題型一：二項(xiàng)式定理新定義
題型二：排列組合新定義
題型三：概率新定義
題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義
題型五：信息熵問(wèn)題
【方法技巧與總結(jié)】
解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問(wèn)題．總之，解決此類問(wèn)題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的實(shí)踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．
【典型例題】
題型一：二項(xiàng)式定理新定義
【典例1-1】（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)
(1)求；
(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；
(3)若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．
【典例1-2】（2024·安徽合肥·一模）“數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對(duì)任意，
(1)計(jì)算：；
(2)證明：對(duì)于任意，
(3)證明：對(duì)于任意，
【變式1-1】（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對(duì)象，設(shè)棱長(zhǎng)為，若甲從其中一個(gè)底面邊長(zhǎng)和高都為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，定義隨機(jī)變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲蝗舯麖恼庵?條棱中任取2條，定義隨機(jī)變量的值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）.
(1)比較三種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望大?。唬▍⒖紨?shù)據(jù)）
(2)現(xiàn)單獨(dú)研究棱長(zhǎng)，記（且），其展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，含項(xiàng)的系數(shù)為.
①若，對(duì)成立，求實(shí)數(shù)，，的值；
②對(duì)①中的實(shí)數(shù)，，用數(shù)字歸納法證明：對(duì)任意且，都成立.
題型二：排列組合新定義
【典例2-1】（2024·高三·北京·階段練習(xí)）設(shè)為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合中的任意元素和，定義.
(1)當(dāng)時(shí)，若，直接寫(xiě)出所有使同時(shí)成立的的元素；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同元素.求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；
(3)給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.
【典例2-2】（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）一般地，元有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為維向量.對(duì)于兩個(gè)維向量，定義：兩點(diǎn)間距離，利用維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計(jì)算機(jī)能力分值?溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見(jiàn)下表：
對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量的四個(gè)坐標(biāo).
(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；
(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.
（i）小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；
（ii）小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項(xiàng)能力分值.
題型三：概率新定義
【典例3-1】（2024·浙江·一模）混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．
(1)證明：；
(2)若，．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性．
【典例3-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來(lái)，隨著人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p（），射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.設(shè)表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)．
(1)求，；
(2)求，．
【變式3-1】（2024·福建漳州·一模）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個(gè)信號(hào)數(shù)字之間相互獨(dú)立．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．
(1)記發(fā)送信號(hào)變量為，接收信號(hào)變量為，且滿足，，，求；
(2)當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0的概率為，定義隨機(jī)變量的“有效值”為（其中是的所有可能的取值，），發(fā)送信號(hào)“000”的接收信號(hào)為“”，記為，，三個(gè)數(shù)字之和，求的“有效值”．（，）
題型四：統(tǒng)計(jì)方法新定義
【典例4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是，并且，，．
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）．
(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．
（i）記，．證明：．
（ii）用（i）的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到）．
(3)比較（1）和（2）（ii）的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì)．
注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．
【典例4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）冰雪運(yùn)動(dòng)是深受學(xué)生喜愛(ài)的一項(xiàng)戶外運(yùn)動(dòng)，為了研究性別與學(xué)生是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表．
(1)當(dāng)時(shí)，從樣本中不喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)研不喜愛(ài)的原因，記這3人中女生的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
(2)定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實(shí)際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如，．基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量X，Y相互獨(dú)立），然后計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．根據(jù)的計(jì)算公式，求解下面問(wèn)題：
①當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)？
②當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)，則至少有多少名男生喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)？
附：
【變式4-1】（2024·高三·北京·期末）在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題．測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：
測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；
(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度，為第題的預(yù)估難度．規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.
題型五：信息熵問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高三·河北·階段練習(xí)）信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannn）定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.
(1)當(dāng)時(shí)，計(jì)算；
(2)若，判斷并證明當(dāng)增大時(shí)，的變化趨勢(shì)；
(3)若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，證明：.
【典例5-2】（2024·高三·河北·期末）在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來(lái)自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的熵越大）來(lái)自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來(lái)表示一個(gè)可以取個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說(shuō)明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.
(1)若，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時(shí)的信息熵.
【變式5-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，通過(guò)信道傳送到接收端.有干擾無(wú)記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無(wú)記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值的隨機(jī)變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量的平均信息量定義為：.當(dāng)時(shí)，信道疑義度定義為
(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均信息量；
(2)設(shè)某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問(wèn)題：
①求的值；
②求該信道的信道疑義度的最大值.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：為不超過(guò)的最大整數(shù)部分，如，．甲、乙兩個(gè)學(xué)生高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分）如下表所示：
進(jìn)入高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)有了大的提升．設(shè)甲或乙高二的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?yōu)?，若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為；若，則甲或乙高三的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)預(yù)計(jì)為100．
(1)試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（測(cè)試時(shí)間為90分鐘，滿分100分）中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)（填入下列表格內(nèi)）；
(2)記高三任意一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)估計(jì)值為，規(guī)定：，記為轉(zhuǎn)換分為3分；，記為轉(zhuǎn)換分為4分；，記為轉(zhuǎn)換分為5分．現(xiàn)從乙的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)中任意抽取2次，求這2次成績(jī)的轉(zhuǎn)換分之和為8分的概率．
2．（2024·全國(guó)·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的，，三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（ⅰ）設(shè)，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
3．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為和．在治療過(guò)程中，用指標(biāo)衡量患者是否受益：若，則認(rèn)為指標(biāo)正常；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏高；若，則認(rèn)為指標(biāo)偏低．若治療后患者的指標(biāo)正常，則認(rèn)為患者受益于治療方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例為0.6．
(1)求和；
(2)統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息．設(shè)采用新治療方案治療第位的患者治療后指標(biāo)的值為，，2，，50，定義函數(shù)：
（ⅰ）簡(jiǎn)述以下統(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說(shuō)明理由．
①；
②；
（ⅱ）為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請(qǐng)?jiān)冢á。┲械慕y(tǒng)計(jì)量中選擇一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策．
4．（2024·高二·四川遂寧·期末）2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對(duì)區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評(píng)分在的居民有600人．
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
(2)定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進(jìn)行大調(diào)整，否則不需要大調(diào)整．根據(jù)所學(xué)知識(shí)判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進(jìn)行大調(diào)整？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評(píng)分在，中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽(tīng)他們的意見(jiàn)，并從6人中抽取2人擔(dān)任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對(duì)防疫工作的評(píng)分在內(nèi)的概率．
5．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來(lái)刻畫(huà)X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對(duì)任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號(hào)的充要條件
6．（2024·高三·河南·期末）某國(guó)家隊(duì)要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運(yùn)會(huì)，他們近期六次訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>(1)分別計(jì)算甲、乙兩人這六次訓(xùn)練的平均成績(jī)，偏優(yōu)均差；
(2)若，則稱甲、乙這次訓(xùn)練的水平相當(dāng)，現(xiàn)從這六次訓(xùn)練中隨機(jī)抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)母怕剩?br>注：若數(shù)據(jù)中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為，定義為偏優(yōu)均差．本題中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時(shí)間．
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)科大學(xué)科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了市100位退休人員，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關(guān)聯(lián)？
(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”，為“此人上網(wǎng)”，則為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強(qiáng)度，在事件發(fā)生的條件下A的強(qiáng)度．
（ｉ）證明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值．
附：，其中．
8．（2024·高三·山西朔州·開(kāi)學(xué)考試）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是，并且，，.
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì).
注：參考公式與參考數(shù)據(jù).
；；.
9．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級(jí)的老師命制了某專題共5套測(cè)試卷（總分150分），用于對(duì)該校高二年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試，測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：
測(cè)試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；
(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差，設(shè)為第i套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計(jì)量， 若，則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．以樣本平均分估計(jì)總體平均分，試檢驗(yàn)這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．
(3)聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時(shí)解答上述試卷易錯(cuò)題進(jìn)行“智力競(jìng)賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計(jì)0分，先多得2分者為勝方.若在此次競(jìng)賽中，聰聰選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結(jié)果相互獨(dú)立，二人約定從0:0計(jì)分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
10．（2024·高三·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)表示，其中．而在n維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中．現(xiàn)有如下定義：在n維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)與坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為．回答下列問(wèn)題：
(1)求出n維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；
(2)在n維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時(shí)，隨機(jī)變量X的方差小于．
（已知對(duì)于正態(tài)分布，P隨X變化關(guān)系可表示為）
11．（2024·高二·福建莆田·期末）為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位：只）：
(1)能否有95%的把握認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？
(2)從該地區(qū)此動(dòng)物群中任取一只，記表示此動(dòng)物發(fā)病，表示此動(dòng)物沒(méi)發(fā)病，表示此動(dòng)物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢(shì)，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢(shì).
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并給出的估計(jì)值.附：，其中.
12．（2024·高一·山東濟(jì)南·期末）獨(dú)立事件是一個(gè)非?；A(chǔ)但又十分重要的概念，對(duì)于理解和應(yīng)用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)至關(guān)重要．它的概念最早可以追湖到17世紀(jì)的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費(fèi)馬，當(dāng)時(shí)被定義為彼此不相關(guān)的事件．19世紀(jì)初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．
(1)若事件與事件相互獨(dú)立，證明：與相互獨(dú)立；
(2)甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)節(jié)的答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對(duì)的概率為，乙每輪答對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率．
13．（2024·高二·浙江臺(tái)州·期末）袋中有大小、形狀完全相同的2個(gè)紅球，4個(gè)白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個(gè)球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)倍，（縱坐標(biāo)不變）；若摸出的是紅球，將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位.函數(shù)經(jīng)過(guò)1次T變換后的函數(shù)記為，經(jīng)過(guò)2次T變換后的函數(shù)記為，…，經(jīng)過(guò)n次T變換后的函數(shù)記為.現(xiàn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)的T變換.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；
(2)記，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
14．（2024·高三·上海寶山·階段練習(xí)）已知為正整數(shù)，對(duì)于給定的函數(shù)，定義一個(gè)次多項(xiàng)式如下:
(1)當(dāng)時(shí)，求;
(2)當(dāng)時(shí)，求;
(3)當(dāng)時(shí)，求.
15．（2024·高一·遼寧葫蘆島·期末）通信信號(hào)利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號(hào)．傳輸技術(shù)有兩種：一種是傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)，采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以兩個(gè)信道為例，如圖1）．
另一種是華為公司5G信號(hào)現(xiàn)使用的土耳其通訊技術(shù)專家Erdal Arikan教授的發(fā)明的極化碼技術(shù)（以兩個(gè)信道為例，如圖2）．傳輸規(guī)則如下，信號(hào)直接從信道2傳輸；信號(hào)在傳輸前先與“異或”運(yùn)算得到信號(hào)，再?gòu)男诺?傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號(hào)通過(guò)“異或”運(yùn)算進(jìn)行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號(hào)，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對(duì)信號(hào)進(jìn)行自身“異或”運(yùn)算而解碼后，傳至接收端．
（注：定義“異或”運(yùn)算：）．假設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為．
(1)對(duì)于傳統(tǒng)傳輸技術(shù)，求信號(hào)和中至少有一個(gè)傳輸成功的概率；
(2)對(duì)于Erdal Arikan教授的極化碼技術(shù)；
①求接收端成功接收信號(hào)的概率；
②若接收端接收到信號(hào)才算成功完成一次任務(wù)，求利用極化碼技術(shù)成功完成一次任務(wù)的概率．
16．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對(duì)區(qū)政府防疫工作的滿意度，從本區(qū)居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評(píng)分在[80，100]的居民有600人
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)定義滿意度指數(shù)=(滿意程度的平均分)/100，若

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