贛州市2023年高三年級適應性考試數(shù)學（文科）試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，然后計算，再由正弦函數(shù)的值域計算集合，與求交集即可求解.【詳解】或，所以，，所以，故選：D.2. 已知復數(shù)，若，則（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念及復數(shù)相等求解即可得解.【詳解】因為，，所以可得，即，，所以，所以，故選：B．3. 已知等差數(shù)列中，是其前項和，若，，則（    ）A. 7 B. 10 C. 11 D. 13【答案】C【解析】【分析】設出公差，列出方程組，求出公差和首項，得到答案.【詳解】設公差為，則，，解得，故.故選：C4. 已知拋物線與圓交于A，兩點，且的焦點在直線上，則（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】求出焦點坐標，進而得到點坐標，代入圓中，求出答案.【詳解】由題意得，拋物線中，當時，，不妨設，則，解得，負值舍去.故選：C5. 某班有40名學生，在某次考試中，全班的平均分為70分，最高分為100分，最低分為50分，現(xiàn)將全班每個學生的分數(shù)以（其中）進行調整，其中是第個學生的原始分數(shù)，是第個學生的調整后的分數(shù)，調整后，全班最高分為100分，最低分為60分，則（    ）A. 調整后分數(shù)的極差和原始分數(shù)的極差相同B. 調整后分數(shù)的中位數(shù)要高于原始分數(shù)的中位數(shù)C. 調整后分數(shù)的標準差和原始分數(shù)的標準差相同D. 調整后分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)要多于原始分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)【答案】B【解析】【分析】計算出，且利用作差法得到除了最高分數(shù)外，調整后的分數(shù)都高于調整前的分數(shù)，從而對四個選項作出判斷.【詳解】由題意得，解得，于是，則，即除了最高分數(shù)外，調整后的分數(shù)都高于調整前的分數(shù)，A選項，調整后分數(shù)的極差小于原始分數(shù)的極差，A錯誤；B選項，調整后的分數(shù)平均數(shù)和中位數(shù)分別高于原始分數(shù)的平均數(shù)和中位數(shù)，B正確；C選項，根據(jù)，可知調整后的分數(shù)的標準差是調整前標準差的0.8倍，C錯誤；D選項，如果原始分數(shù)相同，則調整后分數(shù)也相同，故調整后的分數(shù)的眾數(shù)和原始分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)相同，D錯誤.故選：B6. 我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，如在中，“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程確定的值，類似地的值為（    ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】設未知數(shù)，列出方程，得到答案.【詳解】設，則，平方得，解得，負值舍去.故選：B7. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設，得到，畫出圖象，數(shù)形結合得到答案.【詳解】令，則，，其中，在同一坐標系內(nèi)畫出，故故選：D8. 正六面體有6個面，8個頂點；正八面體有8個面，6個頂點，我們稱它們互相對偶.如圖，連接正六面體各面的中心，就會得到對偶的正八面體.在正六面體內(nèi)隨機取一點，則此點取自正八面體內(nèi)的概率是（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出總體積以及符合要求的體積，代入幾何概型的計算公式即可．【詳解】設正方體的棱長為2，則正方體的體積，正八面體是由兩個全等的正四棱錐組成，且棱長為，則正四棱錐的底面積為2，高為1，體積為，則正八面體的體積，則此點取自正八面體內(nèi)的概率：故選：A.【點睛】本題考查了利用體積之比求解幾何概型問題，屬于中檔題.9. 已知雙曲線的左、右焦點分別是，，直線分別經(jīng)過雙曲線的實軸和虛軸的一個端點，，到直線的距離和大于實軸長，則雙曲線的離心率的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用點到直線距離公式列出不等式，求出，得到離心率取值范圍.【詳解】設直線經(jīng)過，則直線的方程為，即，則到直線的距離分別為，，故，解得，故離心率，故雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B10. 已知三棱錐的外接球的表面積為，平面，，，則該三棱錐中的，，面積之和的最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將三棱錐補形長方體，設，由條件證明，表示三角形的面積和，利用基本不等式求其最大值.【詳解】如圖將三棱錐補形長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，所以長方體的對角線為其外接球的直徑，設，則，因為三棱錐的外接球的表面積為，所以，所以，所以，三棱錐中的，，面積之和，故，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，所以三棱錐中的，，面積之和的最大值為.故選：D.11. 定義在上的偶函數(shù)滿足，且，關于的不等式的整數(shù)解有且只有個，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分析可知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且該函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，根據(jù)題意可知不等式在上有且只有個整數(shù)解，數(shù)形結合可得出關于實數(shù)的不等式組，即可得解.【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)滿足，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，即函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，令，該函數(shù)的定義域為，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，因為，則，即滿足，又因為不等式有個整數(shù)解，所以，不等式上有且只有個整數(shù)解，如下圖所示：所以，，即，解得.故選：A.12. 若函數(shù)在上單調，且滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結合三角函數(shù)的性質分析可得，對稱軸為，對稱中心為，運算求解即可.【詳解】函數(shù)在上單調，則，可得，因為，且，所以的對稱軸為，又因為，且在上單調，所以的對稱中心為，即，注意到對稱軸為與對稱中心相鄰，可得，則，且，解得，因為的對稱軸為，則，解得，且，取，則.故選：D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知,,,則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】條件中給出了兩個向量的模長，要求夾角只要求出向量的數(shù)量積，需要運用，得到關于與數(shù)量積的方程，解出結果代入求夾角的公式，注意夾角的范圍．【詳解】∵||=1，||=2，，∴=0，∴==1，∴cos＜＞==，∵＜＞∈[0，π]，∴兩個向量的夾角是，故答案為：．【點睛】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙?/span>. 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).14. 若實數(shù)x，y滿足,則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】畫出實數(shù)x，y滿足的平面區(qū)域，表示可行域內(nèi)的點到連線的斜率，結合圖象即可求出斜率的取值范圍.【詳解】畫出可行域如圖所示，三角形區(qū)域即為可行域，而表示可行域內(nèi)的點到連線的斜率，易得，，.故答案為：.15. 曲線在點處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為______．【答案】##0.25【解析】【分析】求導，得到切線方程的斜率，進而求出切線方程，求出與坐標軸圍成的三角形面積.【詳解】，故，故在點處的切線方程為，令得，令得，所以切線與坐標軸所圍成的三角形面積為.故答案為：16. 設為數(shù)列的前項和，滿足，其中，數(shù)列的前項和為，滿足，則______．【答案】【解析】【分析】利用得到，得到，利用裂項相消法求和.【詳解】當時，，①，當時，②，兩式相減得，即，所以，且對也適合，綜上，，故，.故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17. 在中，角A，B，C滿足．（1）求證：；（2）若角，求角A的大小．【答案】（1）證明過程見解析    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進而證明出結論；（2）在（1）的基礎上，結合三角恒等變換得到，由角A的范圍得到答案.【小問1詳解】，由正弦定理得，其中，所以，變形得到，由正弦定理得；【小問2詳解】，故，即，所以，，因為，所以，故，解得.18. 某同學在生物研究性學習中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究，于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/℃101113129發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616 （1）從這5天中任選2天，求這2天發(fā)芽的種子數(shù)均不大于26的概率；（2）請根據(jù)這5天中的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程．附：回歸直線的斜率的最小二乘估計公式為．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由列舉法結合古典概型概率計算公式即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由最小二乘估計公式分別求得即可得到結果.【小問1詳解】由題意，所有取值范圍有，，共有10個；設均不大于26為事件A，則事件A包含的基本事件有共6個，則.【小問2詳解】由數(shù)據(jù)可得，則，，，則，則，所以關于的線性回歸方程為19. 在直三棱柱中，為的中點，為側棱的中點．（1）證明：∥平面；（2）設，，且異面直線與所成的角為30°，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；    （2）【解析】【分析】（1）連接，設，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明∥平面；（2）取的中點為，結合異面直線夾角定義可得，由條件解三角形求，證明平面，結合錐體體積公式求三棱錐的體積．【小問1詳解】連接，設，因為為側棱的中點．所以，，所以，因為為的中點，，所以，所以，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點為，因為為的中點，所以，又，所以，所以為異面直線與所成的角，故，設，因為，，所以，，，，又，所以，又，，因為，，平面，所以平面，平面，所以，所以，又，，所以，即，因為，，平面，所以平面，所以三棱錐的體積.20. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）對于任意的，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極小值為，極大值為；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質，結合極小值的定義進行求解即可；（2）問題轉化為恒成立，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)判定其單調性即可.【小問1詳解】由得，令，則或，令，則，故當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有極小值點，極小值為；當時，函數(shù)有極大值點，極大值為；【小問2詳解】問題，時恒成立，等價于恒成立，構造函數(shù)，即，即證函數(shù)在上單調遞減，即在上恒成立，由，設，因為，所以，所以函數(shù)單調遞減，故，因此.【點睛】關鍵點睛：構造函數(shù)利用導數(shù)的性質進行求解是解題的關鍵，對于恒成立的問題可以用分離參數(shù)來處理.21. 已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交于、兩點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設點、、，記，則且，可知，，利用平面向量的坐標運算結合點差法求出點的軌跡方程，即可證得結論成立.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設點、、，因為，記，則且，又因為點在橢圓外，且、、、四點共線，所以，，，所以，，，所以，，，所以，，，又因為，則，作差可得，即，即，即，故點總定直線上.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用線段長之比相等求點的軌跡方程，解題的關鍵在于引入?yún)?shù)，將相等的長度之比轉化為向量的坐標運算，結合點差法進行求解.請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分． [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22. 在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，且）．以坐標原點為點，軸為極軸建立極坐標系．（1）求普通方程和極坐標方程；（2）設點是上一動點，點在射線上，且滿足，求點的軌跡方程．【答案】（1），    （2），【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程以及極坐標與直角坐標直角的轉化運算求解，注意參數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)題意結合極坐標的定義分析運算.【小問1詳解】由消去參數(shù)可得：，注意到，則，所以的普通方程為，可知曲線表示以圓心，半徑為1的上半圓，由，整理得，則，且，可得，又因為曲線為上半圓，則極角，所以的極坐標方程為.【小問2詳解】設點的極坐標為，，因為點在射線上，且滿足，則點的極坐標為，則，即，可得點的軌跡的極坐標方程為，，所以點的軌跡的直角坐標方程為，. [選修4-5：不等式選講]23. 設函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，，求證：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，即可畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可判斷；（2）根據(jù)的符號關系，將絕對值不等式進行化簡，結合絕對值不等式的性質進行證明即可．【小問1詳解】，所以的圖象如下所示： 則在上單調遞減，在上單調遞增，所以.【小問2詳解】若，則， 若，則，因此，而，故成立.
 
 

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