一、單選題
1．下列各式正確的是（ ）
A．（為常數(shù)）B．
C．D．
2．一質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的關(guān)系為，設(shè)其在內(nèi)的平均速度為，在時的瞬時速度為，則（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（ ）
A．18B．24C．30D．42
4．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)在處有極大值，則a的值為（ ）
A．2B．6C．2或6D．以上答案都不對
6．長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成，某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若對任意實數(shù)都有，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．關(guān)于直線對稱B．
C．的周期為4D．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．元集合的子集共有個
B．若把英文“her”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有23種
C．3個班分別從5個景點中選擇一處游覽，不同的選法的種數(shù)為
D．2160的正因數(shù)共有40個
10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的最小值為，沒有最大值D．函數(shù)的極小值點為
11．“切線放縮”是處理不等式問題的一種技巧．如：在點處的切線為，如圖所示，易知除切點外，圖象上其余所有的點均在的上方，故有．該結(jié)論可構(gòu)造函數(shù)并求其最小值來證明．顯然，我們選擇的切點不同，所得的不等式也不同．請根據(jù)以上材料，判斷下列命題中正確的命題是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
三、填空題
12．函數(shù)圖像的對稱中心為 .
13．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為 .
14．【2016高考新課標(biāo)2改編】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 .
四、解答題
15．已知函數(shù)，.
(1)求曲線在處切線的方程；
(2)若直線l過坐標(biāo)原點且與曲線相切，求直線l的方程.
16．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
17．已知函數(shù)在處有極值.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個零點，，求的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，求證：.
19．已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
1．C
利用導(dǎo)數(shù)的運算法則來進(jìn)行求導(dǎo)即可作出判斷.
【詳解】因為當(dāng)為常數(shù)時，，所以A錯誤；
因為，所以B錯誤；
因為，所以C正確；
因為，所以D錯誤；
故選：C.
2．B
根據(jù)平均變化率和瞬時變化率的定義，可分別計算求得，即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)平均速度定義可知，
在內(nèi)的平均速度為；
在時的瞬時速度為；
所以.
故選：B
3．A
根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).
【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為；
若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為；
則不同的信號總數(shù)為.
故選：A．
4．B
【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，
且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，
而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．
故選B.
5．B
由函數(shù)在處有極大值，求得或，再分類討論，結(jié)函數(shù)極值的概念進(jìn)行判定，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，則，
因為函數(shù)在處有極大值，
則，即，解得或，
（1）當(dāng)時，可得，令，解得或，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，不符合題意（舍去）；
（2）當(dāng)時，可得，令，解得或，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意，
綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在處有極大值.
故選：B.
6．C
設(shè)出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值，
【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，
則該模型的體積，
令，則，由得，
當(dāng)時，當(dāng)時，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，
故選：C
7．B
依題意原等價于不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；
【詳解】解：不等式，等價于不等式，
構(gòu)造函數(shù)，則，
若對任意實數(shù)都有，
則，在上單調(diào)遞增，
又，
故即，
故不等式的解集是，
故選：B．
8．B
由題意，根據(jù)函數(shù)的對稱性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過合理賦值即可判斷BCD.
【詳解】由，得①，
②，得③，
由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
由，得，令，得；
由，得，
令，得，
∴④，
又⑤，令，得，故B錯誤；
④⑤兩式相加，得，得，
所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；
由，令，得，所以，
所以，故D正確.
故選：B
9．ABD
A. 元集合的子集共有個判斷；B.把h，e，r，全排列有判斷；C.由每個班有5種選法判斷.D.由判斷.
【詳解】A. 元集合的子集共有個，故正確；
B.把h，e，r，全排列有，其中正確的有一個，所以可能出現(xiàn)的錯誤共有23種，故正確；
C. 3個班分別從5個景點中選擇一處游覽，不同的選法的種數(shù)為，故錯誤；
D. 因為，所以2160的正因數(shù)共有個，故正確；
故選：ABD
10．BD
對于A，注意到可知，由此可判斷；
對于B，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷其正確；
對于C，舉反例排除即可；
對于D，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可判斷其正確.
【詳解】對于A，因為，所以，解得，故的定義域為，故A錯誤；
對于B，，令，得，故在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，令，則，故的最小值不為，故C錯誤；
對于D，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，
令，得，故結(jié)合兩側(cè)的單調(diào)性可知是的極小值點，故D正確.
故選：BD.
11．ABD
利用可得，由知A正確；由知B正確；利用反例可說明C錯誤；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，知D正確.
【詳解】對于A，當(dāng)時，由得：，即；
，A正確；
對于B，由得：，即，，B正確；
對于C，由得：；
當(dāng)時，，此時，
則，即不成立，C錯誤；
對于D，令，則，
令，則，在上單調(diào)遞增，
又，，，使得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；
由得：，，，
，即，，D正確.
故選：ABD.
12．
求的對稱軸，再檢驗.
【詳解】，其對稱軸為，而，
，
故圖像的對稱中心為
故答案為：
13．
【詳解】函數(shù)在上不單調(diào),
即在有零點，
即
當(dāng)，，故
故答案為：
14．18
【詳解】由題意，要使小明從街道的處出發(fā)到處最短，小明需走兩縱兩橫四段路，共有條不同的路，再從處到處最短共有條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為，故答案為.
15．(1)
(2)
【詳解】（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.
（2），所以，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以切線斜率為，
則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.
16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ，
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，則，
設(shè)，則，
由，知，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，
∴，∴．
17．(1)，
(2)
【詳解】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，且
由已知可得，解得.
所以，，
由，可得或，
由，可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，，則，
.
（2）解：
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的極大值為，的極小值為
且，，，
若方程有且只有一個實數(shù)根，.
則需滿足，或.
所以實數(shù)的取值范圍
18．(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符合題意.
.
由可得：.
令，得；令，得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,
.
又當(dāng)時，，，
結(jié)合的單調(diào)性，要使函數(shù)有兩個零點，，須滿足，解得.
當(dāng)時，，
（證明，令，
則.
令，得；令，得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，即，證得）
由零點的存在性定理可得：在和上各有一個零點
綜上可得：當(dāng)時，有且僅有兩個零點，，
所以的取值范圍為.
（2）證明：由（1）可知，是函數(shù)的兩個零點，
所以，，解得，，
則.
設(shè)，
則，解得，.
要證，
只要證，
即證.
令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
即證得.
19．（1）見解析；（2）.
解析：（1）的定義域為，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.
（ⅱ）若，則由得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個零點.
（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；
②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；
③當(dāng)時，，即.
又，故在有一個零點.
設(shè)正整數(shù)滿足，則.
由于，因此在有一個零點.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
B
C
B
B
ABD
BD
題號
11









答案
ABD









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