
求角的大小 線段的長
1.軸對稱前后的兩個圖形全等;(①對應角相等;②對應邊相等)
2.對稱點連線被對稱軸垂直且平分.
△ABD′與△D′CE有什么關(guān)系
(1)△ABE與△C′DE有什么關(guān)系
(2)△BDE是什么三角形.
△A′DE是什么三角形.
△MEF是什么三角形.
對稱的圖形中可能會有特殊角,而此時特殊角帶來的不僅僅是其本身,也可能會連帶其他角也變成特殊角.
【分析】找出圖中隱藏的特殊角.由題意可得:∠DAM=∠MAN=∠NAB=30o
【分析】由對稱可得AP⊥BD,易證△ABE∽△DAB,
記AP與BD交點為H,則AB·AD=AH·BD,
性質(zhì)2:對稱點連線被對稱軸垂直且平分,連接對稱點連線可得垂直,由垂直,可得直角三角形,可得三垂直全等或相似,由三角函數(shù),但終可求線段長.
【例3】如圖,折疊長方形的一邊AD,點D落在BC邊的點F處,已知AB=8cm,AD=10cm,則EC=___.
42+x2=(8-x)2
【分析】過F點作MN∥BC分別交AB、CD于M、N兩點.
設(shè)FM=x,則AM=2x,BM=4-2x.
易證△BMF∽△FNE.
【小結(jié)】對稱點落在內(nèi)部則可作輔助線,使點落在矩形邊上.
作點A關(guān)于直線MN的對稱點A′,連接A′B,與MN交點即為點P.
【分析】將軍飲馬問題的基本思路是“作關(guān)于動點所在直線的對稱,化折線為直線”,本題的一個難點在于要分析出動點P的軌跡是一條直線.
過點P作MN∥AB分別交AD、BC于M、N兩點,則M是線段AD靠近點D的三等分點,N是線段BC靠近點C的三等分點.
此時PA+PB=PA′+PB=A′B=
如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于G,連接AG,FC,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:①∠EAG=45o;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中正確結(jié)論是_____.
82+(12-x)2=(4+x)2
5.如圖,矩形AOBC邊OB,OA分別在x軸,y軸上,點A坐標為(0,3),∠OAB=60o,以AB為對稱軸對折后,使C點落在D點處,則D點坐標為__________.6.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在A′處,若EA′處,若EA′的延長線恰好過點C,則sin∠ABE的值為_____.
AH=4.5OH=AH-AO=4.5-3=1.5
7.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點E為AD上一點,且∠ABE=30o,將△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,連接CA′并延長交AD于點F,則DF的長為______.
【小結(jié)】矩形對稱,自帶直角也要再構(gòu)造直角,勾股、相似、三角函數(shù)均與直角相關(guān),明確了思路解題便不是難事.
【分析】可通過三角函數(shù)值來計算.
由題意得:∠ABE=∠A′BE=∠A′BC=30o,
過點A′作A′H⊥BC交BC于H點,
8.如圖,在矩形ABCD中,AD=2.將∠A向內(nèi)翻折,點A落在BC上,記為A′,折痕為DE.若將∠B沿EA′向內(nèi)翻折,點B恰好落在DE上,記為B′,則AB=____.
10.如圖,把某矩形紙片ABCD沿EF,GH折疊,使點B和點C落在AD邊上同一點P處,點A的對稱點為點A′,點D的對稱點為點D′,若∠FPG=90o,△A′EP的面積為4,△D′PH的面積為1,則矩形ABCD的面積等于______.
【分析】求矩形面積,考慮能否把矩形相鄰兩邊都算出來.兩端往中間折疊,則可得:A′P=D′P.
∴A′PD′=90o,
易證△A′EP∽△D′PH.
考慮兩三角形面積分別是4和1,
設(shè)AB=a,則A′P=D′P=a,D′H=0.5a,A′E=2a,
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