山東省棗莊市滕州實驗高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

滕州實驗高級中學(xué)2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次調(diào)研考試
高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題
命題人：薛云出題時間：2025.3
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 若，則（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及給出的極限值可得答案.
【詳解】
，
所以.
故選：B.
2. 對于滿足的任意正整數(shù)，（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式即可判斷.
【詳解】易得，
故選：D.
3. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）

A. 在上單調(diào)遞增
B. 在上單調(diào)遞減
C. 在處取得最大值
D. 在處取得最小值
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，可知當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增.在處取得極大值，不一定最大值；在處取得極小值，不一定最小值，故ACD錯誤，
故選：B.
4. 若直線與曲線相切，則實數(shù)的值可以是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，可得，令，求得，進而求得切點坐標(biāo)，得到的值.
【詳解】設(shè)直線與曲線相切的切點為，
由函數(shù)，可得，可得，
所以，可得，解得，
則，即切點為，
將切點代入，
可得，所以，
當(dāng)時，可得.
故選：B.
5. 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）
A. 120個B. 480個C. 288個D. 240個
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4，結(jié)合排列、組合數(shù)的公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4，
當(dāng)個位數(shù)字為0時，小于的偶數(shù)有個；
當(dāng)個位數(shù)字為2或4時，小于的偶數(shù)有個，
所以小于的偶數(shù)共有個.
故選：D.
6. 函數(shù)的極值點的個數(shù)為（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，據(jù)此可知函數(shù)單調(diào)遞增無極值點.
【詳解】由題意知，
令，則，
令，得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，由此可知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點.
故選：A.
7. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令,求導(dǎo)得，于是得在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時有，進而可得，由二倍角公式及的單調(diào)性可得，即可得答案.
【詳解】解：令,則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，
所以，即，
又因為，
即，
綜上所述：.
故選：A.
【點睛】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行大小比較，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和邏輯推理能力，屬于較難題.
8. 若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】對所給不等式進行適當(dāng)變形，利用同構(gòu)思想得出對于任意的恒成立，進一步利用導(dǎo)數(shù)求出不等式右邊的最小值即可求解.
【詳解】顯然首先，
，
令，則，所以在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，
所以若有成立，則必有，
即對于任意的恒成立，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，
從而，所以的取值范圍是，即實數(shù)的最大值為.
故選：B.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 下列運算中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐項求解可得.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤；
故選：BC
10. 下列等式正確的是（）
A. B.
C. ！D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)階乘和排列數(shù)的運算公式，進行推理與判斷選項中的運算是否正確即可．
【詳解】對于A，，選項A正確；
對于B，，所以選項B錯誤；
對于C，，選項C正確；
對于D，?，選項D正確．
故選：ACD．
11. 若函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給出下列函數(shù)：不具有性質(zhì)的為（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對選項逐一考查就可以得到答案．
【詳解】解：對于，定義域為，則，則，
令，則，即上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以恒成立，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故函數(shù)具有性質(zhì)；
對于，，則，在實數(shù)集上恒成立，在定義域上是增函數(shù)；
對于，，則，，顯然不單調(diào)；
對于，，則，，當(dāng)時，，在定義域上先減后增；
具有性質(zhì)的函數(shù)的序號為，不具有性質(zhì)的函數(shù)的序號為、．
故選：CD．
【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用求導(dǎo)法則求，再建立關(guān)于的方程組即可.
【詳解】，則，
因，則且，解得，
則
故答案為：4
13. 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則應(yīng)滿足，即可求解
【詳解】，因為函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，
故只能滿足在上恒成立，即，，解得
故答案為:
14. 定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則的解集為__________
【答案】
【解析】
【分析】先令，對其求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到在上單調(diào)遞減；再由得，將不等式化為，根據(jù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.
【詳解】令，則，
因為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，
所以在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
又，所以，
因此，由得，
所以，又定義域為，所以；
即的解集為.
故答案為：
【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法解不等式，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進而可根據(jù)單調(diào)性求解，屬于?？碱}型.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. （1）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（?。?；
（ⅱ）．
（2）解方程：．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求導(dǎo)的四則運算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可；
（2）利用排列數(shù)公式化簡得到關(guān)于的一元二次方程，因即可得方程的解.
【詳解】（1）（?。?br>（ⅱ）.
（2）根據(jù)原方程，應(yīng)滿足
解得．
根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為．
因為，兩邊同除以，得，
即，解得或（因為為整數(shù)，所以應(yīng)舍去），
所以原方程的解為．
16. 已知二次函數(shù)，其圖象過點，且．
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，求曲線在處的切線方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)和已知條件得出關(guān)于方程組，求解即可；
（2）求出得切點坐標(biāo)，再求出得切線斜率，利用點斜式即可求得所求的切線方程.
【小問1詳解】
由題意可得，即為，
又，可得，
解得．
【小問2詳解】
由（1）知，
則，
則曲線在處的切線斜率為，
又∵，∴切點為，
則曲線在處的切線方程為，即為．
17. 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半徑，已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm．
（1）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最大？
（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？
【答案】（1）瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最大
（2）瓶子半徑為時，每瓶飲料利潤最小，并且是虧損的
【解析】
【分析】先確定利潤函數(shù)，再利用求導(dǎo)的方法，即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
由于瓶子的半徑為，
所以每瓶飲料的利潤是，．
令，解得（舍去）．
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
當(dāng)時，，它表示在區(qū)間上單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；
當(dāng)時，，它表示在區(qū)間上單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．
又，
故半徑為時，能使每瓶飲料的利潤最大．
【小問2詳解】
由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時，有最小值，其值為，
故瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的.
18. 有4名男同學(xué)和3名女同學(xué)（其中含甲、乙、丙）站成一排.
（1）3名女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？
（2）任何兩名女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？
（3）甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？
（4）甲不站左端，乙不站右端，有多少種不同的排法？
【答案】（1）（種）
（2）（種）
（3）（種）
（4）（種）
【解析】
【分析】相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，有限制條件得可以采取正難則反的思路，結(jié)合排列數(shù)公式，逐個計算，即可.
【小問1詳解】
3名女同學(xué)是特殊元素，共有種排法；
由于3名女同學(xué)必須排在一起，則可視排好的女同學(xué)為一個整體，再與4名男同學(xué)排隊，應(yīng)有種排法．
由分步乘法計數(shù)原理得，有（種）不同的排法．
【小問2詳解】
先將男同學(xué)排好，共有種排法，再在這4名男同學(xué)的中間及兩頭的5個空當(dāng)中插入3名女同學(xué)，則有種方法．
故符合條件的排法共有（種）.
【小問3詳解】
先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有種排法；
由于甲，乙要相鄰，故先把甲，乙排好，有種排法；
最后把甲，乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5個空當(dāng)中，則有種排法．
所以共有（種）不同的排法．
【小問4詳解】
7個人的全排列共有(種) 不同的排法，若甲站在左端，則有(種)不同的排法，若乙站在右端，則有(種)不同的排法，若甲站在左端同時乙站在右端，則有 (種)不同的排法，
故若 7 人站成一排，甲不能站在左端，乙不能站在右端，則共有 (種)不同的排法
19. 已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個零點.若，當(dāng)時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進行討論，可知當(dāng)時有2個零點.易知在有一個零點；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.
試題解析：（1）的定義域為，，
（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.
（ⅱ）若，則由得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）（?。┤簦桑?）知，至多有一個零點.
（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；
②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；
③當(dāng)時，，即.
又，故在有一個零點.
設(shè)正整數(shù)滿足，則.
由于，因此在有一個零點.
綜上，的取值范圍為.
點睛:研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.

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