備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國(guó)通用)專題24銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(56題)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過(guò)點(diǎn)作，證明，得到，再證明，分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用正弦的定義，求解即可．
【詳解】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
過(guò)點(diǎn)作，則：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故選A．
3．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（）
A．米B．25米C．米D．50米
【答案】A
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
設(shè)米，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，再由列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值即可．
【詳解】解：設(shè)米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
∵米，
∴，即，
解得：，
側(cè)這棟樓的高度為米．
故選：A．
4．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，即可求出的值．
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，
∵，四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，，其中點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出，解直角三角形求得的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)頂角相等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交格點(diǎn)于點(diǎn)，連接，分別在格點(diǎn)上，
依題意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故選：B．
6．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題意求得和，結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到和，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，結(jié)合角平線的性質(zhì)可得即可．
【詳解】解：∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，
∵平分，
∴．
故選∶C．
7．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．
延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，設(shè)，易得，則，進(jìn)而得出，再得出，最后根據(jù)，即可解答．
【詳解】解：延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
設(shè)，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
二、填空題
8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．若，，則點(diǎn)到的距離為．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用角的余弦值求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，
四邊形為矩形，
，，
，，
，
，即，
解得：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
故答案為：．
9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是．
【答案】
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
折疊問(wèn)題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長(zhǎng)，從而求解即可．
【詳解】解：∵折疊，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案為：．
10．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）在中，，．若是銳角三角形，則邊長(zhǎng)的取值范圍是．
【答案】
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作的高，，根據(jù)題意可得，，在中，根據(jù)三角函數(shù)可得，即，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，作的高，，
是銳角三角形，
，在的內(nèi)部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案為：．
11．（2024·福建·中考真題）無(wú)動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對(duì)帆的作用力為．根據(jù)物理知識(shí)，可以分解為兩個(gè)力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個(gè)力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力．在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】128
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．
【詳解】解：如圖，
∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由題意可知，，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案為：
12．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)的高為米．
【答案】/
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．
如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
則，
在中，，
設(shè)米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大樹(shù)的高度為米．
故答案為：．
13．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開(kāi)物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，右圖為其平面示意圖，已知于點(diǎn)B，與水平線l相交于點(diǎn)O，．若分米，分米．，則點(diǎn)C到水平線l的距離為分米（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）．
【答案】/
【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)H，連接，根據(jù)題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：延長(zhǎng)交l于點(diǎn)H，連接，如圖所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案為：．
14．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．
【答案】/
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長(zhǎng)和大等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長(zhǎng)為，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，
由圖（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作，求出，的值即可得到答案．
【詳解】解：作，交y軸于點(diǎn)F，
由題可得：，
是等邊三角形，，
∴是的角平分線，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題
16．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．
【答案】1
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算．直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)即可得出答案．
【詳解】解：
．
17．（2024·湖北·中考真題）小明為了測(cè)量樹(shù)的高度，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案：
方案一：如圖（1），測(cè)得地與樹(shù)相距10米，眼睛處觀測(cè)樹(shù)的頂端的仰角為：
方案二：如圖（2），測(cè)得地與樹(shù)相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)，眼睛在鏡子中恰好看到樹(shù)的頂端．
已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹(shù)的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，）
【答案】樹(shù)的高度為8米
【分析】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題．
方案一：作，在中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【詳解】解：方案一：作，垂足為，
則四邊形是矩形，
∴米，
在中，，
∴（米），
樹(shù)的高度為米．
方案二：根據(jù)題意可得，
∵，
∴
∴，即
解得：米，
答：樹(shù)的高度為8米．
18．（2024·山東泰安·中考真題）（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）7；（2）
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)運(yùn)算涉及特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對(duì)值，熟練掌握相關(guān)的法則是解題的關(guān)鍵．
（1）利用特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對(duì)值進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算；
（2）利用分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：（1）；
；
（2）
．
19．（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過(guò)定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，此時(shí)測(cè)得（點(diǎn)，，在同一直線上，且直線與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求物體上升的高度（結(jié)果精確到）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由題意得，，故，則．
【詳解】（1）解：由題意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由題意得，，
∴，
∴，
答：物體上升的高度約為．
20．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）（1）計(jì)算：
（2）化簡(jiǎn)：
【答案】（1）1；（2）
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及整式的運(yùn)算．
（1）先計(jì)算絕對(duì)值，零次冪和特殊角的三角函數(shù)，再計(jì)算加減即可．
（2）先計(jì)算平方差公式，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解∶（1）原式
，
（2）原式
21．（2024·湖南·中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運(yùn)算等，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減法即可，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
22．（2024·四川廣安·中考真題）計(jì)算：．
【答案】1
【分析】先計(jì)算零次冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可.
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算絕對(duì)值、零指數(shù)冪、代入特殊角三角函數(shù)值，再進(jìn)行混合運(yùn)算即可.
【詳解】解：
24．（2024·四川遂寧·中考真題）小明的書(shū)桌上有一個(gè)型臺(tái)燈，燈柱高，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)燈帶與水平線夾角為時(shí)（圖1），燈帶的直射寬為，但此時(shí)燈的直射寬度不夠，當(dāng)他把燈帶調(diào)整到與水平線夾角為時(shí)（圖2），直射寬度剛好合適，求此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離．（結(jié)果保留1位小數(shù)）（）
【答案】此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離為
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；在圖1中，，在圖2中求得，進(jìn)而根據(jù)燈柱高，點(diǎn)到桌面的距離為，即可求解．
【詳解】解：由已知，，
在圖1中，
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
在中，
在圖2中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴
∵燈柱高，
點(diǎn)到桌面的距離為
答：此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離為．
25．（2024·四川瀘州·中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，絕對(duì)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的加減運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可解答．
【詳解】解：原式，
，
．
26．（2024·四川自貢·中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)正切值，再運(yùn)算零次冪，絕對(duì)值，算術(shù)平方根，再運(yùn)算加減，即可作答．
【詳解】解：
．
27．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從港出發(fā)，分別向，兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)港正東方向的港裝運(yùn)新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達(dá)港，再沿北偏東方向航行一定距離到達(dá)港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達(dá)港，再沿南偏東方向航行一定距離到達(dá)港．（參考數(shù)據(jù)：，，）
(1)求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．
【答案】(1)，兩港之間的距離海里；
(2)甲貨輪先到達(dá)港．
【分析】（）過(guò)作于點(diǎn)，由題意可知：，，求出，即可求解；
（）通過(guò)三角函數(shù)求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；
本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）如圖，過(guò)作于點(diǎn)，
∴，
由題意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，兩港之間的距離海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由題意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲貨輪先到達(dá)港．
28．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)求的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到千米）；
(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)出發(fā)去景點(diǎn)，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)選擇的路線較近？
【答案】(1)千米
(2)甲選擇的路線較近
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：
（1）過(guò)點(diǎn)B作于E，先求出，再解得到千米，進(jìn)一步解即可得到千米；
（2）過(guò)點(diǎn)C作于D，先解得到千米，則千米，再得到千米，千米，最后解得到千米，千米，即可得到千米，千米，據(jù)此可得答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，

由題意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的長(zhǎng)度約為千米；
（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于D，

在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲選擇的路線較近．
29．（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)得出答案，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
30．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．
(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．
(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)；
(2)電線塔的高度．
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．
（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，據(jù)此求解即可；
（2）作于點(diǎn)，設(shè)，先解得到，解得到米，進(jìn)而得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，
設(shè)，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：電線塔的高度．
31．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）（）計(jì)算：；
（）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】（）；（）．
【分析】（）利用算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別運(yùn)算，再合并即可求解；
（）由得，化簡(jiǎn)代數(shù)式可得，代入計(jì)算即可求解；
本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，掌握實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）原式
，
；
（）∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測(cè)得橋頭在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達(dá)處，測(cè)得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】米
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，根據(jù)題意得出，解求得，，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，
∴四邊形是矩形，
∴，，
依題意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
在中，，
∴．
答：大橋的長(zhǎng)度約為米．
33．（2024·四川巴中·中考真題）（1）計(jì)算：
（2）求不等式組的解集．
（3）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的化簡(jiǎn)與乘方運(yùn)算，再合并即可；
（2）先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再確定兩個(gè)不等式的解集的公共部分即可；
（3）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加減運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）

；
（2），
由不等式①得：；
由不等式②得：；
∴原不等式組的解集為：；
（3）

；
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握以上基本運(yùn)算的運(yùn)算法則與解題步驟是解本題的關(guān)鍵．
34．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng)．教學(xué)樓周圍是開(kāi)闊平整的地面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大?。?br>(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓的高度的方案，方案包括畫(huà)出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫(huà)的圖形上（測(cè)出的距離用等表示，測(cè)出的角用等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明；
(2)根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）將測(cè)角儀放在D處，用皮尺測(cè)量出D到的距離為m，用測(cè)角儀測(cè)出A的仰角為，測(cè)出B的俯角為即可；
（2）過(guò)C作于E，分別在和中，利用正切的定義求出、，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，將測(cè)角儀放在D處，用皮尺測(cè)量出D到的距離為m，用測(cè)角儀測(cè)出A的仰角為，測(cè)出B的俯角為；
（2）解：如圖，過(guò)C作于E，
則四邊形是矩形，，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
答：教學(xué)樓的高度為．
35．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；
(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．
（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里
(2)漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)
【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形．
（1）根據(jù)題意易得，則，再求出（海里），即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)海里，則，，則，求出，進(jìn)而得出海里，海里，根據(jù)勾股定理可得：（海里），即可解答．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
∵燈塔B在燈塔A的南偏東方向，C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
設(shè)海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根據(jù)勾股定理可得：（海里），
∴漁政船的航行時(shí)間為（小時(shí)），
答：漁政船的航行時(shí)間為小時(shí)．

36．（2024·云南·中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪，負(fù)整指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算，即可解題．
【詳解】解：，
，
．
37．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．
解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】的長(zhǎng)為
【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，先求解，再求解，從而可得答案；
【詳解】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的長(zhǎng)為；
38．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．
(1)求證：；
(2)點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，
【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）直接根據(jù)矩形的判定證明即可；
（2）先利用勾股定理結(jié)合矩形的性質(zhì)求得，．進(jìn)而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定得到，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，且?br>所以四邊形是矩形．
所以；
（2）解：在中，，，
所以，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?br>所以，．
因?yàn)?，所以?br>過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，則，
所以，
在中，，
所以．
39．（2024·陜西·中考真題）如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)處的海拔高度，他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，再在上選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角，．求山頂C點(diǎn)處的海拔高度．（小明身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】山頂C點(diǎn)處的海拔高度為．
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在和中，利用三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴山頂C點(diǎn)處的海拔高度為．
40．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）（1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查分式的除法運(yùn)算、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．
（1）根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值可以解答本題；
（2）將除法轉(zhuǎn)換為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
41．（2024·四川眉山·中考真題）計(jì)算：．
【答案】6
【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪運(yùn)算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，即可獲得答案．
【詳解】解：
．
42．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動(dòng)桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．
(1)如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；
(2)如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時(shí)可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在中，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，
由題意可知，，
又，
四邊形為矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度為；
（2）解：過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．
由題意可知，四邊形為矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸縮支撐桿的長(zhǎng)度為．
43．（2024·山東威海·中考真題）某校九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）
(1)設(shè)，，，，，，，，請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫字母填寫在“測(cè)量數(shù)據(jù)”一欄．
(2)根據(jù)（）中選擇的數(shù)據(jù)，寫出求的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程．
(3)假設(shè)，，，根據(jù)（）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出的度數(shù)，你選擇的按鍵順序?yàn)開(kāi)_______．
【答案】(1)，，，；
(2)，推導(dǎo)見(jiàn)解析；
(3)．
【分析】（）根據(jù)題意選擇需要的數(shù)據(jù)即可；
（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，得到，即得，得到，再根據(jù)正弦的定義即可求解；
（）根據(jù)（）的結(jié)果即可求解；
本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：需要的數(shù)據(jù)為：，，，；
（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴按鍵順序?yàn)椋?br>故答案為：．
44．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，太陽(yáng)能板（如圖1）與水平地面的夾角會(huì)對(duì)太陽(yáng)輻射的接收產(chǎn)生直接影響．某地區(qū)工作人員對(duì)日平均太陽(yáng)輻射量（單位：）和太陽(yáng)能板與水平地面的夾角進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻畫(huà)．
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)該地區(qū)太陽(yáng)能板與水平地面的夾角為多少度時(shí)，日平均太陽(yáng)輻射量最大？
(3)圖3是該地區(qū)太陽(yáng)能板安裝后的示意圖（此時(shí)，太陽(yáng)能板與水平地面的夾角使得日平均太陽(yáng)輻射量最大），為太陽(yáng)能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點(diǎn)，．在延長(zhǎng)線上選取一點(diǎn)，在兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)，測(cè)得，在兩點(diǎn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得太陽(yáng)能板頂端的仰角為，，該測(cè)角儀支架的高為1m．求支撐桿的長(zhǎng)．（精確到m，參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將圖中的點(diǎn)代入即可求出答案；
（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，在對(duì)稱軸處取最值；
（3）延長(zhǎng)與過(guò)點(diǎn)作的線交于點(diǎn)，令，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，求出即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，
將代入，
得，
解得，
；
（2）解：根據(jù)函數(shù)解析式得函數(shù)對(duì)稱軸，
故陽(yáng)能板與水平地面的夾角為度時(shí)，日平均太陽(yáng)輻射量最大；
（3）解：，
延長(zhǎng)與過(guò)點(diǎn)作的線交于點(diǎn)，令，
，，
，
，
，
，
，
延長(zhǎng)交與點(diǎn)，
，
，
，
，
，
．
45．（2024·四川涼山·中考真題）計(jì)算：．
【答案】2
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．分別進(jìn)行零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及絕對(duì)值的運(yùn)算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值代入運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
46．（2024·四川涼山·中考真題）為建設(shè)全域旅游西昌，加快旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展．年月日位于西昌主城區(qū)東部的歷史風(fēng)貌核心區(qū)唐園正式開(kāi)園，坐落于唐園內(nèi)的懷遠(yuǎn)塔乃唐園至高點(diǎn)，為七層密檐式八角磚混結(jié)構(gòu)閣樓式塔樓，建筑面積為平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（）堵坡造型．某校為了讓學(xué)生進(jìn)一步了解懷遠(yuǎn)塔，組織九年級(jí)（）班學(xué)生利用綜合實(shí)踐課測(cè)量懷遠(yuǎn)塔的高度．小江同學(xué)站在如圖所示的懷遠(yuǎn)塔前的平地上點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，眼睛距離地面，向塔前行，到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笏撸▍⒖紨?shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）

【答案】．
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，設(shè)，解直角三角形得到，，再根據(jù)可得，解方程求出即可求解，正確解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，，，，
設(shè)，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高為．
47．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來(lái)自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬(wàn)瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽(yáng)光線，，，點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測(cè)量，，，．（結(jié)果精確到）
(1)求“大碗”的口徑的長(zhǎng)；
(2)求“大碗”的高度的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)“大碗”的口徑的長(zhǎng)為；
(2)“大碗”的高度的長(zhǎng)為．
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
（1）證明四邊形是矩形，利用，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
答：“大碗”的口徑的長(zhǎng)為；
（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，
∵矩形碗底，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：“大碗”的高度的長(zhǎng)為．
48．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城的邊長(zhǎng)為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂(lè)城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．
(1)__________，__________；
(2)求點(diǎn)到道路的距離；
(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）
【答案】(1)，
(2)2.0千米
(3)
【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：
（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；
（3）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，
∴，；
故答案為：；
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
在中，，，
．
在中，，
．
答：點(diǎn)到道路的距離為2.0千米．
（3）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
正八邊形的外角均為，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李離點(diǎn)不超過(guò)2.4km，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響．
49．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù)．
【答案】任務(wù)一：冬至，；任務(wù)二：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽(yáng)能熱水器
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵．
任務(wù)一：根據(jù)題意直接求解即可；
任務(wù)二：過(guò)E作于F，利用正切定義求得
【詳解】解：任務(wù)一：根據(jù)題意，要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽(yáng)能板，只需為冬至日時(shí)的最小角度，即，
故答案為：冬至，；
任務(wù)二：過(guò)E作于F，則，米，，
在中，，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
（層），
答：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽(yáng)能熱水器．
50．（2024·四川成都·中考真題）中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子垂直于地面，長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子在太陽(yáng)光線照射下產(chǎn)生的日影為；在冬至?xí)r，桿子在太陽(yáng)光線照射下產(chǎn)生的日影為．已知，，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】9.2尺
【分析】本題主要考查解直角三角形和求平均數(shù)，利用正切分別求得和，結(jié)合題意利用平均數(shù)即可求得春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．
【詳解】解：∵，桿子垂直于地面，長(zhǎng)8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．
∴春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度為．
答：春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度9.2尺．
51．（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖（2）為測(cè)量示意圖（點(diǎn)，，，均在同一平面內(nèi)，）．已知斜坡長(zhǎng)為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．
（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】32m
【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先求解，，再證明，再利用銳角的正切可得，從而可得答案.
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)

由題意得：，
在中，
，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，
在中.
，
答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為.
52．（2024·四川達(dá)州·中考真題）“三匯彩婷會(huì)”是達(dá)州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨(dú)有的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)、起源于漢代、融數(shù)學(xué)，力學(xué)，鍛造，綁扎，運(yùn)載于一體，如圖1，在一次展演活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學(xué)站在處．借助測(cè)角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點(diǎn)的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學(xué)在觀測(cè)點(diǎn)處借助無(wú)人機(jī)技術(shù)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得平行于水平線，中軸上的點(diǎn)的仰角，點(diǎn)、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學(xué)的眼睛到地面的距離米，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求中軸上的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，）

【答案】中軸上的長(zhǎng)度為米
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求得的長(zhǎng)，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

依題意，四邊形是矩形，
∴，
∴
米
答：中軸上的長(zhǎng)度為米．
53．（2024·四川宜賓·中考真題）（1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)，熟記零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，分式化簡(jiǎn)的步驟是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義計(jì)算；
（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
54．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島C，某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北偏西方向上，再沿北偏東方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．
【答案】C，D間的距離為．
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．作于點(diǎn)，利用方向角的定義求得，，，證明是等腰直角三角形，在中，求得的長(zhǎng)，再證明，，在中，利用三角函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：作于點(diǎn)，
由題意得，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D間的距離為．
55．（2024·四川宜賓·中考真題）宜賓地標(biāo)廣場(chǎng)位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長(zhǎng)江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測(cè)量長(zhǎng)江口的寬度，他在長(zhǎng)江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D，在地標(biāo)廣場(chǎng)上選擇兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A、B（點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西方向上，測(cè)得點(diǎn)D在北偏東方向上；在B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西方向上，測(cè)得點(diǎn)D在北偏東方向上，測(cè)得米．求長(zhǎng)江口的寬度的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】長(zhǎng)江口的寬度為米.
【分析】如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，而，可得四邊形，都是矩形，由題意可得：，，證明，可得，設(shè)，，再利用三角函數(shù)建立方程組求解即可.
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，而，
∴四邊形，都是矩形，
∴，，，，
∵由題意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，即，
，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴長(zhǎng)江口的寬度為米.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
56．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，線段的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，點(diǎn)E在第一象限，，連接，求的值；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線上，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使以E、M、N為頂點(diǎn)的三角形是直角邊比為1∶2的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12個(gè)，
【分析】（1）先解方程求出，然后求出直線解析式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，求出，然后證明，即可得到，然后求出得正切值即可；
（3）利用分類討論畫(huà)出圖形，利用勾股定理解題即可．
【詳解】（1）解：解方程得，，
∴，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
把代入得，
∴，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四邊形，
∴，，
∵是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴點(diǎn)N得坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)，如圖，
當(dāng)時(shí)，有個(gè)，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)與O重合，
故點(diǎn)得坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，和點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，直線的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
實(shí)驗(yàn)主題
探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化
實(shí)驗(yàn)用具
擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等
實(shí)驗(yàn)說(shuō)明
如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）
如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，，，；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，，．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）
實(shí)驗(yàn)圖示
課題
測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角
成員
組長(zhǎng)：××× 組員：×××，×××，×××
測(cè)量工具
竹竿，米尺
測(cè)量示意圖
說(shuō)明：是一根筆直的竹竿．點(diǎn)是竹竿上一點(diǎn)．線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到地面的距離．是要測(cè)量的傾斜角．
測(cè)量數(shù)據(jù)
……
……
探究太陽(yáng)能熱水器的安裝
素材一
太陽(yáng)能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項(xiàng)發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽(yáng)能板需要安裝在每天都可以有太陽(yáng)光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．
素材二
某市位于北半球，太陽(yáng)光線與水平線的夾角為α，冬至日時(shí)，；夏至日時(shí)，．
，，
，，
，，
，，
素材三
如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側(cè)都無(wú)法獲得太陽(yáng)光照射．現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽(yáng)能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時(shí)刻的太陽(yáng)光線．
問(wèn)題解決
任務(wù)一
確定使用數(shù)據(jù)
要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽(yáng)能板，應(yīng)選擇________日（填冬至或夏至）時(shí)，α為_(kāi)_______（填，，，中的一個(gè)）進(jìn)行計(jì)算．
任務(wù)二
探究安裝范圍
利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽(yáng)能熱水器．

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