
所以函數在上單調遞增,所以與正相關.
（3）因為,所以,
故,而,
于是,
整理得,
令,則,
兩式相減得,
因此,,所以.
【例3】（2024屆安徽省蕪湖市第一中學高三最后一卷）對于數列,如果存在正整數,當任意正整數時均有,則稱為的“項遞增相伴數列”．若可取任意的正整數,則稱為的“無限遞增相伴數列”．
(1)已知,請寫出一個數列的“無限遞增相伴數列”,并說明理由？
(2)若滿足,其中是首項的等差數列,當為的“無限遞增相伴數列”時,求的通項公式：
(3)已知等差數列和正整數等比數列滿足：,其中k是正整數,求證：存在正整數k,使得為的“2024項遞增相伴數列”．
【解析】（1）由于,我們可以取,此時恒有,
再由,當時,,
所以恒有,即滿足題意.
（2）
設,
當為的“無限遞增相伴數列”時對任意恒成立
,當時,,因為,所以,即.
（3）證明：取,若存在這樣的正整數k使得
成立,
所以,
由,得,
于是,
又因為,所以當時,,
而時,,
所以,最后說明存在正整數k使得,
由,
上式對于充分大的k成立,即總存在滿足條件的正整數k
【例4】（2024屆福建省泉州第一中學高三下學期適應性測試）已知有窮正項數列,若將每個項依次圍成一圈,滿足每一項的平方等于相鄰兩項平方的乘積,則稱該數列可圍成一個“HL-Circle”．例如：數列都可圍成“HL-Circle”．
(1)設,當時,是否存在使該數列可圍成“HL-Circle”,并說明理由：
(2)若的各項不全相等,且可圍成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求證：．
【解析】（1）由定義可得,而為正項數列,故,
故,
由最后兩式可得,故,故且,
結合可得即,故,故.
故存在,使得數列可圍成“HL-Circle”,此時數列為：.
（2）（i）若的各項不全相等,且可圍成“HL-Circle”．
則由,
結合為正項數列可得,
諸式相乘后可得,
又上述關系式即為(若下標大于,則取下標除以的余數).
故,
故(若下標大于,則取下標除以的余數).
所以(若下標大于,則取下標除以的余數).
設,
若,則即為,故,從而,,
而,故,故,故,從而,
此時均為1,與題設矛盾.若,則即為,而,
,故,此時均為1,與題設矛盾.
若,則即為,而,所以,故,
從而,而,故,故,
此時均為1,與題設矛盾.若,則即為,而,所以,
而,故,故,故,
故,故,故,此時均為1,與題設矛盾.
若,則,故,
故,故,故,故,故,
此時均為1,與題設矛盾.綜上,.
（ii）由均值不等式得,
由上面三組數內必有一組不相等,否則,
從而與題設矛盾,故等號不成立,從而,
又,由④和⑥得
因此由⑤得：
．
故原式得證.
【例5】（2024屆重慶市開州中學高三下學期高考模擬）設有窮數列的項數為,若正整數滿足：,則稱為數列的“點”．
(1)若,求數列的“點”；
(2)已知有窮等比數列的公比為,前項和為．若數列存在“點”,求正數的取值范圍；
(3)若,數列的“點”的個數為,證明：．
【解析】（1）因為所以,
所以數列 an 的 “ 點” 為 3,5 ,
（2）依題意,,因為數列存在 “點”,
所以存在 ,使得 ,
所以,即.
因為,所以,所以,
又隨的增大而增大,所以當時,取最大值,
所以,又,所以.當時,有,
所以數列存在 “點”,所以的取值范圍為,
（3）①若,則數列an不存在 “點”,即.
由得,,所以,
②若存在,使得. 下證數列an有 “點”.
證明: 若a2

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