2025年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題(新高考通用)專題06平面向量與解三角形(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：平面向量
易錯(cuò)點(diǎn)01 對(duì)平面向量的基本概念理解不到位
易錯(cuò)點(diǎn)02 忽略平面向量夾角的范圍與方向性
易錯(cuò)點(diǎn)03 忽略向量共線時(shí)的兩種情況
易錯(cuò)點(diǎn)04 錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律
題型二：解三角形
易錯(cuò)點(diǎn)05 解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)
易錯(cuò)點(diǎn)06 忽略邊角互化條件
易錯(cuò)點(diǎn)07 忽略三角形中的隱含條件
題型一：平面向量
易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

典例（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列結(jié)論中，其中正確的是（）
A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行
B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面
C．若三個(gè)向量，，兩兩共面，則向量，，共面
D．已知空間的兩個(gè)不共線向量，，對(duì)于空間的一個(gè)向量，存在實(shí)數(shù)x，y，使得，則向量與向量，共面
【答案】D
【分析】根據(jù)向量共線共面的判斷，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】選項(xiàng)A，向量共線，則向量所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，根據(jù)空間向量的意義知，空間任意兩個(gè)向量都共面，故B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C，由于三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫遣灰欢ü裁?，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，已知向量是空間的一個(gè)基底，若，則向量共面，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
【易錯(cuò)剖析】
在解題時(shí)容易混淆向量平行與直線平行的不同而出錯(cuò)，另外也容易忽略零向量的特殊性.
【避錯(cuò)攻略】
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量，向量的大小叫作向量的模．
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．
(4)共線向量：若兩個(gè)非零向量a，b的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量為共線向量或平行向量，規(guī)定：零向量與任一向量共線．
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
【解讀】(1)利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn)．
(2)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用．
3．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
【解讀】共線向量定理中規(guī)定a≠0原因：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，但此時(shí)向量a與b共線；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ矛盾．
因此限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．
易錯(cuò)提醒：(1)注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0；(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性；(4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上；（5）向量平行與向量共線是完全相同的一個(gè)概念，指兩個(gè)向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可以重合；但直線平行不包含直線重合的情況．
1．（2024高三·北京·專題練習(xí)）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動(dòng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；②若，都是單位向量，則；③向量與相等.其中正確命題的序號(hào)為（）
A．①B．③C．①③D．①②
【答案】A
【分析】由向量的有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)橥较蚯夷Ｏ嗟鹊南蛄肯嗟?，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，
且零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的，故①正確；
根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，
故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；
向量與互為相反向量，故③錯(cuò)誤.
故選：A.
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．若與都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件.
C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線.
D．若，則.
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.
【詳解】對(duì)A，都是單位向量，則模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對(duì)C，因?yàn)榕c反向共線，
且，都為單位向量，則，C正確；
對(duì)D，若，則，D正確，
3．（23-24高一下·四川·期中）下列命題正確的是（）
A．若與都是單位向量，則
B．方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線向量
C．若與是平行向量，則
D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)與不重合
【答案】BD
【分析】利用向量相等的條件，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，利用共線向量的定義可判斷出選項(xiàng)B的正誤，根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)D的正誤，從而得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若與都是單位向量，則，但與可以方向不同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榉较驗(yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量方向相反，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，若與是平行向量，但當(dāng)或與方向相反，不滿足，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，由向量的幾何表示知，選項(xiàng)D正確，
故選：BD.
1．（2024高三·北京·專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）
A．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
B．共線向量是在同一條直線上的向量
C．零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的
D．就是所在的直線平行于所在的直線
【答案】C
【分析】AB根據(jù)相等向量和共線向量的定義作出判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，舉出反例.
【詳解】A選項(xiàng)，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；
B選項(xiàng)，方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；
C選項(xiàng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的，C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所在的直線與所在的直線可能重合，故D不正確．
故選：C．
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量與共線，下列說(shuō)法不正確的是（）
A．或
B．與平行
C．與方向相同或相反
D．存在實(shí)數(shù)，使得
【答案】A
【分析】根據(jù)共線向量的概念，以及向量共線定理，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】非零向量與共線，
對(duì)于A，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵向量與共線，∴向量與平行，故B正確；
對(duì)于C，∵向量與共線，∴與方向相同或相反，故C正確；
對(duì)于D，∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確．
故選：A．
3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則方向相同，C 正確；
對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.
故選：C.
4．設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）
A．與的方向相反B．與的方向相同
C．D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運(yùn)算一一判定即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，顯然，即B正確；
對(duì)于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C不正確；
對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有（）
A．平行向量就是共線向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．與同向，且，則
D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件
【答案】BC
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A，由平行向量和共線向量的定義可知，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾矗L(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等可以推出這兩個(gè)向量平行，
因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D正確．
故選：BC.
6．（23-24高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）（多選）給出下列命題，其中假命題為（）
A．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等
B．向量與平行，則與的方向相同或相反
C．?與方向相反
D．若非零向量與非零向量的方向相同或相反，則與，之一的方向相同
【答案】BCD
【分析】根據(jù)平面向量的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，命題成立；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，命題不成立；
對(duì)于C，當(dāng)，之一為零向量時(shí)，命題不成立；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的方向是任意的，它可以與，的方向都不相同，命題不成立；
故選：BCD.
7．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）
A．若，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且，則與共線
C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得
D．若是兩個(gè)單位向量，且，則
【答案】CD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合零向量的性質(zhì)，共線向量的概念，以及向量的線性運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，若，則與的方向相同或相反，所以A正確；
對(duì)于B中，由為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，因?yàn)椋耘c共線，所以B正確；
對(duì)于C中，當(dāng)，且為非零向量時(shí)，此時(shí)不存在，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由，可得，
所以，所以D錯(cuò)誤．
故選：CD．
8．（多選）下列敘述中正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反
D．對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量
【答案】CD
【分析】A注意即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷；C由共線向量的定義判斷；D由單位向量的定義判斷.
【詳解】A：若時(shí)，不一定有，錯(cuò)誤；
B：向量不能比較大小，錯(cuò)誤；
C：非零向量與且//，則與的方向相同或相反，正確；
D：非零向量，則是一個(gè)單位向量，正確.
故選：CD
9．（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A．就是所在的直線平行于所在的直線
B．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量
C．零向量的長(zhǎng)度等于0
D．
【答案】AB
【分析】對(duì)于A，利用平行向量的定義即可判斷；
對(duì)于B，利用相等向量的定義即可判斷；
對(duì)于C，根據(jù)零向量的定義即可判斷；
對(duì)于D，根據(jù)向量的加法即可求解.
【詳解】對(duì)于A，若，則的方向相同或相反，所在的直線與所在的直線平行或在同一直線上，故A不正確；
對(duì)于B，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正確；
對(duì)于C，長(zhǎng)度為0的向量為零向量，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：AB.
易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略平面向量夾角的范圍與方向性

典例（23-24高三上·山東聊城·期末）已知向量，，若與所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍： .
【答案】
【分析】與所成的角為鈍角即且與不平行，列式求解即可.
【詳解】與所成的角為鈍角即且與不平行，
即，
所以.
故答案為：.
【易錯(cuò)剖析】
本題容易誤認(rèn)為是與夾角為鈍角的充要條件而出錯(cuò)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)與夾角可能為.
【避錯(cuò)攻略】
1.向量的模
（1）向量的大小叫向量的模. 向量的模為.
（2）若，則向量的模.
2.向量的夾角
（1）已知兩個(gè)非零向量a，b(如圖)，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向．
設(shè)是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則
3．垂直：如果a與b的夾角是eq \f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.
易錯(cuò)提醒：（1）兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角（2）向量的夾角是指向量方向的夾角；（3）向量的夾角范圍是，這一點(diǎn)是與直線的夾角范圍是不同的，要注意區(qū)分.
1．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）已知向量，，若與所成的角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積為正可求參數(shù)的取值范圍，注意與不共線同向.
【詳解】因?yàn)榕c所成的角為銳角，故且不共線同向.
故即.
若共線，則即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
2．（24-25高三上·北京順義·期中）設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】將向量的模用向量的數(shù)量積來(lái)表示，化簡(jiǎn)后結(jié)合向量夾角的范圍，即可判斷.
【詳解】
由題意知，，不共線，所以，
所以與的夾角為銳角，
故“與的夾角為銳角”是“”的充分必要條件；
故選：C.
3．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】應(yīng)用向量加減法的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律，將作轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用數(shù)量積的定義求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)
.
故選：C
1．（23-24高三上·北京·開學(xué)考試）已知不共線的兩個(gè)非零向量，則“與所成角為鈍角”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椤芭c所成角為鈍角,所以，
所以“與所成角為鈍角”是“”的充要條件.
故選：C.
2．（24-25高三上·河南安陽(yáng)·期中）設(shè)非零向量的夾角為，若，則“為鈍角”是“”的（）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積和模長(zhǎng)關(guān)系分析可知等價(jià)于，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，解得，
即等價(jià)于，
若為鈍角，則，即充分性成立；
若，則為鈍角或平角，即必要性不成立；
綜上所述：“為鈍角”是“”的充分不必要條件.
故選：C.
3．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量滿足，且與的夾角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件計(jì)算出以及，結(jié)合夾角余弦公式求解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：D．
4．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）已知為單位圓的內(nèi)接正三角形，則（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)內(nèi)接正各邊以及與單位圓半徑的關(guān)系，求出各邊長(zhǎng)度，再根據(jù)的模長(zhǎng)與夾角代入平面向量數(shù)量積公式求解答案.
【詳解】如圖所示:

因?yàn)閱挝粓A半徑為1，為單位圓的內(nèi)接正三角形，
可得，又也是正的中心，延長(zhǎng)交于，
可得，，，
設(shè)的邊長(zhǎng)為，則由勾股定理得，
即，解得.
所以，.又因?yàn)榈膴A角為的補(bǔ)角，
，所以的夾角為，
所以.
故選：A.
5．（2024·云南貴州·二模）設(shè)向量，且，則，和所成角為
【答案】
【分析】將化簡(jiǎn)變形，并將坐標(biāo)代入求出，根據(jù)判斷兩個(gè)向量夾角為直角．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)整理得，所以，所以．
因?yàn)?，所以和所成角為?br>故答案為：；.
6．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則 .
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直和向量模的坐標(biāo)表示得到方程組，再結(jié)合與向量的夾角為鈍角得到，最后解出方程組即可.
【詳解】設(shè)，，，①，，②，
因?yàn)榕c向量夾角為鈍角，，③，
由①②③解得，.
故答案為：.
7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為 .
【答案】
【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，
，而，
所以.
故答案為：
8．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知，，若與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平行坐標(biāo)公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.
【詳解】因?yàn)榕c夾角為鈍角，
可以得出，解得：，
且不平行，則，
即且，即.
故答案為：
易錯(cuò)點(diǎn)03：忽略向量共線時(shí)的兩種情況

典例（24-25高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知單位向量與向量共線，則向量的坐標(biāo)是．
【答案】或.
【解析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由題意，單位向量與向量共線，
則向量，即向量的坐標(biāo)是或.
【易錯(cuò)剖析】共線向量的定義指出方向相同或相反的非零向量稱為共線向量，并規(guī)定零向量與任意向量共線，本題容易忽略方向相反的情況而造成漏解.
【避錯(cuò)攻略】
1.向量數(shù)乘的定義
規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反.當(dāng)或時(shí)，.
2.向量共線（平行）定理
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.
3.平面向量共線的坐標(biāo)表示
（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.
（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是.
易錯(cuò)提醒：處理平面向量的共線問(wèn)題一般有兩個(gè)思路：一是從幾何的角度，二是從坐標(biāo)的角度，這類問(wèn)題的求解過(guò)程有兩類特殊情況需要特別注意，一種是向量為零向量的情況；二是要考慮向量方向相同或相反的情況.
1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量不共線，且，若與反共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）
A．1B．C．1或D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)題意設(shè)，然后將，代入化簡(jiǎn)，可得，從而可求出實(shí)數(shù)λ的值.
【詳解】解：由于與反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使，
于是，
整理得．
由于不共線，所以有，整理得，
解得或．
又因?yàn)椋剩?br>故選：B．
2．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則（）
A．B．1C．或1D．0或2
【答案】C
【分析】根據(jù)直線平行可得，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>若，可知，
則，解得或.
故選：C.
3．（24-25高一下·四川瀘州·期中）（多選）與共線的單位向量有（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】設(shè)，結(jié)合模長(zhǎng)公式可得，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，且，解得，
所以或.
故選：BC.
1．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．1B．
C．1或D．或
【答案】B
【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)，再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.
【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得或.
若，則，，所以，所以與方向相反，故舍去；
若，則，，所以，所以與方向相同，故為所求.
故選：B
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，單位向量與向量同向共線，則向量在向量方向上的投影向量為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由已知得，
則在方向上的投影向量為，
故選：B．
3．（23-24高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（）
A．若向量，都是單位向量，則
B．若向量，都是單位向量，則
C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量
D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線
【答案】B
【分析】利用單位向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤；選項(xiàng)C，利用共線向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，向量包括長(zhǎng)度和方向，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，方向不定，
故向量和不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，任意一個(gè)非零向量有兩個(gè)與之共線的單位向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樗袉挝幌蛄康哪椋夜财瘘c(diǎn)，
所以所有單位向量的終點(diǎn)在半徑為的圓周上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B.
4．（24-25高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知向量，則與共線且反向的單位向量為（）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】可設(shè)與共線且反向的單位向量，由，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)與共線且反向的單位向量，
又
解得，或（舍去），
故.
故選：B
5．（24-25高一上·云南·期末）（多選）設(shè)，是互相垂直的單位向量，，，下列選項(xiàng)正確的是（）
A．若點(diǎn)C在線段AB上，則
B．若，則
C．當(dāng)時(shí)，與共線的單位向量是
D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：根據(jù)向量共線分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)向量垂直運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)單位向量分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)投影向量分析運(yùn)算.
【詳解】由題意可得：，
對(duì)A：若點(diǎn)C在線段AB上，則，則，
可得，解得或（舍去），故A正確；
對(duì)B：由，可得，
解得，故B正確；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，則，
與共線的單位向量是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，可得，
則在上的投影向量為，故D正確.
故選：ABD．
6．（24-25高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）設(shè)、是兩個(gè)不平行的向量，則向量（）與向量平行的充要條件是．
【答案】
【分析】運(yùn)用向量平行的結(jié)論可解.
【詳解】設(shè)、是兩個(gè)不平行的向量，則向量（）與向量平行，
則，即，即，解得.
故答案為：.
7．（24-25高一下·河南·期末）已知向量，與共線且方向相反的單位向量．
【答案】
【分析】求出的模，除以這個(gè)模再取相反向量可得．
【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是．
故答案為：
8．（23-24高一下·廣東佛山·期中）已知，，與的夾角為45°.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值；
(3)若向量與平行且方向相同，求實(shí)數(shù).
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)投影向量求解公式求出答案；
（2）平方后求出，得到模長(zhǎng)；
（3）根據(jù)兩向量平行得到方程，求出的兩個(gè)解，檢驗(yàn)是否方向相同，得到答案.
【詳解】（1）∵，，與的夾角為45°，
∴，
∴在方向上的投影向量為；
（2）∵，
∴；
（3）∵與平行，
∴
∴，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方向相同
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方向相反，故舍去.
∴
易錯(cuò)點(diǎn)04：錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

典例 (24-25高二上·山東青島·期中）已知，下列關(guān)系一定正確的是（）
B. C. D.∥
【答案】C
解析】由已知，所以，即，所以，故選C.
【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆了向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積的概念而出錯(cuò)，如由，兩邊同除以，所以.
【避錯(cuò)攻略】
1.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；
特別地，或；
（4）；
（5）
2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）；
（2）(λ為實(shí)數(shù))；
（3）；
（4）常用公式

易錯(cuò)提醒：（1）在實(shí)數(shù)中：若，且，則，但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出．
（2）已知實(shí)數(shù)，且ab=bc，則a=c，但在向量的數(shù)量積中沒(méi)有．
（3）在實(shí)數(shù)中有，但是在向量數(shù)量積中，這是因?yàn)樽筮吺桥c共線的向量，而右邊是與共線的向量．
1.（24-25高三·河北石家莊期末）已知均為非零向量，則下列結(jié)論中正確的有（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，，且，則的最大值與最小值之和為
【答案】CD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，通過(guò)運(yùn)算可知，與的夾角為，即可判斷與不一定相等；
對(duì)于B選項(xiàng)，舉出一個(gè)反例即可；
對(duì)于C選項(xiàng)，運(yùn)算得；
對(duì)于D選項(xiàng)，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)，，，由此可求出在平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的軌跡是圓，即可得出的最值.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)與的夾角為時(shí)，也符合要求，所以選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，，，則，但，所以選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，不妨設(shè)，，，所以，整理得，即在平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
因此的最大值為，最小值為，所以選項(xiàng)D正確，
故選：CD.
2.（2025全國(guó)高三第一次模擬）已知為非零平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（）
A. B.
C. 若，則D.
【答案】AB
【分析】A．利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B.利用平面向量共線定理判斷；C.利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷；D.利用平面向量的共線定理判斷.
【詳解】A. 因?yàn)?，所以，則，故正確；
B. 若為非零平面向量，且，由共線向量定理知：，故正確；
C.若，則，則，故錯(cuò)誤；
D. 與共線，與共線，故錯(cuò)誤；
故選：AB
3.（2025·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知平面向量，，且，則（）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，，所以?br>所以.故選：B
1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，為非零向量：，，則下列命題為真命題的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】理解向量垂直的表示、共線的性質(zhì)判斷A、B、C；應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，不一定，結(jié)論不成立，命題為假；
對(duì)于B，當(dāng)與方向相反時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；
對(duì)于C，當(dāng)與共線時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；
對(duì)于D，若，則，即，則，
所以，命題為真．
故選：D
2．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（）
①若，，為平面向量，則；
②向量與垂直；
③，，若與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
④.記，則向量在向量上的投影向量為
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】對(duì)①，舉反例說(shuō)明；對(duì)②，由兩向量垂直的向量關(guān)系運(yùn)算驗(yàn)證；對(duì)③，由向量夾角是鈍角，則向量數(shù)量積小于0，并挖去共線情況；對(duì)④，由投影向量的定義運(yùn)算判斷.
【詳解】對(duì)于①，如，，，所以，，
所以，而，所以，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)?，故②正確；
對(duì)于③，由題意，，且與不共線，即，解得且，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由，即，
所以向量在向量上的投影向量為，故④正確.
綜上，正確的為②④.
故選：C.
3．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）若向量滿足，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】由已知有，故.
所以，故.
故選：A.
4．（24-25高三上·山西太原·期中）（多選）已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則
B．若則
C．向量與向量垂直
D．若，則
【答案】ABC
【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及模的定義，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得到，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，即可求解.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闉榉橇阆蛄浚?，則，故，故A正確；
對(duì)于B：若，故，故В正確；
對(duì)于C：因?yàn)?br>，
所以，故C正確；
對(duì)于D：若，則，
得到，不能確定，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
題型二：解三角形
易錯(cuò)點(diǎn)05：解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

典例（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）在三角形中，，，，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，即可求解.
【詳解】由可得：，
所以，又，
所以或，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以或，
故選：C
【易錯(cuò)剖析】
已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，容易忽略對(duì)解的個(gè)數(shù)的討論而出錯(cuò).
【避錯(cuò)攻略】
在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
由上表可以得出：已知兩邊一對(duì)角：
易錯(cuò)提醒：兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角時(shí)，由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，此時(shí)可通過(guò)大邊對(duì)大角進(jìn)行分析，也通過(guò)幾何法來(lái)判斷三角形解的個(gè)數(shù)。
1.（24-25高二上·河南洛陽(yáng)·期末）在中，已知，，，則（）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【分析】運(yùn)用正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)樵谥校?，?br>由正弦定理，得，
解得或，
又因?yàn)榭傻?，所以不符合題意，舍去．
可得，故A，B，D錯(cuò)誤．
故選：C.
2．（24-25高二上·山西晉城·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則角的大小為（）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理計(jì)算可得.
【詳解】由余弦定理可得，
所以.
由正弦定理可得，則，又，故.
3．（24-25高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】由條件利用正弦定理以及大邊對(duì)大角，逐項(xiàng)判斷解的個(gè)數(shù)即可得解．
【詳解】對(duì)于A，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根據(jù)，可得，得可能是銳角也可能是鈍角，
即角有個(gè)值，故有兩解；
對(duì)于B，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根據(jù)，可得，只能是銳角，故有一個(gè)解；
對(duì)于C，若，，，
由正弦定理可得，得，得，
再根據(jù)，則只能是銳角，故有一解；
對(duì)于D，若，，，
則由正弦定理可得，得，求得，故無(wú)解，得不存在.
故選：A．
1．在中，，，則角A的大小為（）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】
利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.
【詳解】由題意知中，，，
故，即，
由于，故，則或，
故A的大小為或，
故選：D
2．（24-25高二上·重慶·開學(xué)考試）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由只有一個(gè)三角形的條件可得或，再由題意可得的取值范圍.
【詳解】
因?yàn)榈那∮幸粋€(gè)，
所以或，
即則，或者，
所以可得；
故選：B.
3．（24-25高三上·江蘇淮安·期中）在外接圓半徑為4的中，，若符合上述條件的三角形有兩個(gè)，則邊的長(zhǎng)可能為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，由三角形有兩解的條件，結(jié)合正弦定理求出邊的范圍.
【詳解】在中，，由有兩解，得，且，
則，由外接圓半徑為4及正弦定理，得，
所以邊的長(zhǎng)可能為5.
故選：D
4．在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，，則的長(zhǎng)為．
【答案】
【分析】利用正弦定理可求的值，進(jìn)而可求的值，可求，的值，進(jìn)而利用正弦定理可得的值．
【詳解】在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，，
在由正弦定理得，
可得，
又，所以或，
若，則，
則，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
若，則，
則，不符合題意，故舍去；
綜上可得．
故答案為：．
5．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，且，則面積為．
【答案】或
【詳解】由已知，即為，化簡(jiǎn)得，，故或，所以或，若，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其面積為；若，為以，分別作為高和底的直角三角形，其面積為.
易錯(cuò)點(diǎn)06：忽略邊角互化條件

典例．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)為邊上一點(diǎn)，，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過(guò)正弦定理將中的邊化為角，可求出的值；
（2）由題可知為等邊三角形，，在中運(yùn)用余弦定理可求出的值，進(jìn)而求得的面積.
【詳解】（1）∵，由正弦定理得：，
∴，即，
則.
（2）由題可知為等邊三角形，則，，
∵，在中，由余弦定理可得：
，
即，解得，
∴的面積為.
【易錯(cuò)剖析】
本題在對(duì)題設(shè)條件的應(yīng)用過(guò)程中容易錯(cuò)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將化為而出錯(cuò).
【避錯(cuò)攻略】
1.正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑
2.正弦定理的變形
①；；；
②
③
④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
3. 正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
易錯(cuò)提醒：若等式中每一項(xiàng)的邊或者三角的正弦的個(gè)數(shù)相同，可以考慮直接改成對(duì)應(yīng)角的正弦或者對(duì)應(yīng)角的邊，否則就得利用進(jìn)行等量代換.
1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則邊上中線長(zhǎng)度的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊得到，結(jié)合基本不等式得到，再由中線長(zhǎng)公式求解.
【詳解】，由正弦定理可得，
即，則，
又，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，則．
設(shè)邊上中線的長(zhǎng)度為，則，
所以邊上中線長(zhǎng)度的最大值為．
故選：C
2．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等邊三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理化邊為角，逆用和角公式即得結(jié)論.
【詳解】由，利用正弦定理，，
即,因,則或（不合題意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故選：A.
3．（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．若且，，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換，求得，再由，列出方程求得，結(jié)合余弦定理，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，，由，即為，
由正弦定理得，
又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，可得，所?br>又因?yàn)闉榈囊粭l中線，可得，
所以，
即，解得或（舍）.
由余弦定理得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：發(fā)現(xiàn)，從而可變?yōu)?，利用正弦定理可進(jìn)行邊化角.
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理角化邊，再由余弦定理求，可得角.
【詳解】由，根據(jù)正弦定理有，
所以，有，
根據(jù)余弦定理，有，由，所以．
故選：C.
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長(zhǎng)為，則AC邊上的高為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理及，
得，即，由余弦定理得，
則，由的面積為，得，解得，
由，得，又，因此，
令A(yù)C邊上的高為，則，所以.
故選：B
3．（2024·全國(guó)·二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理及三角形角度關(guān)系可得角的大小，再根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，從而得△ABC周長(zhǎng)的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，由于，故，則，
由正弦定理得，
故，
又，則，所以，則，
故△ABC周長(zhǎng)的最大值為.
故選：D.
4．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）在中，若，且AB邊上的中線長(zhǎng)為2，則面積的最大值為．
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理以及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出，由題設(shè)兩邊同時(shí)平方計(jì)算，再由基本不等式和三角形面積公式求解即可.
【詳解】因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，設(shè)邊上的中線為，
則，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.
故答案為：.
5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積為 .
【答案】1
【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，?
所以，則.
故答案為：1
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為 .
【答案】/
【分析】由已知條件，運(yùn)用正弦定理把邊化角，求得，再利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>由正弦定理可得，即，
，因?yàn)椋?，故?br>由余弦定理得，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由，，得，
所以.
故答案為：.
7．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通解：利用正弦定理邊角互化，又，化簡(jiǎn)可以得到的值；
優(yōu)解：利用射影定理化簡(jiǎn)求解（需證明）；
（2）利用面積公式得到的值，在利用余弦定理和基本不等式得到取最小值時(shí)的取值，再由余弦定理得到的長(zhǎng).
【詳解】（1）通解：由及正弦定理，
得，
即，
即，
因?yàn)?，所以，所?
優(yōu)解：因?yàn)椋?br>所以，
由題意得，即，
所以，得，即，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，
所以.
在中，由余弦定理可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，
故.
易錯(cuò)點(diǎn)07：忽略三角形中的隱含條件

典例（2025高三·全國(guó)·期末）設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標(biāo)式化為角的函數(shù)關(guān)系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)椋瑒t，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又為銳角三角形，故可得，
解得，則，
由于，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)當(dāng)，
故，
即．
故答案為：．
【易錯(cuò)剖析】
本題在求解過(guò)程中容易忽略條件中三角形是銳角三角形這一限制條件，以致求錯(cuò)A的取值范圍而出錯(cuò).
【避錯(cuò)攻略】
1.內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．
2.三角形中的射影定理
在中，；；
3.中線、角分線
（1）中線：
在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對(duì)的邊分別為，，
①向量形式：
結(jié)論：
②角形式：

在中有：;
在中有：;
（2）角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，
①內(nèi)角平分線定理：
或
②等面積法

③角形式：

在中有：;
在中有：;
易錯(cuò)提醒：處理三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)一定深挖三角形中的隱含條件，如三角形是銳角三角形時(shí)，則三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，而三角形是鈍角三角形時(shí)，只需要三角形最大的內(nèi)角是鈍角.
1．（24-25高三上陜西·期末）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的外接圓半徑為，若的面積，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用正弦定理及三角形面積公式求得，進(jìn)而求得，再利用正弦定理及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得，再利用正切函數(shù)性質(zhì)結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】由正弦定理得，所以，
又三角形面積公式，可知，所以，
又，所以，
由正弦定理得，
銳角中，有，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，從而.
故選：A
2．（24-25高三上廣東·期末）在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據(jù)求出的最大值；
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)?br>所以
，即，，
時(shí)
故選：
3．（2025高三全國(guó)聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和最值；
(2)若是銳角三角形，且，的外接圓半徑為2，求面積的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為；
(2)
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、降冪公式、輔助角公式等，化簡(jiǎn)整理，可得，令，可得的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)解析式，可得的最值.
（2）根據(jù)，代入可得角A的大小，根據(jù)正弦定理，可得b，c的表達(dá)式，代入面積公式，結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角公式、降冪公式、輔助角公式等，化簡(jiǎn)整理，可得面積S的表達(dá)式，根據(jù)銳角，可得角B的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】（1）由題意得
，
令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
的最大值為，最小值為
（2）因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)?，所?br>所以，解得，
設(shè)角A、B、C對(duì)邊為a，b，c，
因?yàn)榈耐饨訄A半徑為2，由正弦定理得，
所以，
所以面積
因?yàn)槭卿J角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，即面積的取值范圍為.
1．（24-25高三上上?！て谀┰阡J角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，則，面積的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】解：在銳角中，，且，
由余弦定理得：，解得；
由余弦定理得，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，
即，解得，
所以，
故答案為：，
2．（24-25高三上石家莊·期末）已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對(duì)的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）最小正周期為，，；（Ⅱ）.
【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因?yàn)?，可得?br>由正弦定理可知，所以，，
由及為銳角三角形，解得，
則
.
因?yàn)?，可得，所以?br>所以.
3．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域和值域；
(2)已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)2
【詳解】（1），
所以要使有意義，
只需，即，
所以，解得
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由于，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2）由于，所以，
因?yàn)?

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