2024年3月
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知為虛數(shù)單位.，則（ ）
A.1 B. C.2 D.4
3.在中，，則（ ）
A. B. C. D.
4.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，過(guò)且平行于平面的平面截正方體所得截面面積為（ ）
A. B. C. D.
5.在平行四邊形中，，則（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
6.若一組樣本數(shù)據(jù)的方差為，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A.1 B.2 C.2.5 D.
7.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
8.在邊長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含四條邊），且，則的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B.
C.數(shù)列為單調(diào)數(shù)列 D.數(shù)列為單調(diào)數(shù)列
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.是的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.的圖象過(guò)點(diǎn) D.為上的單調(diào)函數(shù)
11.曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的積等于的點(diǎn)的軌跡，則（ ）
A.曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 B.周長(zhǎng)的最小值為
C.到軸距離的最大值為 D.到原點(diǎn)距離的最小值為
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.求值：__________.
13.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.
14.已知是拋物線上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，在處的切線分別交軸?軸于點(diǎn)，過(guò)作的垂線分別交軸?軸于點(diǎn)，分別記與的面積為，則的最小值為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面為側(cè)棱的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離：
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）
某人準(zhǔn)備應(yīng)聘甲?乙兩家公司的高級(jí)工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進(jìn)行三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試，專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)后進(jìn)入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)的概率均為，該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司，三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)的概率依次為，，m，其中，技能測(cè)試是否通過(guò)相互獨(dú)立.
（1）若.求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試恰好通過(guò)兩項(xiàng)的概率；
（2）已知甲?乙兩家公司的招聘在同一時(shí)間進(jìn)行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家，應(yīng)聘者以專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)項(xiàng)目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，若該應(yīng)聘者更有可能通過(guò)乙公司的技能測(cè)試，求m的取值范圍.
17.（15分）
己知橢圓過(guò)點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).點(diǎn).直線分別交橢圓于點(diǎn)，直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18.（17分）
已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間，
（2）已如.若函數(shù)有唯一的零點(diǎn).證明，.
19.（17分）
設(shè)數(shù)列.如果對(duì)小于的每個(gè)正整數(shù)都有.則稱是數(shù)列的一個(gè)“時(shí)刻”.記是數(shù)列的所有“時(shí)刻”組成的集合，的元素個(gè)數(shù)記為.
（1）對(duì)數(shù)列，寫出的所有元素；
（2）數(shù)列滿足，若.求數(shù)列的種數(shù).
（3）證明：若數(shù)列滿足，則.
贛州市2024年高三年級(jí)摸底考試
數(shù)學(xué)（理科）參考答案
一?單選題（共40分）
二?多選題（共18分）
三?填空題（共15分）
12. 13.630 14.1
四?解答題（共77分）
15.解：（1）由平面，可得
令點(diǎn)到平面的距離為，則
由，可得
則
由，可得：
由平面，可得，則
則，即點(diǎn)到平面的距離為
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，過(guò)作交于，連結(jié)
是的中點(diǎn)，平面
平面，
為二面角的一個(gè)平面角
又，
且，可得
則
即二面角的正切值為
說(shuō)明：也可以利用向量法!
16.解：（1）記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試恰好通過(guò)兩項(xiàng)”為事件
由題設(shè)
（2）分別記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲?乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試中通過(guò)的項(xiàng)目數(shù)為”
由題設(shè)知：
所以
的所有可能取值為
，
，
，
故的分布列為
從而
由得
解得
17.解：（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，且橢圓的右焦點(diǎn)為
由題意得：
解得
所以的方程為：
（2）設(shè)的方程為，設(shè)，則直線的方程為
由可得
結(jié)合，可得
可得，解得
代入，解得
同理可得
故
，故直線的斜率是定值，且定值為2
18.解：（1）
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)
又
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
的減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
由（1）可知在單調(diào)遞增，且，
又
存在唯一的使得
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；
若方程有唯一的實(shí)數(shù)，則
消去可得
令，
則
在上為減函數(shù)
且
當(dāng)時(shí)，即
19.解：（1）由題設(shè)知當(dāng)時(shí)，，故是數(shù)列的一個(gè)“時(shí)刻”
同理當(dāng)時(shí)，都有，即也是數(shù)列的一個(gè)“時(shí)刻”
綜上，
（2）由，易知或
①當(dāng)時(shí)，必須從左往右排列，6可以是中任一個(gè)，共有5種情況
②當(dāng)時(shí)，若中的四個(gè)元素是由集合中的元素或或或引起的
1.若由引起，即4，3，2，1從左往右排列，則5必須排在4的后面，共4種；
2.若由引起，即5，3，2，1從左往右排列，則4必須排在3的后面，共3種
3.若由引起，即從左往右排列，則3必須排在2的后面，共2種；
4.若由引起，即從左往右排列，則2必須排在1的后面，共1種
綜上，符合的數(shù)列有15種
另解：
因?yàn)閿?shù)列，由題意可知中的四個(gè)元素為中的四個(gè)共有5種情況：
①當(dāng)時(shí)，數(shù)列共有1種情況；
②當(dāng)時(shí)，數(shù)列共有2種情況；
③當(dāng)時(shí)，數(shù)列共有3種情況；
④當(dāng)時(shí)，數(shù)列共有4種情況；
⑤當(dāng)時(shí)，數(shù)列，共有5種情況；
綜上，符合的數(shù)列有15種
（3）①若，由，所以，即成立
②若，
不妨設(shè)且
從而
由累加法知：
又，即
綜上：.證畢題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
A
C
D
D
題號(hào)
9
10
11
答案
BC
ABC
ABD
0
1
2
3

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