高二年級3月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 下列各式正確的是（    ）A. (為常數(shù)) B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由基本的求導(dǎo)公式可得解【詳解】 (為常數(shù))； ；   ； .錯誤故選：C【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，熟練記住常見函數(shù)的求導(dǎo)公式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題2. 一質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的關(guān)系為，設(shè)其在內(nèi)的平均速度為，在時的瞬時速度為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均變化率和瞬時變化率定義，可分別計算求得，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)平均速度定義可知，在內(nèi)的平均速度為；在時的瞬時速度為；所以.故選：B3. 已知，則等于（    ）A -4 B. 2 C. 1 D. -2【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo)，求出，得到，從而求出.【詳解】，令得：，解得：，所以， 故選：B4. 已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（　?。?/span>A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．故選B. 5. 我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實數(shù)根x叫做函數(shù)的“躺平點”．若函數(shù)，，的“躺平點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“躺平點”新定義，可解得,，利用零點存在定理可得,即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)“躺平點”定義可得，又；所以，解得；同理，即；令，則，即為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在有唯一零點，即；易知，即，解得；因此可得.故選：B6. 長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成，某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值，【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則該模型的體積，令，則，由得，當(dāng)時，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故選：C7. 若存在實數(shù)，對任意，成立，則稱是在區(qū)間上的“倍函數(shù)”．已知函數(shù)和，若是在的“倍函數(shù)”，則的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“倍函數(shù)”定義可知，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并求出其在上的最小值即可得出的取值范圍是.【詳解】根據(jù)題意可得，存在實數(shù)，對于任意，恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則；當(dāng)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，即，即即可.所以的取值范圍是.故選：A8. 已知是定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若對任意實數(shù)都有，且，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】依題意原等價于不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；【詳解】解：不等式，等價于不等式，構(gòu)造函數(shù)，則，若對任意實數(shù)都有，則，在上單調(diào)遞增，又，故即，故不等式的解集是，故選：B．二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（    ）A. 在區(qū)間上是增函數(shù)B. 是的極小值點C. 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)D. 是的極大值點【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的關(guān)系判斷．【詳解】在上，遞減，A錯；，且當(dāng)時，，時，，所以是的極小值點，B正確；在上，，遞增，在上，遞減，C正確；在區(qū)間上是增函數(shù)，不是的極大值點，D錯．故選：BC．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的關(guān)系，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方法是解題關(guān)鍵．10. 對于三次函數(shù)，現(xiàn)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．已知函數(shù)，則（    ）A. 有兩個極值點B. 有三個零點C. 點是曲線的對稱中心D. 直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)拐點的定義即可求解C，根據(jù)單調(diào)性即可確定極值點，即可判斷A    ，根據(jù)極小值大于0可判斷C，根據(jù)切線方程的求解可判斷D.【詳解】由得，令，則，，所以是的拐點，進而是的對稱中心，故C正確，令，則或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故是極小值點，是極大值點，故A正確，由于是的極小值點，且，故只有一個零點，故B錯誤，設(shè)是的切點，令，解得故和，當(dāng)切點為時，則切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故不是切線，故D錯誤，故選：AC11. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 函數(shù)的定義域為 B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增C. 函數(shù)的最小值為，沒有最大值 D. 函數(shù)的極小值點為【答案】BD【解析】【分析】對于A，注意到可知，由此可判斷；對于B，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷其正確；對于C，舉反例排除即可；對于D，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可判斷其正確.【詳解】對于A，因為，所以，解得，故的定義域為，故A錯誤；對于B，，令，得，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，令，則，故的最小值不為，故C錯誤；對于D，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，令，得，故結(jié)合兩側(cè)的單調(diào)性可知是的極小值點，故D正確.故選：BD.12. “切線放縮”是處理不等式問題的一種技巧．如：在點處的切線為，如圖所示，易知除切點外，圖象上其余所有的點均在的上方，故有．該結(jié)論可構(gòu)造函數(shù)并求其最小值來證明．顯然，我們選擇的切點不同，所得的不等式也不同．請根據(jù)以上材料，判斷下列命題中正確的命題是（    ）A. ， B. ，，C. ， D. ，【答案】ABD【解析】【分析】利用可得，由知A正確；由知B正確；利用反例可說明C錯誤；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，由得：，即；，A正確；對于B，由得：，即，，B正確；對于C，由得：；當(dāng)時，，此時，則，即不成立，C錯誤；對于D，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，即，，D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用（單位：元）為．則凈化到純凈度為99%時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為95%時所需費用的瞬時變化率的______倍．【答案】【解析】【分析】首先求導(dǎo)，再計算.【詳解】因為，所以.故答案為：2514. 若函數(shù)在處有極值且是極大值，則常數(shù)的值為______【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)在2處的函數(shù)值為0求出c，再檢驗在處是否取得極大值即可得解.【詳解】函數(shù)，依題意得，即或，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則處取極小值，不符合條件，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在處取極大值，符合條件，所以常數(shù)的值為6.故答案為：615. 已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】函數(shù)在上不單調(diào),轉(zhuǎn)化為在有零點，即有解，研究取值范圍即可.【詳解】函數(shù)在上不單調(diào),即在有零點，即當(dāng)，，故故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在含參函數(shù)的單調(diào)性問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.16. 牛頓迭代法又稱牛頓拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，作曲線在點,處的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；作曲線在點,處的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的2次近似值．一般的，作曲線在點,處的切線，記與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值．設(shè)的零點為，取，則的2次近似值為 _____．【答案】0.75【解析】【分析】首先對求導(dǎo)，進而寫出切線方程，再求處對應(yīng)的值，結(jié)合題設(shè)中的次近似值的定義求的2次近似值.【詳解】由題設(shè)，設(shè)切點為,，則切線斜率，切線方程為，令，可得，若，則，，即的2次近似值為．故答案為：．四、解答題：本題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知函數(shù)，.（1）求曲線在處切線的方程；（2）若直線l過坐標(biāo)原點且與曲線相切，求直線l的方程.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式寫切線方程即可；（2）根據(jù)設(shè)切點坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，再利用點斜式寫切線方程，將代入切線方程得到即可得到切線方程.【小問1詳解】，所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.【小問2詳解】，所以，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.18. 已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ，    （2）【解析】【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)在上是減函數(shù)，可知知恒成立，利用參數(shù)分離法,求的最大值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是【小問2詳解】由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴．19. 設(shè)為實數(shù)，函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點？【答案】（1）極大值是，極小值是.（2）【解析】【詳解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－) －(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗ 所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.(2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)＞0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時，有f(x)＜0，曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點．由(1)知f(x)極大值＝f(－)＝＋a，f(x)極小值＝f(1)＝a－1.∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴當(dāng)a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．點睛：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．20. 已知函數(shù)在處有極值.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1），函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為    （2）最小值，最大值【解析】【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可求得函數(shù)的最大值和最小值.【小問1詳解】解：因為，該函數(shù)的定義域為，且，由已知可得，解得，則，，由可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，則，.21. 已知函數(shù)，實數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在，使得關(guān)于x的不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）采用分類討論的方法，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）化簡式子，并構(gòu)造函數(shù)，計算，然后再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)情況，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知的定義域為，.∵，，∴由可得.（i）當(dāng)時，，當(dāng)時，單遞減；（ii）當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上所述，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由題意：不等式在成立即在時有解.設(shè)，，只需.則，因為，所以在上，，在上，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此.不等式在成立，則恒成立.又，所以恒成立.令，則.在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.所以.因此解可得且，即且.所以實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于構(gòu)造函數(shù)研究性質(zhì)，化繁為簡，考驗分析能力以及邏輯思維能力，掌握等價轉(zhuǎn)化思想以及分類討論的方法，屬難題.22. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個零點.若，當(dāng)時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進行討論，可知當(dāng)時有2個零點.易知在有一個零點；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（?。┤?/span>，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，，即.又，故在有一個零點.設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.點睛:研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點. 

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