備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國(guó)通用)專題27方程及函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題(17題)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、題型一：實(shí)際問(wèn)題與一次方程（組）
1．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問(wèn)題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，則下列方程正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，則相遇時(shí)野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，
可列方程為：，
故選：A．
2．（2024·遼寧·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問(wèn)題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個(gè)頭，94條腿，問(wèn)雞兔各多少只？設(shè)雞有只，兔有只，根據(jù)題意可列方程組為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)雞有只，兔有只，根據(jù)“雞兔同籠，共有35個(gè)頭，94條腿”列二元一次方程組即可．
【詳解】解：設(shè)雞有只，兔有只，
由題意得：，
故選：D．
3．（2024·甘肅蘭州·中考真題）數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國(guó)元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問(wèn)甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，列出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，由題意，得：
；
故選A．
4．（2024·遼寧·中考真題）甲、乙兩個(gè)水池注滿水，蓄水量均為、工作期間需同時(shí)排水，乙池的排水速度是．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期間，如果這兩個(gè)水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水幾小時(shí)？
【答案】(1)
(2)4小時(shí)
【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)甲池的排水速度為，由題意得，，解方程即可；
（2）設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，則，再解不等式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲池的排水速度為，
由題意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度為；
（2）解：設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，
則，
解得：，
答：最多可以排4小時(shí)．
5．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開(kāi)始跑，小麗跑步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時(shí)間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【分析】此題考查函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用，讀懂圖象中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
（1）由小明的跑步里程及時(shí)間可得檔速度，再根據(jù)C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得B，C檔速度；
（2）結(jié)合圖象求出小麗每段跑步所用時(shí)間，再根據(jù)總時(shí)間即可求解；
（3）由題意可得，此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為（分），可得方程，求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，檔速度為米/分，
則檔速度為米/分，檔速度為米/分；
（2）小麗第一段跑步時(shí)間為分，
小麗第二段跑步時(shí)間為分，
小麗第三段跑步時(shí)間為分，
則小麗兩次休息時(shí)間的總和分；
（3）由題意可得：小麗第二次休息后，在分鐘時(shí)兩人跑步累計(jì)里程相等，
此時(shí)小麗在跑第三段，所跑時(shí)間為：（分）
可得：，
解得：．
6．（2024·江西·中考真題）如圖，書架寬，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語(yǔ)文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚，每本語(yǔ)文書厚．
(1)數(shù)學(xué)書和語(yǔ)文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語(yǔ)文書各多少本；
(2)如果書架上已擺放10本語(yǔ)文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
【答案】(1)書架上有數(shù)學(xué)書60本，語(yǔ)文書30本．
(2)數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本
【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．
（1）首先設(shè)這層書架上數(shù)學(xué)書有本，則語(yǔ)文書有本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：本數(shù)學(xué)書的厚度本語(yǔ)文書的厚度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；
（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，根據(jù)題意列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有本，由題意得：
，
解得：，
．
∴書架上有數(shù)學(xué)書60本，語(yǔ)文書30本．
（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本．
7．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國(guó)總產(chǎn)量的以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？
(2)某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？
(3)在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案．
【答案】(1)特級(jí)鮮品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為40元，特級(jí)干品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為150元
(2)有3種方案，詳見(jiàn)解析
(3)特級(jí)干品猴頭菇40箱，特級(jí)鮮品猴頭菇40箱
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）正確計(jì)算求解．
（1）設(shè)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)分別是x元和y元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元”，列出方程組求解即可；
（2）設(shè)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇m箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇箱，根據(jù)“獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，”列出不等式組求解即可；
（3）根據(jù)（2）中三種方案分別求解即可；
【詳解】（1）解：設(shè)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)分別是x元和y元，
則，
解得：，
故特級(jí)鮮品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為40元，特級(jí)干品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為150元；
（2）解：設(shè)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇m箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇箱，
則，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴，
故該商店有三種進(jìn)貨方案，
分別為：①購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇40箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇40箱；
②購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇41箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇39箱；
③購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇42箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇38箱；
（3）解：當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇40箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇40箱時(shí)：
根據(jù)題意得，
解得：；
當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇41箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇39箱時(shí)：
根據(jù)題意得，
解得：（是小數(shù)，不符合要求）；
當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇42箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇38箱時(shí)：
根據(jù)題意得，
解得：（不符合要求）；
故商店的進(jìn)貨方案是特級(jí)干品猴頭菇40箱，特級(jí)鮮品猴頭菇40箱．
8．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義
我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．
應(yīng)用
如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．
(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？
(2)求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．
【答案】(1)過(guò)4秒或6秒
(2)3
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，根據(jù)“點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度”列方程求解即可；
（2）先求出點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，然后分，，三種情況討論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，
根據(jù)題意，得，
解得或6，
答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；
（2）解：由（1）知：點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，即，
綜上，，
∴點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．
9．（2024·貴州·中考真題）為增強(qiáng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，養(yǎng)成勞動(dòng)的習(xí)慣和品質(zhì)，某校組織學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐．經(jīng)學(xué)校與勞動(dòng)基地聯(lián)系，計(jì)劃組織學(xué)生參加種植甲、乙兩種作物．如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學(xué)生．
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
(1)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學(xué)生？
(2)種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學(xué)生人數(shù)不超過(guò)55人，至少種植甲作物多少畝？
【答案】(1)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學(xué)生
(2)至少種植甲作物5畝
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，
（1）設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學(xué)生，根據(jù)“種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名”列方程組求解即可；
（2）設(shè)種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，根據(jù)“所需學(xué)生人數(shù)不超過(guò)55人”列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學(xué)生，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學(xué)生；
（2）解：設(shè)種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，
根據(jù)題意，得：，
解得，
答：至少種植甲作物5畝．
10．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調(diào)查發(fā)現(xiàn)：與吉祥物相關(guān)的A，B兩款紀(jì)念品深受青少年喜愛(ài)．已知購(gòu)進(jìn)3個(gè)A款比購(gòu)進(jìn)2個(gè)B款多用120元；購(gòu)進(jìn)1個(gè)A款和2個(gè)B款共用200元．
(1)分別求出A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)；
(2)該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩款紀(jì)念品共70個(gè)，其總費(fèi)用不超過(guò)5000元，則至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品多少個(gè)？
【答案】(1)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為60元
(2)至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品30個(gè)
【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，（1）設(shè)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買B款紀(jì)念品a個(gè)，則購(gòu)買A款紀(jì)念品個(gè)，根據(jù)題意列一元一次不等式求得a的取值范圍，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，
由題意得，，
解得，
答：A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為60元．
（2）解：設(shè)購(gòu)買B款紀(jì)念品a個(gè)，則購(gòu)買A款紀(jì)念品個(gè)，
由題意得，，
解得，，
答：至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品30個(gè)．
二、題型二：實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)
11．（2024·山東濰坊·中考真題）2024年6月，某商場(chǎng)為了減少夏季降溫和冬季供暖的能源消耗，計(jì)劃在商場(chǎng)的屋頂和外墻建造隔熱層，其建造成本（萬(wàn)元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：．預(yù)計(jì)該商場(chǎng)每年的能源消耗費(fèi)用（萬(wàn)元）與隔熱層厚度滿足函數(shù)表達(dá)式：，其中．設(shè)該商場(chǎng)的隔熱層建造費(fèi)用與未來(lái)8年能源消耗費(fèi)用之和為（萬(wàn)元）．
(1)若萬(wàn)元，求該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度；
(2)已知該商場(chǎng)未來(lái)8年的相關(guān)規(guī)劃費(fèi)用為（萬(wàn)元），且，當(dāng)時(shí)，求隔熱層厚度的取值范圍．
【答案】(1)該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為
(2)
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，弄清楚題意是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）將（1）中代入，可得出與的關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）由題意得：
整理得，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：．
，
不符合題意，舍去，
該商場(chǎng)建造的隔熱層厚度為6．
（2）由（1）得，
，
．
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
的取值范圍為．
12．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）某校積極開(kāi)展勞動(dòng)教育，兩次購(gòu)買兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品，購(gòu)買記錄如下表：
(1)求兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)；
(2)若該校計(jì)劃再次購(gòu)買兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品共40件，其中A型勞動(dòng)用品購(gòu)買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購(gòu)買這40件勞動(dòng)用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)保持不變）
【答案】(1)A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為20元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為30元
(2)該校購(gòu)買這40件勞動(dòng)用品至少需要1100元
【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．
（1）設(shè)A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為x元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出方程組求解即可；
（2）設(shè)夠買A種型號(hào)勞動(dòng)用品a件，則夠買B種型號(hào)勞動(dòng)用品件，根據(jù)題意得出，設(shè)購(gòu)買這40件勞動(dòng)用品需要W元，列出W關(guān)于a的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為x元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為y元，
，
解得：，
答：A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為20元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為30元．
（2）解：設(shè)夠買A種型號(hào)勞動(dòng)用品a件，則夠買B種型號(hào)勞動(dòng)用品件，
根據(jù)題意可得：，
設(shè)購(gòu)買這40件勞動(dòng)用品需要W元，
，
∵，
∴W隨a的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，W取最大值，，
∴該校購(gòu)買這40件勞動(dòng)用品至少需要1100元．
13．（2024·黑龍江大慶·中考真題）“爾濱”火了，帶動(dòng)了黑龍江省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，農(nóng)副產(chǎn)品也隨之暢銷全國(guó)．某村民在網(wǎng)上直播推銷某種農(nóng)副產(chǎn)品，在試銷售的天中，第天且為整數(shù))的售價(jià)為(元千克)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．銷量(千克)與的函數(shù)關(guān)系式為，已知該產(chǎn)品第天的售價(jià)為元千克，第天的售價(jià)為元千克，設(shè)第天的銷售額為(元)．
(1) ，_____；
(2)寫出第天的銷售額與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過(guò)元？
【答案】(1)，
(2)
(3)在試銷售的天中，共有天銷售額超過(guò)元
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；
（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)銷售額等于銷量乘以售價(jià)，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；
（3）根據(jù)題意，根據(jù)，列出方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，將，代入，
∴
解得：
∴
故答案為：，．
（2）解：依題意，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴
（3）解：依題意，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
解得：
為正整數(shù)，
∴第天至第天，銷售額超過(guò)元
（天）
答：在試銷售的天中，共有天銷售額超過(guò)元
14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂(lè)項(xiàng)目．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點(diǎn)A處沿水滑道下滑至點(diǎn)B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過(guò)騰空點(diǎn)B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過(guò)的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測(cè)量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解決．
(1)如圖1，點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為米，點(diǎn)C到點(diǎn)B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為_(kāi)_____；
(2)如圖1，騰空點(diǎn)B與對(duì)面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點(diǎn)D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱．
①請(qǐng)直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D是否在安全范圍內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計(jì)）；
(3)為消除安全隱患，公園計(jì)劃對(duì)水滑道進(jìn)行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架，另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請(qǐng)你計(jì)算出這條鋼架的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)
(2)①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)，理由見(jiàn)解析
(3)這條鋼架的長(zhǎng)度為米
【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計(jì)算求出a的值即可；
（2）①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點(diǎn)為，即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，令中，求出符合實(shí)際的x值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出所在直線的解析式為，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，
設(shè)水滑道所在拋物線的解析式為，
將代入，得：，即，
，
水滑道所在拋物線的解析式為；
（2）解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，
則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；
由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，
令，則，即
或（舍去，不符合題意），
點(diǎn)，
，
，
，
此人騰空飛出后的落點(diǎn)D在安全范圍內(nèi)；
（3）解：根據(jù)題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
令，即，
（舍去，不符合題意）或，
，
設(shè)所在直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
所在直線的解析式為，
如圖，設(shè)這條鋼架為，與交于點(diǎn)G，與地面交于H，
這條鋼架與平行，
設(shè)該鋼架所在直線的解析式為，
聯(lián)立，即，
整理得：，
該鋼架與水滑道有唯一公共點(diǎn)，
，
即該鋼架所在直線的解析式為，
點(diǎn)H與點(diǎn)O重合，
，，，
，
這條鋼架的長(zhǎng)度為米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想．
15．（2024·貴州·中考真題）某超市購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為450，
∴糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，
∴，
化簡(jiǎn)得
解得，
當(dāng)時(shí)，,
則每盒的利潤(rùn)為：,舍去，
∴m的值為2．
16．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀(jì)中葉，我國(guó)發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過(guò)程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線和直線．其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)．
(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運(yùn)行過(guò)程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低，求這兩個(gè)位置之間的距離．
(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過(guò)．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①將代入即可求解；②將變?yōu)?，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；
（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為，求得，即可求解．
【詳解】（1）解：①∵火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為
∴拋物線和直線均經(jīng)過(guò)點(diǎn)
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
當(dāng)時(shí)，
則
解得，
又∵時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，
則
解得
∴這兩個(gè)位置之間的距離．
（2）解：當(dāng)水平距離超過(guò)時(shí)，
火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為，
將，代入，得
，
解得，
∴．
17．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)的長(zhǎng)為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求解即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長(zhǎng)為．
時(shí)間
里程分段
速度檔
跑步里程
小明
不分段
A檔
4000米
小麗
第一段
B檔
1800米
第一次休息
第二段
B檔
1200米
第二次休息
第三段
C檔
1600米
A型勞動(dòng)用品（件）
B型勞動(dòng)用品（件）
合計(jì)金額（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800
銷售單價(jià)x/元
…
12
14
16
18
20
…
銷售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多