易錯點(diǎn)一：易忽視三角形解的個數(shù)（解三角形多解情況）
1．方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
2．在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題
問題1：已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。
問題2：已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。
題設(shè)三角形中，已知一個角和兩個邊，判斷三角形個數(shù)，遵循以下步驟
第一步：先畫一個角并標(biāo)上字母
第二步：標(biāo)斜邊（非對角邊）
第三步：畫角的高，然后觀察（）
易錯提醒：利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數(shù).
例 ．設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為鈍角三角形
C．若，則符合條件的有兩個
D．若，則為等腰三角形或直角三角形
變式1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，且，則為等邊三角形
C．若，則是等腰三角形
D．在中，，則使有兩解的的范圍是
變式2．在中，內(nèi)角的對邊分別為．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則角為鈍角
C．若均不為直角，則
D．若，則唯一確定
變式3．在中，角，，所對的邊分別是，，，下列敘述正確的是（ ）
A．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個
B．若，則為鈍角三角形
C．若，則為等腰三角形
D．若不是直角三角形，則
1．在中，已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，角所對的邊為，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則為等腰直角三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個
D．在銳角三角形中，不等式恒成立
3．在中，角所對的邊分別為，以下說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則符合條件的三角形有一個
C．若，則為鈍角三角形
D．若，則直角三角形
4．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若，則此三角形為等腰三角形
5．對于△ABC，有以下判斷，其中正確的是（ ）
A．若，則△ABC為等腰三角形
B．若，則
C．若，，，則符合條件的三角形有兩個
D．若，則△ABC是銳角三角形
6．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個
D．若，則是鈍角三角形
7．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則為等腰三角形
D．若，，，則只有一解
8．已知的內(nèi)角的對邊分別為則下列說法正確的是（ ）
A．若，則有一個解
B．若，則有兩個解
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為鈍角三角形
9．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若，，則的面積是3
10．的內(nèi)角的對邊分別為、，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若三角形為斜三角形，則
11．對于中，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，，，則符合條件的有兩個
B．若，則為等腰三角形或直角三角形
C．若，則的最小值為
D．若點(diǎn)在所在平面且，，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心
易錯點(diǎn)二：解三角形時，出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B易漏解（解三角形問題）
《正弦定理》
①正弦定理：
②變形：
③變形：
④變形：
⑤變形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②變形：
核心問題：什么情況下角化邊?什么情況下邊化角?
⑴當(dāng)每一項都有邊且次數(shù)一樣時，采用邊化角
⑵當(dāng)每一項都有角《》且次數(shù)一樣時，采用角化邊
⑶當(dāng)每一項都是邊時，直接采用邊處理問題
⑷當(dāng)每一項都有角《》及邊且次數(shù)一樣時，采用角化邊或變化角均可
三角形面積公式
①
②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長
推導(dǎo)：將分為三個分別以的邊長為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式
③（為外接圓的半徑）
推導(dǎo)：將代入可得
將代入
可得
④
⑤海倫公式（其中）
推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論
令，整理得
正規(guī)方法：面積公式+基本不等式
①
②
③
易錯提醒：當(dāng)解題過程中出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時一定要注意條件之間的相互“限制”
例．對于，有如下命題：①若，則為等腰三角形；②若，則為直角三角形；③若，則為鈍角三角形．其中正確命題的序號是（ ）
A．①②B．①③C．③D．②③
變式1．在ΔABC中，已知，那么ΔABC一定是（ ）
A．等腰或直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等邊三角形
變式2．在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則是（ ）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
變式3．在中，角所對的邊分別為，則下列結(jié)論正確的個數(shù)（ ）
（1）若，則
（2）若，則一定為等腰三角形
（3）若，則一定為直角三角形
（4）若，且該三角形有兩解，則邊的范圍是
A．1B．2C．3D．4
1．在中，，則（ ）
A．為直角B．為鈍角C．為直角D．為鈍角
2．在中，若 ，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形
3．在中，角、、的對邊分別為、、，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．在中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
5．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，則是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則一定是（ ）
A．等腰三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形
7．在中，已知，則的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
8．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b 、c， 若 則該三角形一定是（ ）
A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
9．在中，角的對邊分別為，且滿足，則的形狀是（ ）.
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
10．在中，若，則這個三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形B．銳角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
11．的三內(nèi)角的對邊分別為且滿足，且，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
易錯點(diǎn)三：實(shí)際問題中題意不明致誤（利用解三角形知識解決實(shí)際問題）
解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的類型及解題策略
1、求距離、高度問題
（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．
（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．
2、求角度問題
（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．
（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．
易錯提醒：實(shí)際問題應(yīng)用中有關(guān)名詞、術(shù)語也是容易忽視和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具體含義
例 ．如圖所示，，兩處各有一個垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向18km處，的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電.要求發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：km）與它們每天集中的生活垃圾量（單位：噸）成反比，現(xiàn)估測得，兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為40噸和50噸.

(1)當(dāng)時，求的值；
(2)發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少?
變式1．為了應(yīng)對日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗，兩地相距，，在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，在C地測得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求：

(1)B，C兩地間的距離；
(2)這種儀器的垂直彈射高度AB．
變式2．南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年，是南京市辦學(xué)歷史最長的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè)，中山路東側(cè)，長江路北側(cè)如圖所示的位置.南京人民中學(xué)到長江路和中山路十字路口約330米，長江路和中山路夾角約為70.5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長江路和中山路十字路口200米，300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為60米/分鐘

(1)起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；
(2)t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計時到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；
(3)什么時候兩人間的直線距離最短，最短距離時多少？（忽略路寬?等侯紅綠燈時間）
變式3．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個出口在的東偏北的方向（兩點(diǎn)之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠(yuǎn)，計劃在之間設(shè)置一個服務(wù)區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時的值；
(2)若在市中心的距離為，此時在的平分線與的交點(diǎn)位置，且滿足，求到市中心的最大距離．
1．某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長為，如圖所示．現(xiàn)要測是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測量，在點(diǎn)測得，；在點(diǎn)測得．（在同一平面內(nèi)）

(1)求兩點(diǎn)之間的距離；
(2)判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．
2．如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個點(diǎn)，使得，測得，，．
(1)若B，D選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；
(2)求的值．
3．某數(shù)學(xué)建?；顒有〗M在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測距問題”的探究活動中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中，均與水平面垂直.在已測得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，的情況下，四名同學(xué)用測角儀各自測得下列四組角中的一組角的度數(shù)，①，，，②，，，③，，，④，，.
(1)請同學(xué)們指出其中一定能唯一確定，之間的距離的組號；（指出所有滿足條件的組號）
(2)若已知，，，，，，，請你結(jié)合自己在（1）中的選擇，從中選出一組利用所給數(shù)據(jù)，求的值.（若多做，按第一種方案給分）
4．如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°，在B處測得公路上距B處32km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到達(dá)D處，此時B，D間的距離為21km．這個人還要走多少路才能到達(dá)A城？

5．如圖，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏東40°的方向駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．下午1：00乙船沿北偏東125°的方向勻速駛離碼頭，下午3：00到達(dá)地．若在的正南方向，則乙船的航行速度是多少？（精確到1km/h）

6．如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．
7．一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)正通過衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空，地球半徑約為6400km．

(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時相隔的距離是多少．
(2)如果此時跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：，）
8．如圖，某海產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，AB，AC為直線海岸線，，，.

(1)求B與C之間的直線距離.
(2)在海面上有一點(diǎn)D（A，B，C，D在同一平面上），沿線段DB和DC修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，若DB和DC上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益，且，求這兩段網(wǎng)箱獲得的最高經(jīng)濟(jì)總收益.
9．山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內(nèi)東南方向的東關(guān)島上，渤海五路以西，南環(huán)路以北.整個黃河樓顏色質(zhì)感為灰紅，意味黃河樓氣勢恢宏，更在氣勢上體現(xiàn)黃河的宏壯.如圖，小張為了測量黃河樓的實(shí)際高度，選取了與樓底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)，現(xiàn)測得，在點(diǎn)處測得黃河樓頂?shù)难鼋菫?，求黃河樓的實(shí)際高度（結(jié)果精確到，?。?
10．在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流．一渡船從長江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)北岸的B碼頭（如圖）．設(shè)為正北方向，已知B碼頭在A碼頭北偏東的方向上，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少（角度精確到，速度確到0.1km/h）？

11．如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)，測得，，，，．設(shè)在同一平面內(nèi)，試求兩點(diǎn)之間的距離（精確到1m）．
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無解

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