2023年10月
第Ⅰ卷（共60分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1. 直線 的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線的斜率，利用傾斜角的公式即可算出所求直線的傾斜角．
【詳解】解：直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
結(jié)合，，可得
故選：B．
2. 已知，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.
【詳解】因?yàn)?所以,即,解得,
故選:A.
3. 如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（ ）

A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，
故選：A.
4. 若向量在空間的的一組基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，得到，求得的值，即可求解.
【詳解】因?yàn)樵诨紫碌淖鴺?biāo)是，所以，
設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，
則，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐標(biāo)為．
故選：C．
5. 已知直線的方向向量，直線的方向向量，且，則的值是（ ）
A. B. 6C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】∵，∴，∴，∴，，∴.
故選：A．
6. 長方體中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；
【詳解】解：依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則
故選：B
7. 一束光線自點(diǎn)發(fā)出，被平面反射后到達(dá)點(diǎn)被吸收，則光線所走的路程是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)光的反射定律可知，入射光線必過點(diǎn)，代入兩點(diǎn)間距離公式即可.
【詳解】∵入射光線被平面反射后到達(dá)點(diǎn)且被吸收，根據(jù)光的反射定律可知入射光線必過點(diǎn)，故光經(jīng)發(fā)射到吸收所走過的路程為.
故選：C.
8. 若直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可得直線過定點(diǎn)，則數(shù)形結(jié)合可得或即可求出.
【詳解】由直線可得直線的斜率為，且過定點(diǎn)，又，
則由圖可得，要使直線與線段總有公共點(diǎn)，需滿足或，
又，
或.
故選：B.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
9. 已知向量，則（ ）
A. 向量的夾角為B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】對于A，，，，
設(shè)向量的夾角為，
則，因?yàn)椋瑒t，故A不正確.
對于B，，，
則，故B不正確.
對于C，，，
，故C正確.
對于D，，，，故D正確.
故選：CD.
10. 若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線方程可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】討論直線過原點(diǎn)時(shí)和直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別求出對應(yīng)的直線方程即可．
【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，所求的直線方程為y=2x，即；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x±y=k，把點(diǎn)A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直線方程為，或；
綜上知，所求的直線方程為、，或．
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用分類討論思想求直線方程的問題，是基礎(chǔ)題．
11. 已知直線：，直線：，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)為B. 直線恒過點(diǎn)
C. 若，則D. 若，則或
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出兩直線的交點(diǎn)判斷A，求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷B，根據(jù)兩直線垂直、平行求出參數(shù)，即可判斷C、D.
【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)直線：，直線：，由，
解得，所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；
對于B：直線：，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，故B正確；
對于C：若，則，解得，故C正確；
對于D：若，則，解得或，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：兩直線重合，故舍去，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：，兩直線平行，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
12. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）

A.
B. 存在點(diǎn)，使平面
C. 存在點(diǎn)，使直線與所成的角為
D. 點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
，設(shè)，，
所以，所以，A選項(xiàng)正確.
點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.
，，
設(shè)平面法向量為，
則，故可設(shè)，
要使平面，平面，
則，
解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.
若直線與直線所成角為，
則，
，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD

第Ⅱ卷（共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．
13. 過點(diǎn)，的直線的傾斜角為60°，則的值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線的傾斜角為60°求出直線的斜率，再根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式列出方程，即可得解.
【詳解】∵直線的傾斜角為60°
∴直線的斜率為
∵直線過點(diǎn)，
∴，解得.
故答案為：.
14. 當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為_________.
【答案】
【解析】
【分析】為任意實(shí)數(shù)時(shí)恒過定點(diǎn)，則令的所有系數(shù)之和恒為即可.
【詳解】由，得，
令解得故.
【點(diǎn)睛】本題考查直線方程含參數(shù)時(shí)的過定點(diǎn)問題，解題方法是把方程整理為(為參數(shù))，再令，解之即得定點(diǎn)坐標(biāo).
15. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，若四點(diǎn)共面，則___________.
【答案】6
【解析】
【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.
【詳解】由題意，得，
又四點(diǎn)共面，則存在，使得，
即，即，解得，
所以
故答案為：6.
16. 點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．
【詳解】1，，2，，
的夾角為銳角，，且不能同向共線．
解得，．則的取值范圍為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．
17. 如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點(diǎn)，設(shè)，，.
（1）用，，表示；
（2）求的長.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量的首尾相連原則及圖形可得答案；
（2）由（1）及計(jì)算模公式可得答案.
【小問1詳解】
由圖形及向量相加的首尾相連原則，；
【小問2詳解】
由題可得，.
則
，則，即的長為.
18. 如圖，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，求：

（1）BC所在直線的方程；
（2）BC邊上的高AD所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩點(diǎn)式求BC所在直線的方程；
（2）由垂直關(guān)系得斜率，點(diǎn)斜式求AD所在直線的方程.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以直線BC的方程為，
化簡得；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?
所以，
根據(jù)點(diǎn)斜式，得到直線AD方程為，即.
19. 已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，且.
（1）求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的2倍，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出直線的方程與方程聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）分類討論，截距都為0與截距都不為0兩種情況求解的方程即可.
【小問1詳解】
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得，，
所以直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，此時(shí)直線方程為，
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，此時(shí)可設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過，
所以，
所以，此時(shí)直線方程為，即，
綜上直線的方程為或.
20. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).請用空間向量的知識解答下列問題：

（1）求證：；
（2）試求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.
【小問1詳解】
該三棱柱是直三棱柱，且，
兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，
，
，
.
【小問2詳解】
，
，
易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
故，
，
二面角為銳二面角，
二面角的余弦值為.
21. 如圖，在正四棱錐中，O為底面中心，，M為PO的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面EAC；
（2）求直線DM到平面EAC的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）說明PO，AC，BD兩兩垂直，由此可建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EAC的一個(gè)法向量，計(jì)算的值，結(jié)合線面平行的判定即可證明結(jié)論；
（2）由于平面EAC，所以直線DM到平面EAC的距離即為點(diǎn)D到平面EAC的距離，由此利用空間距離的向量形式的公式計(jì)算，可得答案.
【小問1詳解】
證明：在正四棱錐中，連接BD，則O為BD的中點(diǎn)，且，
由于平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，所以PO，AC，BD兩兩垂直．
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，故E為PB靠近B的三等分點(diǎn)，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面EAC的法向量為，
則,取，則，，
則為平面EAC的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槠矫鍱AC，所以平面EAC．
【小問2詳解】
由（1）知平面EAC，所以直線DM到平面EAC的距離即為點(diǎn)D到平面EAC的距離．
由（1）知，平面EAC的一個(gè)法向量為，
所以點(diǎn)D到平面EAC的距離,
故直線DM到平面EAC的距離為．
22. 如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面PAD；
（2）若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在；或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)底面菱形的特點(diǎn)得到，再由線面垂直得到，平面，進(jìn)而得到面面垂直；
（2）建立空間坐標(biāo)系得到線面角的表達(dá)式，求解即可.
【小問1詳解】
證明：連接，
因?yàn)榈酌鏋榱庑危?br>所以是正三角形，
是的中點(diǎn)，
，
又，
平面，平面，
又平面，
又平面，
所以平面平面．
【小問2詳解】
由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量，則即
令，得平面的一個(gè)法向量．
設(shè)與平面所成的角為，則
，
解得或，
即存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．

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