近幾年中考數(shù)學,有一些高頻考題,如線段最值問題,動點路程問題,除了填空選擇關(guān)于圓的計算以及解答題關(guān)于圓的證明以外,常常會以壓軸題的形式考察圓的重要性質(zhì).在這些題目的圖形中往往沒有出現(xiàn)“圓”,但在解題時卻要用到“圓”的知識點,我們把這種類型的題目稱之為“隱圓模型”. 在輔助圓問題中,我們了解了求關(guān)于動點最值問題的方式之一---求出動點軌跡,即可求出關(guān)于動點的最值. 我們繼續(xù)討論另一類動點引發(fā)的最值問題,在此類題目中,題目或許先描述的是動點P,但最終問題問的可以是另一點Q,當然P、Q之間存在某種聯(lián)系,從P點出發(fā)探討Q點運動軌跡并求出最值,為常規(guī)思路.
在前面的“胡不歸”問題中,我們見識了“kPA+PB”最值問題,其中P點軌跡是直線,而當P點軌跡變?yōu)閳A時,即通常我們所說的“阿氏圓”問題. 已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA:PB=k(k≠1)的點P的軌跡是一個圓,這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱“阿波羅尼斯圓”簡稱“阿氏圓”.如圖,其中PA:PB=OP:OB=OA:OP=k.
角平分線定理：如圖,在△ABC中,AD是BAC的角平分線,則AB:AC=DB:DC.
證法一：過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,
∵S△ABD:S△ACD=(0.5AB·DE):(0.5AC·DF)=AB:AC,
∴AB:AC=DB:DC.
S△ABD:S△ACD=DB:DC,
∵AD是BAC的角平分線,
證法二：過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E,
∴△ABD∽△ECD.
外角平分線定理：如圖,在△ABC中,外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D,則AB:AC=DB:DC.
證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC,連接BD,
即AB:AC=DB:DC.
則△ACD≌△AED(SAS),
∴CD=ED且AD平分BDE,
∴DB:DE=AB:AE,
∴P點軌跡是以MN為直徑的圓.
證明：如圖,PA:PB=k,作∠APB的角平分線交AB于M點,
根據(jù)角平分線定理,MA:MB=PA:PB=k,
故M點為定點,即∠APB的角平分線交AB于定點；
作∠APB外角平分線交直線B于N點,
根據(jù)外角平分線定理,NA:NB=PA:PB=k,
故N點為定點,即∠APB外角平分線交直線AB于定點；
∵∠MPN=90o,定邊對定角,
法二：建系 不妨將點A、B兩點置于x軸上且關(guān)于原點對稱,設(shè)A(-m,0),則B(m,0),設(shè)P(x,y),PA=kPB,即：
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
解析式滿足圓的一般方程,故P點所構(gòu)成的圖形是圓,且圓心與AB共線.除了證明之外,我們還需了解“阿氏圓”的一些性質(zhì)：(1)PA:PB=MA:MB=NA:NB=k. 應(yīng)用：根據(jù)點A,B的位置及k的值可確定M、N及圓心0.(2)△OBP∽△OPA,即變形為OB:OP=OP:OA,OP2=OA·OB. 應(yīng)用：根據(jù)圓心及半徑和A,B其中一點,可求A,B另外一點位置.(3)OP:OA=OB:OP=PA:PB=k. 應(yīng)用：已知半徑及A,B中的其中一點, 即可知道PA:PB的值.
已知P為⊙O上的動點,求kPA+PB的最小值.1.連接動點與圓心,將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連(即OP,OA)； 2.找出(或計算出)這兩條線段的長度；3.計算兩線段的比值OP:OA=k；4.在OA或OA的延長線上取點M,使得OM:OP=k,此時△OMP∽△OPA,∴PM:PA=k,∴PM=kPA,∴kPA+PB就轉(zhuǎn)化為PM+PB； 5.連接BM,則kPA+PB的最小值就是BM的長. 上述步驟為基本題型的基本步驟,有時候系數(shù)不為1的線段不能直接轉(zhuǎn)換,還需要利用提系數(shù)的方法進行轉(zhuǎn)化,這樣的題目還需要多嘗試,題目并不是死的,它總是會有所變化,做得多了才能隨機應(yīng)變.例如下面的一些變式.
【引例】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CB=4,CA=6,⊙C半徑為2,P為圓上一動點,連結(jié)AP,BP,則AP+0.5BP的最小值為____.
計算依據(jù)：半徑平方=破心線×權(quán)心線(子母共邊相似)
①連接圓心與兩個定點(OA,OB)；
②計算權(quán)心線上圓心與破題點M的距離: m=半徑的平方÷權(quán)心線；
③在權(quán)心線(或延長線上)截取OM=m；
④連接破題點M與非加權(quán)點(與圓相交于點P,該點為滿 足條件的動點),并計算其長度,該長讀即為所求.
應(yīng)用條件：半徑:權(quán)心線長度=加權(quán)比.
⑥此時的△CPM∽△CAM,CP:CM=CB:CP,CP2=CM·CA
①連接OA、OB(已連).
②計算“破心點”(破題點與圓心的距離) 長度=半徑的平方÷權(quán)心線=62÷4=9.
③在射線“心權(quán)線”上截取CM(破心線)=1(M為破題點).
④連接破題點M與非加權(quán)點,與⊙O相交于P點,P即為滿足條件的動點.
⑤計算AM的長度(AM=PA+MP=PA+0.5PB).
1.連：連接圓心與動點CD
2.構(gòu)：構(gòu)“母子”型柳腰相似 ----縮小型內(nèi)構(gòu)；擴大型外構(gòu) ----半徑CD為公共邊
3.算：第三邊CE的長度
【例3】如圖,等邊△ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為⊙O,P是圓上動點, 求2PB+PC的最小值.
1.在平面直角坐標系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動點,且∠BPA=135o，則2PD+PC的最小值為_________.
兩條線段都有系數(shù)時,又分為兩種類型,一種是需要兩條線段分別構(gòu)造母子型相似,做兩次轉(zhuǎn)化(如例4),另一種解法是直接提出一個系數(shù)(如例5).【例4】如圖,△ABC中AC=BC=4,ACB=90o,⊙C的半徑為2,D是⊙C上一動點,E在CB上,CE=1,連接AD、DE,則0.5AD+2DE的最小值為________.
【分析】AD、DE 兩線段系數(shù)均不為1,且已知線段長度有2倍關(guān)系和一半關(guān)系,因此可以將0.5AD和2DE構(gòu)造兩次母子型相似,分別進行轉(zhuǎn)化.【提示】取CM=1,連接MD,CD,DB,則△CMD∽△CDA,△CED∽△CDB,∴DM=0.5AD,BD=2DE,∴AD+2DE=DM+BD≥BM=√17.
【例5】在△ABC中,AB=9,BC=8,∠ABC=60o,⊙A的半徑為6，P是⊙A上的動點,連接PB、PC,則3PC+2PB的最小值為_____.
【分析】PB、PC的系數(shù)均不為1,已知線段長度也不含有2倍和3倍關(guān)系,因此3PC、2PB均不能直接構(gòu)造,但根據(jù)AB=9,⊙A的半徑為6,這兩個條件可得：PA:PB=6:9=2:3,于是我們想到把3PC+2PB轉(zhuǎn)化為3(PC+2/3PB),只需要求PC+2/3PB的最小值即可解決.
解析：連接PA,在AB上取一點D,使得AD=4,則AD:AP=AP:AB=2:3.∴△ADP∽△APB,相似比為2:3,∴PD:PB=2:3,∴PD=2/3PB,∴PC+2/3PB=PC+PD≥CD,過C作CH⊥AB,易求得CD=7，∴PC+2/3PB的最小值為7， ∴3PC+2PB的最小值為21.
求帶系數(shù)的兩條線段差最大的問題,轉(zhuǎn)化方法和前面所講完全一樣,只是最后求最值時有所不同,前面求和最小都是運用兩點之間線段最短的原理,求差最大,我們需要運用“三角形兩邊只差小于第三邊”這一原理來解決.【例6】(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,⊙B的半徑為2,點P是⊙B上的一個動點,那么PD+0.5PC的最小值為____.PD-0.5PC的最大值為______.(2)如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,⊙B的半徑為6,點P是⊙B上的一個動點,那么PD+2/3PC的最小值為_____,PD-2/3PC的最大值為______.(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,B=60o,⊙B的半徑為2,點P是⊙B上的一個動點,那么PD+0.5PC的最小值為____,PD-0.5PC的最大值為______.
1.如圖,△ABC中AC=BC=4,△ACB=90o,⊙C的半徑為2,D是⊙C上一動點,E在CB上,CE=1,連接AD、DE,則|0.5AD-DE|的最大值為______,2DE-0.5AD的最大值為______,
⑥此時的△OPA∽△OMP,OP:OM=OA:OP,OP2=OM·OA
【例1】已知扇形COD中,∠COD=90o,0C=6,0A=3,0B=5,點P是CD上一點",則2PA+PB的最小值為____.
②計算“破心點”(破題點與圓心的距離) 長度=半徑的平方÷權(quán)心線=62÷3=12.
③在射線“心權(quán)線”上截取0M(破心線)=12(M為破題點).
④連接破題點M與非加權(quán)點,與⊙O相交于P點, P即為滿足條件的動點.
⑤計算MB的長度(MB=MP+PB=2PA+PB).
3.如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一動點,AD=6,CP=4,求：3PA+2PD的最小值.
1.已知在坐標系中,點A(-1,0),點B(3,0),P是平面中一點且PA:PB=3:1,求P點軌跡圓圓心位置.
【分析】既然已經(jīng)了解的“阿氏圓”的相關(guān)內(nèi)容,不妨直接用上結(jié)論.取M(2,0)滿足MA:MB=3:1,取N(5,0)滿足NA:NB=3:1.P點軌跡即是以MN為直徑,MIN中點0為圓心的圓.
【分析】像這樣的問題一般就是“阿氏圓”構(gòu)圖,已知圓與A點,求另外一點B. 【思路1】構(gòu)造相似三角形. 考慮OP2=0A·0B,將OP=3/2,OA=9/2,代入可得：OB=1/2, 故B點坐標為(3,0).
【思路2】根據(jù)“阿氏圓”中的特殊位置.當P點運動到M點位置時,有MA:MB=3:1,考慮到A(-1,0),M(2,0),可得MB=1，考慮到A、M、B共線且B點在M點右側(cè),可得B點坐標為(3,0).
【補充】這里的圓0與點A及PA:PB的比值都是配套存在的,思路2雖有投機取巧之嫌,卻是根據(jù)“阿氏圓”定義求出的B點,還好用.
【分析】問題中的PQ暫時不用管,先處理好1/3PA,考慮到P點軌跡是個圓,且要構(gòu)造1/3PA.大膽猜測：平面中存在一點B使得P在圓上任意位置,均滿足：PB:PA1:3,即有PB=1/3PA.其實就是逆用“阿氏圓”,這樣的題目一般就是給出圓與A點位置,求另一點B的位置,即可轉(zhuǎn)化1/3PA.點B求法如上練習2,剩下的求最小值就很簡單了.
3.如圖,在Rt△ABC中,C=90o,AC=4,BC=3,以點C為圓心,2為半徑作圓,分別交AC,BC于D、E 兩點,點P是圓C上一個動點,則0.5PA+PB的最小值為_____.
【思路】構(gòu)造相似三角形點M與A,C共線,且M點必滿足：CP2=CM·CA,代入CP、CA,即可得：22=4·CM,得：CM=1,即可確定M點位置,0.5PA+PB=PM+PB問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值,直接連BM即可.
【分析】確定了問題關(guān)鍵是構(gòu)造“0.5PA”,即在平面中找一點M使得“PM=0.5PA”.
【問題剖析】(1)這里為什么是0.5PA?
答：因為圓C半徑為2,CA=4,比值是1:2,∴△CMP與△CPA的相似比為1:2,所以構(gòu)造的是0.5PA,也只能構(gòu)造0.5PA.
(2)如果問題設(shè)計為PA+kPB最小值,k應(yīng)為多少?
答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3,k應(yīng)為2/3.
1.如圖,在△ABC中,∠CB=90o,BC=12,AC=9,以點C為圓心,6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是______.
【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=3(2/3AD+BD),故求2/3AD+BD最小值即可.考慮到D點軌跡是圓,A是定點,且要求構(gòu)造2/3AD,條件已經(jīng)足夠明顯.當D點運動到AC邊時,DA=3,此時在線段CD上取點M使得DM=2,則在點D運動過程中,始終存在DM=2/3DA.
問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值,直接連接BM,BM長度的3倍即為本題答案.
2.如圖,已知正方ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,則PD-0.5PC的最大值為______.
【分析】當P點運動到BC邊上時,此時PC=2,根據(jù)題意要求構(gòu)造0.5PC,在BC上取M 使得此時PM=1,則在點P運動的任意時刻,均有PM=0.5PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.
連接PD,對于△PDM,PD-PM＜DM,故當D、M、P共線時,PD-PM=DM為最大值.
如圖1,在平面直角坐標系中,直線y=-5x+5與x軸、y軸分別交于A、C兩點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為B.(1)求拋物線解析式及B點坐標；(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點,連接MA、MB、MC,當點M運動到某一位置時,四邊形AMBC面積最大,求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；(3)如圖2,若P點是半徑為2的圓B上一動點,連接PC、PA,當點P運動到某一位置時,PC+0.5PA的值最小,請求出這個最小值,并說明理由.
解:(1)直線y=-5x+5,x=0時,y=5
y=-5x+5=0時,解得:x=1
∴拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,C兩點
∴拋物線解析式為y=x2-6x+5
當y=x2-6x+5=0時,
解得：x1=1,x2=5
∴當m=3,即M(3,-4)時,四邊形AMBC面積最大等于18
(2)如圖1,過點M作MH⊥x軸于點H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)
∴S△ABC=0.5AB·OC=0.5×4×5=10
∵點M為x軸下方拋物線上的點
∴設(shè)M(m,m2-6m+5)(1＜m＜5)
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5
∴S△ABM=0.5AB·MH=0.5×4(-m2+6m-5)=-2(m-3)2+8
∴S四邊形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2+18
∴AB=5-1=4,0C=5
∴當點C,P,D在同一直線上時,PC+0.5PA=PC+PD=CD最小
(3)如圖2,在x軸上取點D(4,0),連接PD、CD
∵AB=4,BP=2.
∴BD:BP=BP:AB=1:2
∵∠PBD=∠ABP.
∴△PBD∽△ABP.
∴PD:AP=PD:BP=1:2
∴PC+0.5PA=PC+PD
【例2】如圖,已知扇形COD，∠COD=90o,0C=6,0A=3,OB=5,點P是弧CD上一點,試求2PA+PB的最小值.
解析：延長0C至Q使CQ=OC,連接PQ、PO,∵0A:OP=OP:0Q=1:2,∴△0AP∽△0PQ,∴PA:QP=1:2,∴QP=2PA,當點B、P、Q三點共線時,2PA+PB最小,最小值為BQ的長13.
1.如圖,在扇形CAB中,CA=4,△CAB=120o,D為CA的中點,P為弧BC上一動點(不與C,B重合),則2PD+PB的最小值為_______.2.如圖,AB是⊙O的直徑,且AB=4,C是0A中點,過C作CD⊥AB交⊙O于D點,DE是⊙O的另一條直徑,P是圓上的動點,求2PC+PE的最小值.
2.如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0＜m＜4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點P作PM⊥AB于點M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；(2)設(shè)△PMN的周長為C1,△AEN的周長為C2,若C1:C2=6:5,求m的值；(3)如圖2,在(2)的條件下,將線段OE繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0o＜α＜90o),連接E′A,E′B,求E′A+2/3E′B的最小值.

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