新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或證明數(shù)列滿足某些條件是數(shù)列中的一種重要題型,對(duì)邏輯推理能力要求較高,對(duì)式子變形能力要求較高,常出現(xiàn)在解答題第1小題,本專題總結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列及其他數(shù)列的證明常用方法及技巧.
利用等差數(shù)列定義證明數(shù)列是等差數(shù)列
利用定義法證明是等差數(shù)列,就是證明對(duì)任意n∈N*,an＋1－an是同一常數(shù)．
【例1】（2024屆四川省自貢市高三第三次診斷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若,,成等比數(shù)列,求的最大值．
【解析】（1）數(shù)列滿足①,
當(dāng)時(shí),有②,
①②可得：,
即,變形可得,
故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列,
若,,成等比數(shù)列,則有,
即,解得,所以,
所以單調(diào)遞減,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故當(dāng)或時(shí),取得最大值,
且．
【例2】（2024屆河北省滄州市泊頭市第一中學(xué)等校高三下學(xué)期5月高考模擬）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列,并求；
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由,知,
所以,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,
所以,
所以.
（2）因?yàn)?
所以.
(二)利用證明數(shù)列是等差數(shù)列
若對(duì)任意n∈N*,數(shù)列滿足2an+1＝an＋2＋an,則是等差數(shù)列.
【例3】已知數(shù)列有,（常數(shù)）,對(duì)任意的正整數(shù)n,,并有滿足．
(1)求a的值；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列．
【解析】（1）由已知,得,
所以.
（2）由得,則,
所以,
即,
于是有,并且有,
所以,
即,
而是正整數(shù),,即,
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
(三)證明數(shù)列不是等差數(shù)列
證明數(shù)列不是等差數(shù)列,一般只需要證明該數(shù)列的連續(xù)3項(xiàng)不成等差數(shù)列,通常利用反證法證明.
【例4】給定數(shù)列,若首項(xiàng)且,對(duì)任意的,都有,則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”,若,求；
(2)已知數(shù)列滿足,判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”？若是,請(qǐng)給出證明；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且,證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【證明】（1）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,所以對(duì)于任意的,
都有.因?yàn)?
所以,.
（2）數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.
證明:由,得,即,
所以數(shù)列是等比數(shù)列,且,
則,
,
所以數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.
（3）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,故對(duì)任意的,
有,則,所以,
適合該式.
假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,不妨設(shè),
則由,得,
所以,
當(dāng)為偶數(shù)且時(shí),是偶數(shù),而是奇數(shù),是偶數(shù),
故不能成立；
當(dāng)為奇數(shù)且時(shí),是偶數(shù),而是偶數(shù),是奇數(shù),
故不能成立；
所以,對(duì)任意的,不能成立,
即數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
(四)利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列
利用定義法證明是等比數(shù)列,就是證明對(duì)任意n∈N*,是同一常數(shù)．
【例5】（2024屆浙江省北斗星盟高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段,已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn),點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn),……,點(diǎn)是線段（,）上靠近的三等分點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若,,求的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）解：由題意得 所以,可得,
又由,所以
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）解：因?yàn)?,所以,
因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以時(shí),.
由累加法可得時(shí),
,即當(dāng)時(shí),,
經(jīng)檢驗(yàn),滿足上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【例6】（2024屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求最小的正整數(shù),使得對(duì)一切都成立.
【解析】（1）由題知,
用替換上式的,得.
兩式作差,,即.
而由,可得.
從而是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,于是,
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,故,
兩式作差,得.
整理可得.
故,又,因此滿足條件的最小正整數(shù)為.
(五)利用證明數(shù)列是等比數(shù)列
若對(duì)任意正整數(shù)n,都有,且,則數(shù)列是等比數(shù)列.
【例7】（2024屆貴州省畢節(jié)市高三第三次診斷性）在無(wú)窮數(shù)列中,若對(duì)任意的,都存在,使得,則稱為m階等差數(shù)列.在正項(xiàng)無(wú)窮數(shù)列中,若對(duì)任意的,都存在,使得,則稱為m階等比數(shù)列．
(1)若數(shù)列為1階等比數(shù)列,,,求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和；
(2)若數(shù)列為m階等差數(shù)列,求證：為m階等比數(shù)列；
(3)若數(shù)列既是m階等差數(shù)列,又是階等差數(shù)列,證明：是等比數(shù)列．
【解析】（1）因?yàn)闉?階等比數(shù)列,所以為正項(xiàng)等比數(shù)列,
設(shè)公比為,則為正數(shù),
由已知得,解得,
因?yàn)?所以,所以,
所以的通項(xiàng)公式為,
前n項(xiàng)的和為；
（2）因?yàn)闉閙階等差數(shù)列,所以對(duì)任意的,都存在,
使得成立,
所以,
即,所以為m階等比數(shù)列；
（3）因?yàn)榧仁莔階等差數(shù)列,又是階等差數(shù)列,
所以對(duì),有與同時(shí)成立,
所以與同時(shí)成立,
所以,,成等比,,,成等比,
由,,成等比,得,,也成等比,
設(shè),,
所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列.
(六)證明數(shù)列不是等比數(shù)列
證明數(shù)列不是等比數(shù)列,一般只需要證明該數(shù)列的連續(xù)3項(xiàng)不成等比數(shù)列,通常利用反證法證明.
【例8】（2024屆湖北省武漢市高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練）混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中,比如天氣預(yù)測(cè)、種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動(dòng)等等,其中一維線段上的拋物線映射是混沌動(dòng)力學(xué)中最基礎(chǔ)應(yīng)用最廣泛的模型之一,假設(shè)在一個(gè)混沌系統(tǒng)中,用來(lái)表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值,且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)滿足,,其中.
(1)當(dāng)時(shí),若滿足對(duì),有,求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí),中不存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；
(3)若,,記,證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),,依題意,①,②,
兩式作差,,則或,
若,代入①式解得,或,而,于是；
若,將代入②式解得,.
因此必有.
注意到,,從而由歸納即知是常數(shù)列.
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）假設(shè),,構(gòu)成等比數(shù)列,則.
那么由,可知.
又,則,解得,與矛盾.
所以中不存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
（3）由于當(dāng)時(shí),有,,即.
而,,故歸納即知對(duì)任意正整數(shù)都有.
又由及可知,故數(shù)列單調(diào)遞減.
又由于,故
.
(七)證明數(shù)列是新定義的數(shù)列
此類問(wèn)題通常把滿足某些條件的數(shù)列稱為一類新數(shù)列,求解關(guān)鍵是證明所給數(shù)列滿足新數(shù)列給定條件
【例9】（2024屆山東省棗莊市高三三調(diào)）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),對(duì)任意,有,則稱數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
(1)已知數(shù)列1,3,2,4和數(shù)列1,2,4,3,2,判斷它們是否為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列,并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),其中．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,記的前n項(xiàng)和為,,對(duì)任意三個(gè)不相等正整數(shù)p,q,r,存在常數(shù)t,使得．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
【解析】（1）根據(jù)“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列的定義可知數(shù)列1,3,2,4中不成立,
所以數(shù)列1,3,2,4不是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
而數(shù)列1,2,4,3,2中均成立,所以數(shù)列1,2,4,3,2是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
（2）根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
所以,
又,所以,
顯然,即不是的零點(diǎn),
又,
令,則也有三個(gè)零點(diǎn),
即有三個(gè)零點(diǎn),
則有三個(gè)零點(diǎn),
所以有兩個(gè)零點(diǎn),
所以同上有,
故數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列
（3）將互換得：,所以,
令,得,
所以,故數(shù)列是等差數(shù)列,
記,所以,
所以,
又因?yàn)?所以,
所以,所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,
所以.
所以
所以,數(shù)列是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列.
【例10】（2024屆江蘇省南京市高三二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)每一個(gè),有且僅有一個(gè),使得,則稱為“X數(shù)列”.記,,稱數(shù)列為的“余項(xiàng)數(shù)列”.
(1)若的前四項(xiàng)依次為0,1,,1,試判斷是否為“X數(shù)列”,并說(shuō)明理由；
(2)若,證明為“X數(shù)列”,并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；
(3)已知正項(xiàng)數(shù)列為“X數(shù)列”,且的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列,證明：．
【解析】（1）由題,
所以有,,
故根據(jù)“X數(shù)列”的定義不是“X數(shù)列”.
（2）因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí),；
當(dāng)時(shí),；
則不滿足,所以,
令,即,
則當(dāng)時(shí),有,；
當(dāng)時(shí),有；故即,
則對(duì)每一個(gè),有且僅有一個(gè)且,使得,
綜上,對(duì)任意,有且僅有一個(gè),使得,
所以為“X數(shù)列”,
由上,,
即的“余項(xiàng)數(shù)列”通項(xiàng)公式為,.
（3）因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列,所以單調(diào)遞增,
所以,故,
因?yàn)?且為“X數(shù)列”,
所以,故由得,
的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列,故其公差,
因?yàn)?所以,
若,則當(dāng)時(shí),,與矛盾,
故,所以,,即,
對(duì)于,若,則,與正項(xiàng)數(shù)列矛盾,
所以,故,
所以,故,
所以,
又,
所以,.
(八)證明數(shù)列的單調(diào)性
證明數(shù)列是遞增（減）數(shù)列,通常是證明（）,若,也可根據(jù)（）
來(lái)證明.
【例11】（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬）已知函數(shù)．
(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
(2)記在上的零點(diǎn)為,求證;
（i）是一個(gè)遞減數(shù)列
（ii）．
【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).
證明如下：
當(dāng)時(shí),由,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,,
所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí),,
若為奇數(shù),,則,此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
若為偶數(shù),設(shè),
則,方程有一個(gè)解,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且,此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).
（2）（i）由（1）知,當(dāng)時(shí),在在內(nèi)的零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,,
則,
故,所以數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列；
（ii）由（i）知,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
有,所以,求和可得
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí),,
故,則,得,
即,即,即,
即,即,
即,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),均有成立,求和可得
.
綜上,.
(九)數(shù)列中的等式與不等式的證明
數(shù)列中的等式證明,通常是根據(jù)已知條件進(jìn)行恒等變形,數(shù)列中的不等式證明,常見(jiàn)的是與求和有關(guān)的證明,證明時(shí)或者先求和,再放縮,或者先放縮成可求和的數(shù)列,再求和.
【例12】（2024屆重慶市主城區(qū)高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)的奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,記表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則稱為“高斯函數(shù)”．例如：,．
(1)設(shè),,求證：是的一個(gè)周期,且恒成立；
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè)．
①求證：；
②求的值．
【解析】（1）．
故是的一個(gè)周期．
當(dāng)時(shí),,,故．
由于周期為,故對(duì)任意,都有．
（2）①記．
,則．
∵
,∴．
而
．∴．
∴,∴．
②由①知,則．
由（1）知：對(duì)任意,都有,
∴．∴．
∵,∴．
令,
∵；
．
∵,∴．
【例1】（2024屆遼寧省高考扣題卷二）在直角坐標(biāo)平面內(nèi),將函數(shù)及在第一象限內(nèi)的圖象分別記作,,點(diǎn)在上．過(guò)作平行于x軸的直線,與交于點(diǎn),再過(guò)點(diǎn)作平行于y軸的直線,與交于點(diǎn)．
(1)若,請(qǐng)直接寫出,的值；
(2)若,求證：是等比數(shù)列；
(3)若,求證：．
【解析】（1）易知當(dāng)時(shí),代入函數(shù)解析式可知：
,所以,．
（2）依題意,由可得
因?yàn)樵谏?所以,
又,所以,整理可得,
所以①,且②,
由得,
又由,得,即是以為公比的等比數(shù)列；
（3）若,由（2）得,
因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
又因?yàn)?
所以
所以,從而,
所以
從而|
所以
.
【例2】（2024屆黑龍江省高三信息押題卷四）若給定數(shù)列,對(duì)于任意的,若滿足,則稱為“型數(shù)列”．若數(shù)列滿足：,,當(dāng)時(shí),．
(1)判斷數(shù)列是否為“型數(shù)列”,并證明；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若,,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）數(shù)列是“型數(shù)列”,理由如下：
由,得,
因?yàn)?則,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
則,,,
所以數(shù)列滿足“型數(shù)列”的定義,
即數(shù)列是“型數(shù)列”．
（2）由（1）知,,…,,
累加得,
又,所以．
（3）由（2）可知,,不等式有解,
整理為,有解,即,
設(shè),,則,
設(shè),,,
所以在上單調(diào)遞增,
,所以函數(shù)的值域?yàn)?
則,當(dāng)時(shí),,所以,
所以的取值范圍是．
【例3】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三下學(xué)期熱身考試）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知．
(1)若,證明：是等比數(shù)列；
(2)若是和的等差中項(xiàng),設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【解析】（1）對(duì)①,當(dāng)時(shí),有②,
：,即,
經(jīng)整理,可得,
,故是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知,有,,
題設(shè)知,即,則,故．
而,
故.
【例4】（2024屆上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期摸底考試）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列,記,其中表示,,,這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．
(1)若,,求,,的值；
(2)若為常數(shù)列,證明是等差數(shù)列；
(3)證明：或者對(duì)任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),；或者存在正整數(shù),使得,,,,是等差數(shù)列．
【解析】（1）已知,,
,,,,,,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,,,
當(dāng)時(shí),,,,,
（2）設(shè)（為常數(shù)）,的通項(xiàng)公式為.
,
先考慮,
則時(shí),,
所以.
當(dāng)時(shí),則,,
此時(shí)為常數(shù),所以是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí),則,,
此時(shí)是常數(shù)列,也是等差數(shù)列；
綜上所述：是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列和的公差分別為,
則,
所以,
①當(dāng)時(shí),取正整數(shù),則當(dāng)時(shí),,因此,
此時(shí),是等差數(shù)列；
②當(dāng)時(shí),對(duì)任意,
此時(shí),是等差數(shù)列；
③當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有,
所以
,
對(duì)任意正數(shù),取正整數(shù),
故當(dāng)時(shí),.
【例5】（2024屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期模擬）（1）證明：當(dāng)時(shí),；
（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ii）證明：若,則對(duì)任意正整數(shù),都有.
【解析】（1）令,則,
所以在上單調(diào)遞增,所以,即,
再令,則,,
令,則,由上面知,
即在上單調(diào)遞減,所以,
所以在上單調(diào)遞減,所以,
即.
綜上,當(dāng)時(shí),成立.
（2）（i）因?yàn)?所以,
所以,由（1）知,當(dāng)時(shí),,
所以,
所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
（ii）要證,即證,即,
由（1）知：當(dāng)時(shí),,
所以,即有,
所以,
所以,
又因?yàn)?所以,
所以,即,
所以,歸納易得數(shù)列為減函數(shù),
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列,
所以,
所以
,
又因?yàn)?
所以,
所以,
即成立.
1.（2024屆陜西省安康市高新中學(xué)高三模擬）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和.
2．（2024屆四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知,求數(shù)列的前項(xiàng)和．
3．（2024屆安徽省太湖中學(xué)高三第四次模擬）已知.
(1)求；
(2)證明：是等差數(shù)列,并求出；
(3)設(shè),求的前項(xiàng)和.
4．（2025屆云南省三校高三聯(lián)考）綠色已成為當(dāng)今世界主題,綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力,綠色能源是未來(lái)新能源行業(yè)的主導(dǎo).某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流,最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)該批次汽車隨機(jī)抽取100輛進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布
(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)若單次最大續(xù)航里程在到的汽車為“類汽車”,以抽樣檢測(cè)的頻率作為實(shí)際情況的概率,從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機(jī)抽取10輛,設(shè)這10輛汽車中為“類汽車”的數(shù)量為,求.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格?第1格?第2格??第30格.遙控車開(kāi)始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動(dòng)一次,若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格（從到）,若擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格（從到）,直到遙控車移到第29格（勝利大本營(yíng)）或第30格（失敗大本營(yíng)）時(shí),游戲結(jié)束.已知遙控車在第0格的概率為,設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明：數(shù)列是等比數(shù)列,并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買該款新能源汽車？
5．（2024屆遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期考前練）已知數(shù)列滿足,,令.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,定義為不超過(guò)x的最大整數(shù),例如,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（參考公式：）
6．（2024屆上海市七寶中學(xué)高三下學(xué)期三模）如圖,已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn),點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng),且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同,從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次,若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)A處,記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為．
(1)求；
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若,求的最大值．
7．（2024屆四川省成都市高三下學(xué)期第三次診斷）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.
(1)證明: 數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
8．（2024屆河南省名校聯(lián)盟考前模擬大聯(lián)考三）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),且其前項(xiàng)和.
(1)證明：是等差數(shù)列,并求；
(2)如果,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
9．（2024屆東北三省三校高三第三次聯(lián)合模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè),若是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)的范圍.
10．（2024屆河南省九師聯(lián)盟高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0,其前項(xiàng)和為,為不等于0的常數(shù),且．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)若成等差數(shù)列,則對(duì)于任意的正整數(shù),,,是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列,請(qǐng)予以證明；若不成等差數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2024屆全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷六）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積,且,．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若,的前項(xiàng)和為,證明：．
12．（2024屆遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期4月三模）若實(shí)數(shù)列滿足,有,稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)判斷是否為“數(shù)列”,并說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,證明：對(duì)于任意正整數(shù),且,都有
(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”,且.令,其中表示中的較大者.證明：,都有.
13．（2024屆廣東省廣州市華南師大附中學(xué)高三下學(xué)期5月月考）對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù),若對(duì)在定義域內(nèi)的給定常數(shù),存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且,且對(duì)在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于和的連線,則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.
(1)若函數(shù),證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；
(2)若函數(shù),數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”,且,求的通項(xiàng)公式；
(3)若函數(shù),數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明：當(dāng)時(shí),.
14．（2024屆山西省部分學(xué)校高三年級(jí)階段性測(cè)試）對(duì)于數(shù)列,若存在,使得對(duì)任意,總有,則稱為“有界變差數(shù)列”．
(1)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列,求其公比q的取值范圍；
(2)若數(shù)列滿足,且,證明：是有界變差數(shù)列；
(3)若,均為有界變差數(shù)列,且,證明：是有界變差數(shù)列．
15．已知數(shù)列的首項(xiàng),且滿足.
(1)證明是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意的正整數(shù),總成立？若存在,求出的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
16.（2024屆山東中學(xué)聯(lián)盟高考考前熱身）設(shè),.如果存在使得,那么就說(shuō)可被整除（或整除）,記做且稱是的倍數(shù),是的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．不能被整除就記做．由整除的定義,不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若,,則；②,互質(zhì),若,,則；③若,則,其中.
(1)若數(shù)列滿足,,其前項(xiàng)和為,證明：；
(2)若為奇數(shù),求證：能被整除；
(3)對(duì)于整數(shù)與,,求證：可整除.
專題1 數(shù)列中的證明問(wèn)題
新高考在試題形式、試卷結(jié)構(gòu)、難度調(diào)控等方面深化改革,數(shù)列解答題的難度增加,作為壓軸題出現(xiàn)的概率變大,證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或證明數(shù)列滿足某些條件是數(shù)列中的一種重要題型,對(duì)邏輯推理能力要求較高,對(duì)式子變形能力要求較高,常出現(xiàn)在解答題第1小題,本專題總結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列及其他數(shù)列的證明常用方法及技巧.
利用等差數(shù)列定義證明數(shù)列是等差數(shù)列
利用定義法證明是等差數(shù)列,就是證明對(duì)任意n∈N*,an＋1－an是同一常數(shù)．
【例1】（2024屆四川省自貢市高三第三次診斷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若,,成等比數(shù)列,求的最大值．
【解析】（1）數(shù)列滿足①,
當(dāng)時(shí),有②,
①②可得：,
即,變形可得,
故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列,
若,,成等比數(shù)列,則有,
即,解得,所以,
所以單調(diào)遞減,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故當(dāng)或時(shí),取得最大值,
且．
【例2】（2024屆河北省滄州市泊頭市第一中學(xué)等校高三下學(xué)期5月高考模擬）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列,并求；
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由,知,
所以,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,
所以,
所以.
（2）因?yàn)?
所以.
(二)利用證明數(shù)列是等差數(shù)列
若對(duì)任意n∈N*,數(shù)列滿足2an+1＝an＋2＋an,則是等差數(shù)列.
【例3】已知數(shù)列有,（常數(shù)）,對(duì)任意的正整數(shù)n,,并有滿足．
(1)求a的值；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列．
【解析】（1）由已知,得,
所以.
（2）由得,則,
所以,
即,
于是有,并且有,
所以,
即,
而是正整數(shù),,即,
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
(三)證明數(shù)列不是等差數(shù)列
證明數(shù)列不是等差數(shù)列,一般只需要證明該數(shù)列的連續(xù)3項(xiàng)不成等差數(shù)列,通常利用反證法證明.
【例4】給定數(shù)列,若首項(xiàng)且,對(duì)任意的,都有,則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”,若,求；
(2)已知數(shù)列滿足,判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”？若是,請(qǐng)給出證明；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且,證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【證明】（1）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,所以對(duì)于任意的,
都有.因?yàn)?
所以,.
（2）數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.
證明:由,得,即,
所以數(shù)列是等比數(shù)列,且,
則,
,
所以數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.
（3）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,故對(duì)任意的,
有,則,所以,
適合該式.
假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,不妨設(shè),
則由,得,
所以,
當(dāng)為偶數(shù)且時(shí),是偶數(shù),而是奇數(shù),是偶數(shù),
故不能成立；
當(dāng)為奇數(shù)且時(shí),是偶數(shù),而是偶數(shù),是奇數(shù),
故不能成立；
所以,對(duì)任意的,不能成立,
即數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
(四)利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列
利用定義法證明是等比數(shù)列,就是證明對(duì)任意n∈N*,是同一常數(shù)．
【例5】（2024屆浙江省北斗星盟高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段,已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn),點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn),……,點(diǎn)是線段（,）上靠近的三等分點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若,,求的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）解：由題意得 所以,可得,
又由,所以
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）解：因?yàn)?,所以,
因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以時(shí),.
由累加法可得時(shí),
,即當(dāng)時(shí),,
經(jīng)檢驗(yàn),滿足上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【例6】（2024屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求最小的正整數(shù),使得對(duì)一切都成立.
【解析】（1）由題知,
用替換上式的,得.
兩式作差,,即.
而由,可得.
從而是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得,于是,
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,故,
兩式作差,得.
整理可得.
故,又,因此滿足條件的最小正整數(shù)為.
(五)利用證明數(shù)列是等比數(shù)列
若對(duì)任意正整數(shù)n,都有,且,則數(shù)列是等比數(shù)列.
【例7】（2024屆貴州省畢節(jié)市高三第三次診斷性）在無(wú)窮數(shù)列中,若對(duì)任意的,都存在,使得,則稱為m階等差數(shù)列.在正項(xiàng)無(wú)窮數(shù)列中,若對(duì)任意的,都存在,使得,則稱為m階等比數(shù)列．
(1)若數(shù)列為1階等比數(shù)列,,,求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和；
(2)若數(shù)列為m階等差數(shù)列,求證：為m階等比數(shù)列；
(3)若數(shù)列既是m階等差數(shù)列,又是階等差數(shù)列,證明：是等比數(shù)列．
【解析】（1）因?yàn)闉?階等比數(shù)列,所以為正項(xiàng)等比數(shù)列,
設(shè)公比為,則為正數(shù),
由已知得,解得,
因?yàn)?所以,所以,
所以的通項(xiàng)公式為,
前n項(xiàng)的和為；
（2）因?yàn)闉閙階等差數(shù)列,所以對(duì)任意的,都存在,
使得成立,
所以,
即,所以為m階等比數(shù)列；
（3）因?yàn)榧仁莔階等差數(shù)列,又是階等差數(shù)列,
所以對(duì),有與同時(shí)成立,
所以與同時(shí)成立,
所以,,成等比,,,成等比,
由,,成等比,得,,也成等比,
設(shè),,
所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列.
(六)證明數(shù)列不是等比數(shù)列
證明數(shù)列不是等比數(shù)列,一般只需要證明該數(shù)列的連續(xù)3項(xiàng)不成等比數(shù)列,通常利用反證法證明.
【例8】（2024屆湖北省武漢市高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練）混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中,比如天氣預(yù)測(cè)、種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動(dòng)等等,其中一維線段上的拋物線映射是混沌動(dòng)力學(xué)中最基礎(chǔ)應(yīng)用最廣泛的模型之一,假設(shè)在一個(gè)混沌系統(tǒng)中,用來(lái)表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值,且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)滿足,,其中.
(1)當(dāng)時(shí),若滿足對(duì),有,求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí),中不存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；
(3)若,,記,證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),,依題意,①,②,
兩式作差,,則或,
若,代入①式解得,或,而,于是；
若,將代入②式解得,.
因此必有.
注意到,,從而由歸納即知是常數(shù)列.
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）假設(shè),,構(gòu)成等比數(shù)列,則.
那么由,可知.
又,則,解得,與矛盾.
所以中不存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
（3）由于當(dāng)時(shí),有,,即.
而,,故歸納即知對(duì)任意正整數(shù)都有.
又由及可知,故數(shù)列單調(diào)遞減.
又由于,故
.
(七)證明數(shù)列是新定義的數(shù)列
此類問(wèn)題通常把滿足某些條件的數(shù)列稱為一類新數(shù)列,求解關(guān)鍵是證明所給數(shù)列滿足新數(shù)列給定條件
【例9】（2024屆山東省棗莊市高三三調(diào)）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),對(duì)任意,有,則稱數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
(1)已知數(shù)列1,3,2,4和數(shù)列1,2,4,3,2,判斷它們是否為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列,并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),其中．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,記的前n項(xiàng)和為,,對(duì)任意三個(gè)不相等正整數(shù)p,q,r,存在常數(shù)t,使得．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
【解析】（1）根據(jù)“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列的定義可知數(shù)列1,3,2,4中不成立,
所以數(shù)列1,3,2,4不是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
而數(shù)列1,2,4,3,2中均成立,所以數(shù)列1,2,4,3,2是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
（2）根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
所以,
又,所以,
顯然,即不是的零點(diǎn),
又,
令,則也有三個(gè)零點(diǎn),
即有三個(gè)零點(diǎn),
則有三個(gè)零點(diǎn),
所以有兩個(gè)零點(diǎn),
所以同上有,
故數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列
（3）將互換得：,所以,
令,得,
所以,故數(shù)列是等差數(shù)列,
記,所以,
所以,
又因?yàn)?所以,
所以,所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,
所以.
所以
所以,數(shù)列是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列.
【例10】（2024屆江蘇省南京市高三二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)每一個(gè),有且僅有一個(gè),使得,則稱為“X數(shù)列”.記,,稱數(shù)列為的“余項(xiàng)數(shù)列”.
(1)若的前四項(xiàng)依次為0,1,,1,試判斷是否為“X數(shù)列”,并說(shuō)明理由；
(2)若,證明為“X數(shù)列”,并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；
(3)已知正項(xiàng)數(shù)列為“X數(shù)列”,且的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列,證明：．
【解析】（1）由題,
所以有,,
故根據(jù)“X數(shù)列”的定義不是“X數(shù)列”.
（2）因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí),；
當(dāng)時(shí),；
則不滿足,所以,
令,即,
則當(dāng)時(shí),有,；
當(dāng)時(shí),有；故即,
則對(duì)每一個(gè),有且僅有一個(gè)且,使得,
綜上,對(duì)任意,有且僅有一個(gè),使得,
所以為“X數(shù)列”,
由上,,
即的“余項(xiàng)數(shù)列”通項(xiàng)公式為,.
（3）因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列,所以單調(diào)遞增,
所以,故,
因?yàn)?且為“X數(shù)列”,
所以,故由得,
的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列,故其公差,
因?yàn)?所以,
若,則當(dāng)時(shí),,與矛盾,
故,所以,,即,
對(duì)于,若,則,與正項(xiàng)數(shù)列矛盾,
所以,故,
所以,故,
所以,
又,
所以,.
(八)證明數(shù)列的單調(diào)性
證明數(shù)列是遞增（減）數(shù)列,通常是證明（）,若,也可根據(jù)（）
來(lái)證明.
【例11】（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬）已知函數(shù)．
(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
(2)記在上的零點(diǎn)為,求證;
（i）是一個(gè)遞減數(shù)列
（ii）．
【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).
證明如下：
當(dāng)時(shí),由,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,,
所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí),,
若為奇數(shù),,則,此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
若為偶數(shù),設(shè),
則,方程有一個(gè)解,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且,此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).
（2）（i）由（1）知,當(dāng)時(shí),在在內(nèi)的零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,,
則,
故,所以數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列；
（ii）由（i）知,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
有,所以,求和可得
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí),,
故,則,得,
即,即,即,
即,即,
即,當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),均有成立,求和可得
.
綜上,.
(九)數(shù)列中的等式與不等式的證明
數(shù)列中的等式證明,通常是根據(jù)已知條件進(jìn)行恒等變形,數(shù)列中的不等式證明,常見(jiàn)的是與求和有關(guān)的證明,證明時(shí)或者先求和,再放縮,或者先放縮成可求和的數(shù)列,再求和.
【例12】（2024屆重慶市主城區(qū)高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)的奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,記表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則稱為“高斯函數(shù)”．例如：,．
(1)設(shè),,求證：是的一個(gè)周期,且恒成立；
(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè)．
①求證：；
②求的值．
【解析】（1）．
故是的一個(gè)周期．
當(dāng)時(shí),,,故．
由于周期為,故對(duì)任意,都有．
（2）①記．
,則．
∵
,∴．
而
．∴．
∴,∴．
②由①知,則．
由（1）知：對(duì)任意,都有,
∴．∴．
∵,∴．
令,
∵；
．
∵,∴．
【例1】（2024屆遼寧省高考扣題卷二）在直角坐標(biāo)平面內(nèi),將函數(shù)及在第一象限內(nèi)的圖象分別記作,,點(diǎn)在上．過(guò)作平行于x軸的直線,與交于點(diǎn),再過(guò)點(diǎn)作平行于y軸的直線,與交于點(diǎn)．
(1)若,請(qǐng)直接寫出,的值；
(2)若,求證：是等比數(shù)列；
(3)若,求證：．
【解析】（1）易知當(dāng)時(shí),代入函數(shù)解析式可知：
,所以,．
（2）依題意,由可得
因?yàn)樵谏?所以,
又,所以,整理可得,
所以①,且②,
由得,
又由,得,即是以為公比的等比數(shù)列；
（3）若,由（2）得,
因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
又因?yàn)?
所以
所以,從而,
所以
從而|
所以
.
【例2】（2024屆黑龍江省高三信息押題卷四）若給定數(shù)列,對(duì)于任意的,若滿足,則稱為“型數(shù)列”．若數(shù)列滿足：,,當(dāng)時(shí),．
(1)判斷數(shù)列是否為“型數(shù)列”,并證明；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若,,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）數(shù)列是“型數(shù)列”,理由如下：
由,得,
因?yàn)?則,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
則,,,
所以數(shù)列滿足“型數(shù)列”的定義,
即數(shù)列是“型數(shù)列”．
（2）由（1）知,,…,,
累加得,
又,所以．
（3）由（2）可知,,不等式有解,
整理為,有解,即,
設(shè),,則,
設(shè),,,
所以在上單調(diào)遞增,
,所以函數(shù)的值域?yàn)?
則,當(dāng)時(shí),,所以,
所以的取值范圍是．
【例3】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三下學(xué)期熱身考試）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知．
(1)若,證明：是等比數(shù)列；
(2)若是和的等差中項(xiàng),設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【解析】（1）對(duì)①,當(dāng)時(shí),有②,
：,即,
經(jīng)整理,可得,
,故是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知,有,,
題設(shè)知,即,則,故．
而,
故.
【例4】（2024屆上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期摸底考試）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列,記,其中表示,,,這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．
(1)若,,求,,的值；
(2)若為常數(shù)列,證明是等差數(shù)列；
(3)證明：或者對(duì)任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),；或者存在正整數(shù),使得,,,,是等差數(shù)列．
【解析】（1）已知,,
,,,,,,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,,,
當(dāng)時(shí),,,,,
（2）設(shè)（為常數(shù)）,的通項(xiàng)公式為.
,
先考慮,
則時(shí),,
所以.
當(dāng)時(shí),則,,
此時(shí)為常數(shù),所以是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí),則,,
此時(shí)是常數(shù)列,也是等差數(shù)列；
綜上所述：是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列和的公差分別為,
則,
所以,
①當(dāng)時(shí),取正整數(shù),則當(dāng)時(shí),,因此,
此時(shí),是等差數(shù)列；
②當(dāng)時(shí),對(duì)任意,
此時(shí),是等差數(shù)列；
③當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有,
所以
,
對(duì)任意正數(shù),取正整數(shù),
故當(dāng)時(shí),.
【例5】（2024屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期模擬）（1）證明：當(dāng)時(shí),；
（2）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為遞增數(shù)列；
（ii）證明：若,則對(duì)任意正整數(shù),都有.
【解析】（1）令,則,
所以在上單調(diào)遞增,所以,即,
再令,則,,
令,則,由上面知,
即在上單調(diào)遞減,所以,
所以在上單調(diào)遞減,所以,
即.
綜上,當(dāng)時(shí),成立.
（2）（i）因?yàn)?所以,
所以,由（1）知,當(dāng)時(shí),,
所以,
所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
（ii）要證,即證,即,
由（1）知：當(dāng)時(shí),,
所以,即有,
所以,
所以,
又因?yàn)?所以,
所以,即,
所以,歸納易得數(shù)列為減函數(shù),
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列,
所以,
所以
,
又因?yàn)?
所以,
所以,
即成立.
1.（2024屆陜西省安康市高新中學(xué)高三模擬）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）證明：令,又,則有
,
又,所以
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
2．（2024屆四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知,求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）當(dāng)時(shí),,解得,
當(dāng)時(shí),由,可得,
兩式相減得,所以,
又因?yàn)?所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知,,
所以,
數(shù)列 的前項(xiàng)和為,
可得,
兩式相減得,
所以．
3．（2024屆安徽省太湖中學(xué)高三第四次模擬）已知.
(1)求；
(2)證明：是等差數(shù)列,并求出；
(3)設(shè),求的前項(xiàng)和.
【解析】（1）.
（2）,故是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.故.
（3）因?yàn)?所以
4．（2025屆云南省三校高三聯(lián)考）綠色已成為當(dāng)今世界主題,綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力,綠色能源是未來(lái)新能源行業(yè)的主導(dǎo).某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流,最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)該批次汽車隨機(jī)抽取100輛進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布
(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)若單次最大續(xù)航里程在到的汽車為“類汽車”,以抽樣檢測(cè)的頻率作為實(shí)際情況的概率,從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機(jī)抽取10輛,設(shè)這10輛汽車中為“類汽車”的數(shù)量為,求.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格?第1格?第2格??第30格.遙控車開(kāi)始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動(dòng)一次,若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格（從到）,若擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格（從到）,直到遙控車移到第29格（勝利大本營(yíng)）或第30格（失敗大本營(yíng)）時(shí),游戲結(jié)束.已知遙控車在第0格的概率為,設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明：數(shù)列是等比數(shù)列,并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買該款新能源汽車？
【解析】（1）.
（2）由題意可知任取一輛汽車為“類汽車”的概率為,
由題設(shè)有,故.
（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面,遙控車移到第一格,其概率為,即.
遙控車移到第格的情況是下面兩種,而且只有兩種：
①遙控車先到第格,又?jǐn)S出反面,其概率為；
②遙控車先到第格,又?jǐn)S出正面,其概率為.
所以,所以,
因?yàn)?所以時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列,
且首項(xiàng)為,公比為,
所以.
累加可得：
,
也滿足上式,故,
所以獲勝的概率,
失敗的概率,
所以,
所以獲勝的概率大,所以此方案能成功吸引顧客購(gòu)買該款新能源汽車.
5．（2024屆遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期考前練）已知數(shù)列滿足,,令.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,定義為不超過(guò)x的最大整數(shù),例如,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（參考公式：）
【解析】（1）由題意得,代入得,整理得．
所以是等差數(shù)列；
（2）由已知,又,所以,
所以,
,
所以,,,,
時(shí),,,
所以,,,
時(shí),．
6．（2024屆上海市七寶中學(xué)高三下學(xué)期三模）如圖,已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn),點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng),且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同,從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次,若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)A處,記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為．
(1)求；
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若,求的最大值．
【解析】（1）依題意,每一個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)相鄰的頂點(diǎn),其中兩個(gè)在同一底面,
所以當(dāng)點(diǎn)在下底面時(shí),隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為,
當(dāng)點(diǎn)在上底面時(shí),隨機(jī)移動(dòng)一次回到下底面的概率為,
所以,.
（2）,
所以,
又因?yàn)?所以,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列；
,,
若,則,所以,
又,,,所以,的最大值為.
7．（2024屆四川省成都市高三下學(xué)期第三次診斷）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.
(1)證明: 數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),,得,
由,當(dāng)時(shí),,
兩式相減得: ,
整理得: ,
所以 ,且,
是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得,
,
8．（2024屆河南省名校聯(lián)盟考前模擬大聯(lián)考三）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),且其前項(xiàng)和.
(1)證明：是等差數(shù)列,并求；
(2)如果,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),或,
因?yàn)?所以,
,
兩式相減得,
因?yàn)?所以,
故是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,
；
（2）由（1）知,
,
,
則,
,
所以.
9．（2024屆東北三省三校高三第三次聯(lián)合模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè),若是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)的范圍.
【解析】（1）由知,得.
由已知有,
故,得.
而,故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論有,即.
那么就有.
命題等價(jià)于恒成立,即.
此即,化簡(jiǎn)得到.
從而要求的取值范圍使得恒成立.
一方面,對(duì)該不等式取可得到,即；
另一方面,若,則,,
故我們恒有,即.
所以的取值范圍是.
10．（2024屆河南省九師聯(lián)盟高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0,其前項(xiàng)和為,為不等于0的常數(shù),且．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)若成等差數(shù)列,則對(duì)于任意的正整數(shù),,,是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列,請(qǐng)予以證明；若不成等差數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：因?yàn)?①
所以,②
②①,得,即．
當(dāng)時(shí),,即,所以,
所以對(duì),,即是公比為的等比數(shù)列．
（2）解：對(duì)任意正整數(shù)成等差數(shù)列．證明如下：
由成等差數(shù)列,得,且,
即,
化簡(jiǎn)得,即．
因?yàn)?,
所以,
故對(duì)于任意的正整數(shù)成等差數(shù)列．
11．（2024屆全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷六）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積,且,．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若,的前項(xiàng)和為,證明：．
【解析】（1）由題意知①,
當(dāng)時(shí),,∵,∴．
當(dāng)時(shí),②．
①－②得,適合上式,
③,則④．
得,∴,
兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù),得,
則,,又,
數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列．
（2）由題意及（1）知,,
則,
所以,,
兩式相減得,
∴．
∵,
隨的增大而減小,∴,又,∴,
∴．
12．（2024屆遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期4月三模）若實(shí)數(shù)列滿足,有,稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)判斷是否為“數(shù)列”,并說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,證明：對(duì)于任意正整數(shù),且,都有
(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”,且.令,其中表示中的較大者.證明：,都有.
【解析】（1）因?yàn)?
所以數(shù)列是“數(shù)列”,
因?yàn)?
所以數(shù)列不是“數(shù)列”；
（2）令,因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”,所以
從而,所以
因?yàn)?所以
,
因?yàn)?所以.
（3）當(dāng)或2024時(shí),,
從而,
當(dāng)時(shí),因?yàn)?
由第(2)問(wèn)的結(jié)論得,可推得,從而
對(duì)于,由第(2)問(wèn)的結(jié)論得,從而也成立,從而
對(duì)于,由第(2)問(wèn)的結(jié)論得,從而
也成立,從而
所以
由條件
可得,
所以.
13．（2024屆廣東省廣州市華南師大附中學(xué)高三下學(xué)期5月月考）對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù),若對(duì)在定義域內(nèi)的給定常數(shù),存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且,且對(duì)在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于和的連線,則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.
(1)若函數(shù),證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；
(2)若函數(shù),數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”,且,求的通項(xiàng)公式；
(3)若函數(shù),數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明：當(dāng)時(shí),.
【解析】（1）因?yàn)?則,
由題意可得：,
則,即,且,
可知數(shù)列為以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
顯然這樣的數(shù)列對(duì)于給定的是存在的,
所以都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.
（2）因?yàn)?則,
設(shè),即,
由題意可知：,則,
可得,且,
可知數(shù)列為以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
可得,所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.
（3）先證明,
設(shè)函數(shù),
則,,則,
定義的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,
則,
且,,
令,則,
,
因?yàn)?
可知在內(nèi)單調(diào)遞增,則,
同理得,,
故,
又在內(nèi)單調(diào)遞增,
在有有
因此取,有,
又在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
故,
當(dāng)時(shí),,符合題意；
當(dāng)時(shí),,
累加可得,
整理得,
所以；
綜上所述：.
14．（2024屆山西省部分學(xué)校高三年級(jí)階段性測(cè)試）對(duì)于數(shù)列,若存在,使得對(duì)任意,總有,則稱為“有界變差數(shù)列”．
(1)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列,求其公比q的取值范圍；
(2)若數(shù)列滿足,且,證明：是有界變差數(shù)列；
(3)若,均為有界變差數(shù)列,且,證明：是有界變差數(shù)列．
【解析】（1）因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù),所以,,
,
當(dāng)時(shí),,,任取即可,所以為有界變差數(shù)列．
當(dāng)時(shí),,
若,則,
令即可,所以為有界變差數(shù)列,
若,則,當(dāng)時(shí),,
顯然不存在符合條件的M,故不是有界變差數(shù)列．
綜上,q的取值范圍是．
（2）由,可得,易知,所以,
因此是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,
所以,即．
所以,
,
所以是有界變差數(shù)列．
（3）由有界變差數(shù)列的定義可知,
,
．
因?yàn)?br>,所以．
故
,
因此,
所以是有界變差數(shù)列．
15．已知數(shù)列的首項(xiàng),且滿足.
(1)證明是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意的正整數(shù),總成立？若存在,求出的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由,得,
所以, 又,
故,由遞推公式可得,
所以,
所以是首項(xiàng)為、公比為－1的等比數(shù)列.
故,即；
（2）由（1）可得,所以
,
假設(shè)成立,
則,
化簡(jiǎn)得.
可知當(dāng)為正偶數(shù),即時(shí),（*）式對(duì)任意的正整數(shù)總成立.
因此,存在正整數(shù),當(dāng),時(shí),對(duì)任意的正整數(shù),總成立..
16.（2024屆山東中學(xué)聯(lián)盟高考考前熱身）設(shè),.如果存在使得,那么就說(shuō)可被整除（或整除）,記做且稱是的倍數(shù),是的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．不能被整除就記做．由整除的定義,不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若,,則；②,互質(zhì),若,,則；③若,則,其中.
(1)若數(shù)列滿足,,其前項(xiàng)和為,證明：；
(2)若為奇數(shù),求證：能被整除；
(3)對(duì)于整數(shù)與,,求證：可整除.
【解析】（1）因?yàn)?可知數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列；
所以,
而,且31與9互質(zhì)；
易知
,
所以；
,
所以；
結(jié)合整除性質(zhì)②可知：；
（2）因?yàn)?
且為奇數(shù),所以；
因此能被整除.
（3）易知.
當(dāng)時(shí),,
,
上式中,由（2）知,能被整除,
另一方面,
,
上式中,所以也能被整除,且與互質(zhì),
所以能被整除,即能被整除.
類似可證當(dāng)時(shí),,
,
顯然,由（2）知,能被整除；
另一方面,
,
所以能被整除；且與互質(zhì).
能被整除.
綜上可知能被整除.

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