備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國通用)專題29函數(shù)綜合壓軸題(32題)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時(shí)，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，可判斷③，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點(diǎn)，
∴函數(shù)的最小值，
∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∵時(shí)，，
即，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（），下列結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明．可得，．點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進(jìn)而可以求解判斷即可．
【詳解】解：如圖，連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，
，．
，，，
設(shè)，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點(diǎn)、在軸的同側(cè)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
．
．
故選：B．
3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，；
④動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④

【答案】D
【分析】由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，作于點(diǎn)，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時(shí)，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進(jìn)行比較，即可判斷④．
【詳解】解：由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，
作于點(diǎn)，
是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，
，，
，，
，
，
故①正確；
當(dāng)時(shí)，，，
，
是等邊三角形，
，
，
故②正確；
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，
，，
，
最小為，即能取到，
故③錯(cuò)誤；
動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，
，，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，，
；
，
；
同理，當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
；
故④正確；
綜上所述，正確的有①②④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動(dòng)點(diǎn)問題、讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題
4．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②若，則；
③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；
④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是（填寫序號(hào)）．
【答案】②③④
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對(duì)稱軸，即可判斷①，根據(jù)?1,1，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過?1,1得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對(duì)稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，兩點(diǎn)，且．
∴對(duì)稱軸為直線，，
∵，
∴，故①錯(cuò)誤，
∵
∴，即?1,1，兩點(diǎn)之間的距離大于
又∵
∴時(shí)，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為
設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為
∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，
∴
∴
∴
∵，，對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，
∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線上，，，總有，
又，
∴點(diǎn)Ax1,y1離較遠(yuǎn)，
∴對(duì)稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A，另一條直角邊與直線交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段的最小值為．
【答案】
【分析】利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作與關(guān)于對(duì)稱，且交x軸于點(diǎn)，由對(duì)稱性質(zhì)可知，，，當(dāng) 軸于點(diǎn)時(shí)，最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為，作于點(diǎn)，有，設(shè)，則，利用銳角三角函數(shù)建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質(zhì)求出，最后根據(jù)求解，即可解題．
【詳解】解：點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
，
當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作與關(guān)于對(duì)稱，且交x軸于點(diǎn)，
由對(duì)稱性質(zhì)可知，，
當(dāng) 軸于點(diǎn)時(shí)，最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為，
由對(duì)稱性質(zhì)可知，，
作于點(diǎn)，有，
設(shè)，則，
，
，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂線段最短，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況．
6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“倍值點(diǎn)”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點(diǎn)”為．下列說法不正確的序號(hào)為．
①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；
②函數(shù)的圖象上的“倍值點(diǎn)”是和；
③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”，則m的取值范圍是；
④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，且當(dāng)時(shí)，n的最小值為k，則k的值為．
【答案】①③④
【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．
【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯(cuò)誤；
②函數(shù)中，令，則，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)或都是原方程的解，
故函數(shù)的圖象上的“倍值點(diǎn)”是和，故②說法正確；
③在中，
令，則，
整理得，
∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”，
∴且，
解得且，故③說法錯(cuò)誤；
④在中，
令，則，
整理得，
∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，
∴，
整理得，
∴對(duì)稱軸為，此時(shí)n的最小值為，
根據(jù)題意分類討論，
，解得；
，無解；
，解得或（舍去），
綜上，k的值為0或，故④說法錯(cuò)誤；
故答案為：①③④．
7．（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．則下列說法正確的序號(hào)為．（少選得1分，錯(cuò)選得0分，選全得滿分）
①
②當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為3
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式一定成立
④Px1,y1，Qx2,y2為該二次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且．當(dāng)時(shí)，一定有
【答案】①③④
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應(yīng)用，利用的應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
由二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．可得，可得①符合題意；由，可得，結(jié)合，可得②不符合題意；由對(duì)稱軸為直線，結(jié)合，可得③符合題意；分三種情況分析④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，不滿足，不符合題意，舍去，可得④符合題意；
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，
而二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱．
∴，
∴，故①符合題意；
∴，
∴
，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值，故②不符合題意；
∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，
∴，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式一定成立，故③符合題意；
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，滿足，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，不滿足，不符合題意，舍去，故④符合題意；
綜上：符合題意的有①③④；
故答案為：①③④．
三、解答題
8．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊上（端點(diǎn)除外），邊相交于點(diǎn)G，邊相交于點(diǎn)H．
(1)如圖1，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；
(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；
(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．
【答案】(1)菱形
(2)
(3)，理由見解析
【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，則四點(diǎn)共圓，由三線合一定理得到，則為過的圓的直徑，再由，得到為過的圓的直徑，則點(diǎn)H為圓心，據(jù)此可證明，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可證明四邊形是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，則由平行線的性質(zhì)可推出，進(jìn)而可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，則可設(shè)，則，，由勾股定理得到，可得，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；
（3）過點(diǎn)B作于M，過點(diǎn)E作于N，連接，則，，，證明，進(jìn)而可證明，得到，則，即．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接
∵都是等邊三角形，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∴為過的圓的直徑，
又∵，
∴為過的圓的直徑，
∴點(diǎn)H為圓心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形，
∴兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；
（2）解：∵都是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等邊三角形，
過點(diǎn)E作，
∴設(shè)，則，，
∴，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；
（3）解：，理由如下：
如圖所示，過點(diǎn)B作于M，過點(diǎn)E作于N，連接，
∵都是邊長為的等邊三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)與的圖像均過點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)在時(shí)形成的封閉圖像如圖所示，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線與封閉圖像交于，兩點(diǎn)．給出下列結(jié)論：
①；
②；
③以，，，為頂點(diǎn)的四邊形可以為正方形；
④若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上（，，三點(diǎn)不共線），則周長的最小值為．
其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸均為直線，根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求出，可判斷①正確；過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，證明，可得，可判斷②正確；當(dāng)點(diǎn)、分別在兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)上時(shí)，，點(diǎn)、的橫坐標(biāo)均為，求出的長度，得到，可判斷③正確；作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)周長的最小，小值為，即可判斷④．
【詳解】解：①二次函數(shù)與的圖像均過點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，
，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸均為直線，
即，
解得：，故①正確；
②如圖，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，
，
由函數(shù)的對(duì)稱性可知，
在和中，
，
，
，故正確②；
③當(dāng)點(diǎn)、分別在兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)上時(shí)，，點(diǎn)、的橫坐標(biāo)均為，
由①可知兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為，，
，，
，
點(diǎn)，
，
，
由，
此時(shí)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，故③正確；
④作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)周長的最小，最小值為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，，
，，
周長的最小值為，故正確④；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，對(duì)稱中的最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．
10．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
(1)________；
(2)如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；
②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，即；
（2）①先求出解析式為，可知對(duì)稱軸為直線：，當(dāng)，且時(shí)，y隨著x的增大而減小，故當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，由得，，解得；②在中，可求，由題意得，，，四邊形為平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，則，設(shè)，則，則，故，則，將點(diǎn)代入，得，解得，故；當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，則，由，得，則，設(shè)，則，故，解得，即；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，而，故，即，可得，將點(diǎn)P代入，得，解得或（舍），因此，綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即；
（2）解：①將點(diǎn)A代入
得，，
解得：，
∴解析式為：，
而，
∴對(duì)稱軸為直線：，
當(dāng)，且時(shí)，
∴y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由題意得，，，
∴四邊形為平行四邊形或等腰梯形，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，

∵軸，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
即；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線上時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，
∵
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)P代入，
得：，
解得：或，
而當(dāng)時(shí)，，故舍，
∴，
綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
11．（2024·北京·中考真題）小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯），在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如下，
當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有mL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：
(1)補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：
①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；
②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一都分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
【答案】(1)1.0
(2)見詳解
(3)1.2，8.5
【分析】本題考查了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量，正確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，則可求，代入即可求解；
（2）畫與之間的關(guān)系圖象時(shí)，描點(diǎn)，連線即可，畫與的關(guān)系圖像時(shí)，由于是正比例函數(shù)，故只需描出兩點(diǎn)即可；
（3）①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差；②在左右兩側(cè)找到等距的體積所對(duì)應(yīng)的高度相同，大致為．
【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，
由表格數(shù)據(jù)得：，
解得：，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴；
（2）解：如圖所示，即為所畫圖像，
（3）解：①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差，
故答案為：1.2；
②由圖象可知當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，估算高度約為，
故答案為：．
12．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
(1)直接寫出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．
（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；
（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；
Ⅱ：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無交點(diǎn)，考慮兩個(gè)臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)；當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，即方程無解；
Ⅲ：可求點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．
【詳解】（1）解：∵，
∴將，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴將，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，，，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大，
綜上，x的取值范圍：或；
Ⅱ，∵，
∴，在時(shí)無解，
∴問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無交點(diǎn)，
∵對(duì)于，當(dāng)時(shí)，
∴頂點(diǎn)為，如圖：
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)；
當(dāng)，，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，
∴當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，
即：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
∵當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
∴①當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴；
②當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴，
綜上：或．
13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長最小．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
(3)的取值范圍為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)M，此時(shí)的周長最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；
（3）以為邊在的下方作等邊三角形，得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）解：∵點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)，
∵，，
∴長為定值，
作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接交軸于點(diǎn)M，
則，
∴，此時(shí)的周長最小，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（3）解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點(diǎn)，連接，，
∵等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的上，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為；
當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，有最大值為；
∴的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
14．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點(diǎn)，．
(1)求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若圖象過點(diǎn)C0,6，點(diǎn)P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點(diǎn)P且與x軸平行，與圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象的交點(diǎn)為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作．交圖象于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)時(shí)，求圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）可求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱軸為直線．作直線，交直線l于點(diǎn)H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，，，由，得到，設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，，，故有，解得，（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）連接DE，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，可求，，則，，，而，則．設(shè)，則，，，即，可得，故，則，則①，由點(diǎn)F在上，得到，化簡(jiǎn)得②，由①，②可得，解得m=85，因此，故的函數(shù)表達(dá)式為．
【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，
，
解得：
對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)C0,6代入
得：，
解得：．
對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，其對(duì)稱軸為直線．
又圖象的對(duì)稱軸也為直線，
作直線，交直線l于點(diǎn)H（如答圖①）
由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，，
∴．
又，而
．
設(shè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．
將代入，得，
將代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：連接DE，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作于點(diǎn)I，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)J．（如答圖②）
，軸，軸，
四邊形為矩形，
，．
設(shè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，
點(diǎn)D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點(diǎn)，
將分別代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
設(shè)，則，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
點(diǎn)F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函數(shù)表達(dá)式為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．
(2)過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）
(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，，補(bǔ)圖見解析
(3)、、、
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進(jìn)而分別求得，，根據(jù)可得，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，．進(jìn)而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進(jìn)而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．
（3）①以BD為對(duì)角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)交直線于，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，②以BD為邊，如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以BD為邊，如圖以點(diǎn)為圓心，BD長為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，連接，，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過點(diǎn)作，過作，和相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得；
【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵軸且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，，
∴，．
連接交拋物線于，連接交拋物線于，
∴，的解析式為，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，．
（3）、、、．
方法一：
①以BD為對(duì)角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)交直線于
∵，D1,4，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
．
②以BD為邊
如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點(diǎn)，；連接，，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，和相交于點(diǎn)，同理可得
，D1,4，
，
．
過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
點(diǎn)是由點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到的，
，，
③以BD為邊
如圖以點(diǎn)為圓心，BD長為半徑畫圓交直線于點(diǎn)和，
連接，，則，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)作，過作，
和相交于點(diǎn)，
∵、，
的中點(diǎn)．
D1,4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
綜上所述：、、、．
16．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記．
(1)求的值；
(2)比較與的大小．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線直接求解；
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴，
∴；
（2）解：∵是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
當(dāng)時(shí)，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，與x軸交點(diǎn)問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行降次處理．
17．（2024·江蘇常州·中考真題）對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．
(1)如圖，是線段的四等分點(diǎn)．若，則在圖中，線段的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；
(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、1,0、0,4，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓．若對(duì)上的任意點(diǎn)，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)圖見解析（答案不唯一）
(3)或
【分析】（）根據(jù)平移的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；
（）延長，在射線上截取線段，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即為所求；
（）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵是線段的四等分點(diǎn)．，
∴，
∴，
∴線段的平移圖形是，；
故答案為：，；
（2）解：如圖所示，即為所求；
由作圖可知：，
∴四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴四邊形為菱形，
∴，
∴即為所求；
（3）∵點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、1,0、0,4，
∴，
∵對(duì)上的任意點(diǎn)，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，且，
∴，
當(dāng)在圓外，點(diǎn)在軸上，時(shí)，
∴，，
∴，
當(dāng)在圓內(nèi)，點(diǎn)在軸上，時(shí)，
∴，，
∴，
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的平移，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．
18．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)Q．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求的值；
(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線，分別交拋物線和于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，準(zhǔn)確利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)平移規(guī)律即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立與得到，解得，即可求出答案；
（3）由（1）可得，，與聯(lián)立得到，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，與聯(lián)立得到，則，得到，即可得到，得到定值．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴，
∵拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，
∴
即
（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得到，
則
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立與得到
，
解得，
則
（3）解：由（1）可得，，與聯(lián)立得到，，
解得，
此時(shí)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在上，
∴
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為
設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得到，
則
解得，
∴直線的解析式為，
與聯(lián)立得到，
，
整理得到，
則，
即，
即，
即為定值．
19．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線，頂點(diǎn)為．
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；
(3)如圖2，連接，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖像上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接，過點(diǎn)作軸，交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，解方程組得到直線的表達(dá)式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，將代入，解方程即可；
（3）過作軸，垂足為，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且，求得拋物線的頂點(diǎn)，得到，推出，解方程得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)
得
解得
拋物線的表達(dá)式為
頂點(diǎn)；
（2）解：如圖，連接，過點(diǎn)作軸，交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，與軸交于，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
設(shè)直線的表達(dá)式為
由題意知
解得
直線的表達(dá)式為
的面積為12
，
，
解得（舍）
點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)
將代入
得
解得．
（3）解：如圖，過作軸，垂足為，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，設(shè)且
拋物線的頂點(diǎn)
，
易得
當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)橫坐標(biāo)最小值為，此時(shí)點(diǎn)到直線距離最近，的面積最小
最近距離即邊上的高，高為：
面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求b的值；
(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；
(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長為d．
①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；
②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，作軸于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于的方程求解即可；
（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對(duì)值即可；
②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點(diǎn)，，，再分別兩兩進(jìn)行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，
，
解得：；
（2），
二次函數(shù)表達(dá)式為：，
令，解得或，令得，
，，，
設(shè)，
作軸于點(diǎn)，如圖，
，
，即，
解得或（舍去），
的橫坐標(biāo)為；
（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，
縱坐標(biāo)不變?yōu)?，
圖象的解析式為，
，
，
；
②由①得，畫出大致圖象如下，
隨著增加而增加，
或，
中含，，三個(gè)整點(diǎn)（不含邊界），
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
，或，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
或，，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，此種情況不存在，舍去．
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式及二次函數(shù)與線段交點(diǎn)的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵．
21．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求的面積；
(3)若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)表達(dá)式為
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
（1）依據(jù)題意，由在反比例函數(shù)上，可得的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)，再將代入求出的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；
（2）依據(jù)題意，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，由直線為，可得，故，再由，進(jìn)而計(jì)算可以得解；
（３）依據(jù)題意，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則的最小值等于的長，結(jié)合)與關(guān)于軸對(duì)稱，故為，又，可得直線為，再令，則，進(jìn)而可以得解．
【詳解】（1）解：由題意，∵在反比例函數(shù)上，
∴．
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．
又在反比例函數(shù)上，
∴．
∴．
設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為，
∴，
∴，．
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：由題意，如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
又直線l為，
∴，．
∴，，
∴；
（3）解：由題意，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，則的最小值等于的長．
∵與關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴為．
又，設(shè)的解析式為，
則，解得，
∴直線為．
令，則．
∴．
22．（2024·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)如圖1，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)如圖2，連接，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．記、、的面積分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）令時(shí)，，求出，進(jìn)一步求出直線的解析式為，設(shè)，則，表示出，，利用，可得，可得；
（3）由得到，進(jìn)而得到，作交y軸于N，作軸交于Q，求出直線的解析式為，進(jìn)而得到，求出，再證明，設(shè)，則，得到，得到，即可得到此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求出，，證明，得到，由即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為．；
（2）解：∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∵軸于點(diǎn)D，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（此時(shí)，重合，不合題意舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
∴，
，
作交y軸于N，作軸交于Q，
直線的解析式為，，
直線的解析式為，
將代入，得：，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴,，
，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
，
設(shè)，則，
∴，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
23．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)或或或或
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）先求出點(diǎn)，再分類求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，
則，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
∵，故有最大值，
此時(shí)，則，
即點(diǎn)；
（3）解：存在，理由：
設(shè)直線的表達(dá)式為，
由點(diǎn)的坐標(biāo)得，，解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
令，，故，
過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，
，
則，
即直線和關(guān)于直線對(duì)稱，故，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
代入，，得，
解得：，
則直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
解得：(舍去)或5，
即點(diǎn)；
設(shè)點(diǎn)，由的坐標(biāo)得，，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，即點(diǎn)或；
當(dāng)或時(shí)，
同理可得：或，
解得：或，
即點(diǎn)或或；
綜上，點(diǎn)或或或或．
【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
24．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為AB中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．
①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；
②若直線AD，交于點(diǎn)，則無論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①見解析；②的面積為定值
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設(shè)，，設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．
【詳解】（1）解：將，代入得，
解得：
∴拋物線解析式為
（2）解：對(duì)于，令，
解得：
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如圖所示，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則
∴，
∴
解得：（舍去）或
∴
（3）①點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，
∵點(diǎn)為AB中點(diǎn)，，
∴,
設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0，代入,
∴
解得：
∴
聯(lián)立
解得：或
∴，在直線上
即，，三點(diǎn)共線；
②設(shè)，
∵，，三點(diǎn)共線；
∴設(shè)的解析式y(tǒng)=kx?1，
聯(lián)立
消去得，
∴
∵，
設(shè)直線解析式為，直線的解析式為
聯(lián)立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不為定值，
∴在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴到軸的距離為定值，
∵直線AD，交于點(diǎn)，則無論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，
∴的面積為是定值．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；
(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出a和c的值，即可得出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進(jìn)行分類討論即可；
（3）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)為正方形的邊時(shí)；當(dāng)為正方對(duì)角線時(shí)，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．
【詳解】（1）解：把，B2,1代入得：
，
解得：，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖象上，
∴，，
∴，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
（3）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
把，B2,1代入得：，
解得：，
∴直線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)為正方形的邊時(shí)，
①∵B2,1，
∴，
過點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，過點(diǎn)P作的垂線，垂足為點(diǎn)H，
∵軸，
∴，
∴，則，
設(shè)，則，
∴，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，
即，
∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如圖：構(gòu)造，
和①同理可得：，，
設(shè)，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如圖：構(gòu)造，
和①同理可得：，，
設(shè)，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如圖：構(gòu)造，
和①同理可得：，，
設(shè)，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
當(dāng)為正方形對(duì)角線時(shí)，
⑤如圖：構(gòu)造矩形，過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，
易得，
∴，
設(shè)，則，
和①同理可得：，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，
∴，則，
∴，
設(shè)，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如圖：構(gòu)造，
同理可得：，
設(shè)，則，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
綜上：或或或或或
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解答．
26．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．
(1)求a，c的值；
(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，
②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或
【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得，進(jìn)而可求得；
（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；
②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過，
∴，
∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴該二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，．
②設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，
綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．
27．（2024·遼寧·中考真題）已知是自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)為函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．例如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)是函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．
(1)求函數(shù)的“升冪函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”在點(diǎn)上方，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的值；
②若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，過點(diǎn)作軸的平行線，與函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象相交于點(diǎn)，以，為鄰邊構(gòu)造矩形，設(shè)矩形的周長為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
③在②的條件下，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，若，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②；③或
【分析】（1）根據(jù)“升冪函數(shù)”的定義，可得，即可求解，
（2）設(shè)，根據(jù)“升冪點(diǎn)”的定義得到，由，在點(diǎn)上方，得到，即可求解，
（3）①由，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，即可求解，②由，得到對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，結(jié)合，則，得到，進(jìn)而得到，，由點(diǎn)在點(diǎn)的上方，得到點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，解得：，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，即可求解，③根據(jù)②中結(jié)論得到，，，將，，代入，得到，，，結(jié)合圖像可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，結(jié)合，可得，當(dāng)時(shí)，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，
【點(diǎn)睛】本題考查了，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)綜合，根據(jù)系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將題目所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，
故答案為：，
（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，
∵，在點(diǎn)上方，
∴，解得：，
∴；
（3）解：①根據(jù)題意得：，則，
∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，解得：或，
②根據(jù)題意得：，
∴對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∵，則，
∴，解得：，
∴，，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的上方，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，，
當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，
∴，
③∵，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，
∴，，，
直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，
當(dāng)時(shí)，
，解得：或（舍），
∴，
∴，解得：，
∴，
或．
28．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B4,0，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；
(3)如圖2，連接，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出的解析式，設(shè)，則：，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（3）易得垂直平分，設(shè)，勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出，分別作點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵B4,0，
∴，
∵，
∴，
∴，
把B4,0，，代入函數(shù)解析式得：
∴，解得：；
∴；
（2）∵B4,0，，
∴設(shè)直線的解析式為：，把B4,0，代入，得：，
∴，
設(shè)，則：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；
（3）存在：
令，
解得：，
∴A?2,0，
∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交拋物線與點(diǎn)，則：，，
設(shè)的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：（舍去）或，
∴；
②取關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，
則：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)作軸，則：，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：（舍去）或，
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長，坐標(biāo)與軸對(duì)稱，勾股定理，解直角三角形，等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，屬于中考?jí)狠S題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
29．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在的延長線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長2分點(diǎn)”，例如：如圖1，是線段外一點(diǎn)，在的延長線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段上，所以點(diǎn)P是線段的“延長2分點(diǎn)”．
(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點(diǎn)”；
(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，求b的最小值：
(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖象，進(jìn)行判斷即可；
（2）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，根據(jù)直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，得到直線與有交點(diǎn)，進(jìn)而得到當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，值最小，進(jìn)行求解即可；
（3）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似，得到與有交點(diǎn)，求出與相切以及與相切，兩種情況求出的臨近值，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：作線段以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，
∵，，
∴，，
∵點(diǎn)是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
∴點(diǎn)在線段上，
∵在線段上，
∴是圖形的“延長2分點(diǎn)”；
故答案為：；
（2）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似圖形，如圖，
∵，，
∴，，
∵直線上存在點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
∴直線與有交點(diǎn)，
∴當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，值最小，
把，代入，得：，
∴的最小值為；
（3）作以原點(diǎn)為位似中心，位似比為的位似，
∵，，，
∴，，，
∵等腰直角三角形上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形的“延長2分點(diǎn)”，
∴當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)與相切時(shí)，如圖，則：或，
∴時(shí)，滿足題意；
當(dāng)與相切時(shí)，且切點(diǎn)為，連接，則：，

∵為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形，
∵，，，
∴軸，
∴，
∵以為圓心，半徑為1的，
∴點(diǎn)在直線上，，
∴，
∴，
∴或，
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換—位似，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于壓軸題，理解并掌握新定義，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
30．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)、．
(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求證：當(dāng)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值始終為2；
(3)作的垂直平分線交直線于點(diǎn)，以為邊、為對(duì)角線作菱形，連結(jié)．
①當(dāng)與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形的面積；
②當(dāng)此拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)①；②或或
【分析】（1）將代入，解方程即可；
（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，由題意得，則，，因此；
（3）①記交于點(diǎn)M，，而對(duì)稱軸為直線，則，解得：，則，，由，得，則，因此；
②分類討論，數(shù)形結(jié)合，記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，則，故菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，符合題意，過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，由，得到，解得：或（舍），故，當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意：當(dāng)m繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，故；當(dāng)m繼續(xù)變小，直線經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，也符合題意，過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，同上可得，，解得：或（舍），當(dāng)m繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，因此，故m的取值范圍為：或或．
【詳解】（1）解：將代入，
得：，
解得：，
∴拋物線表達(dá)式為：；
（2）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，
由題意得：，
∴，，
∴在中，；
（3）解：①如圖，記交于點(diǎn)M，

由題意得，，
由，
得：對(duì)稱軸為直線：
∵四邊形是菱形，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于對(duì)稱，，
∵與此拋物線的對(duì)稱軸重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，則，
∴；
②記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，把代入，得：，
∴，
∵拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大，
∴菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，
當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意，
當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，符合題意，如圖：
過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意：
當(dāng)m繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，符合題意，如圖：
∴；
當(dāng)m繼續(xù)變小，直至直線經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，也符合題意，如圖：
過點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
當(dāng)m繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題意，如圖：
∴，
綜上所述，m的取值范圍為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求銳角的正切值，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出臨界狀態(tài)是解決本題的關(guān)鍵．
31．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的右邊），交軸于點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點(diǎn)作直線，交y軸于點(diǎn)．若平分線段，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖（2），點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，過原點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸下方），線段交拋物線于另一點(diǎn)，連接．若，求直線的解析式．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分別令，解方程，即可求解；
（2）分別求得直線，根據(jù)得出的解析式，設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平分線段，則的中點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求解．
（3）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，，，進(jìn)而求得，代入，化簡(jiǎn)后得出，即，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：由，
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)，
解得：
∵在的右邊
∴，，
（2）解：設(shè)直線的解析式為y=kx+bk≠0
將，代入得，
解得：
∴直線的解析式為
∵
設(shè)直線的解析式為
∵在第三象限的拋物線上
設(shè)，
∴
∴
∴
設(shè)的中點(diǎn)為，則
由，，設(shè)直線的解析式為，
將代入得，
，
解得：
∴直線的解析式為，
∵平分線段，
∴在直線上，
∴
解得：（舍去）
當(dāng)時(shí)，
∴；
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，
∴
∴
∴
∴
即
∵點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
∴,
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，，
即
聯(lián)立直線與拋物線解析式可得，
即
設(shè)，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
將代入得：
∴，
∴，
∴直線解析式為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的性質(zhì)與判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
32．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長為，請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）先求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；
（3）分四種情形：當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)，和時(shí)，可得出沒有最大值．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，
，
解得，
該拋物線的解析式為：；
（2）解：二次函數(shù)中，令，則，
，
設(shè)直線的解析式為：．將，代入得到：
，解得，
直線的解析式為：，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
，，
，
點(diǎn)在直線下方的拋物線上，
；
（3）解：如圖1，

當(dāng)時(shí)，
作，交于，
，
，
把代入得，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
如圖2，
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，
，
時(shí)，隨著的增大而增大，
沒有最大值，
沒有最大值，
如圖3，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
沒有最大值，
沒有最大值，
如圖4，

當(dāng)時(shí)，
由上可知，
沒有最大值，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．
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40
100
200
300
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2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
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0
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4.8
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8.9
10.5
11.8

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