①有公共頂點(diǎn)的兩個角,其中一個角是另一個角的一半；
③存在互補(bǔ)(或互余)的角.
③通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系.
①以公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,相等的兩條線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角； 將分散的條件集中,隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)；
②證明一對軸對稱的全等三角形；
等腰三角形,等邊三角形,等腰直角三角形,正方形.
【例1】如圖,點(diǎn)P在等邊△ABC的內(nèi)部,且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60o得到DC,連接AD,則(1)sin∠PAD的值為____；(2)則四邊形APBD的面積為________.(3)S△ABP+S△BPC=_________.
∴sin∠PAD=3/5
則△CPD是等邊三角形,故PD=PC=6
易證△CPB≌△CDA
∴△APD是直角三角形,
(2)S四邊形APBD=S△APD+S△PCD
(3)S△APO+S△BPC
=S△AEP+S△BEP
【小結(jié)】如果說(1)(2)問是給出了輔助線,那么第(3)問便是完全自行構(gòu)造旋轉(zhuǎn),這個圖形也是一個固定搭配.
【搭配一】若PA2+PC2=PB2,則可任意旋轉(zhuǎn),得等邊+直角. 且兩條較短邊夾角(∠APC)為150o.
【搭配二】若∠APC=150o，則有PA2+PC2=PB2.
1.如圖,P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且P到三個頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,則S△ABC=________.
【方法一】如圖,將三個小三角形面積分別S1,S2,S3.由于△ABC是等邊三角形,可將小三角形旋轉(zhuǎn)到合適的位置,可得：
【方法二】如圖,易證∠APB=150o,過點(diǎn)A作BP的垂線交BP延長線于點(diǎn)H,
2.如圖,點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求∠BPC的度數(shù)；(2)求等邊△ABC的邊長；(3)求等邊△ABC的面積.
解:(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴P′B=PB=3,P′C=PA=5,∠PBP′=ABC=60o.
將△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60o得△CBQ,
∴AB=BC,∠ABC60o.
∴△PBP′為等邊三角形.
∴PP′=PB=3,∠BPP′=60o.
即P′P2+PC2=P′C2.
∴∠P′PC=90o.
∴∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=150o.
(2)過點(diǎn)B作BH⊥PC于點(diǎn)H.
∵∠BPC=150o.
∴BH=0.5BP=1.5.
(1)將△APD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90o得△CQD,再連接PQ,
(2)作CH⊥DQ于點(diǎn)H，
求得∠APD=∠CQD=45o+90o=135°
已知在△ACB中,∠ACB=90o,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,則∠BPC=______.
三叉口模型---三線共點(diǎn)必旋轉(zhuǎn)
【思考】如果放在正方形里,條件與結(jié)論又該如何搭配?作旋轉(zhuǎn)之后,可得△AEP是等腰直角三角形,若使△PEB也為直角三角形,則∠APD=135o,而線段PA,PB,PD之間的關(guān)系為2PA2+PD2=PB2.
【搭配一】若∠APD=135o,則2PA2+PD2=PB2
【搭配二】若2PA2+PD2=PB2,則∠APD=135o
1.三叉口模型的特征：
①在正多邊形(或等腰直角三角形)中；
②三條已知線段有公共端點(diǎn)；
③由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理求出角度；
①將其中一個三角形到旋轉(zhuǎn)；
②連接三叉口點(diǎn)與其對應(yīng)點(diǎn)；
④過正多邊形的頂點(diǎn)作求出角的一邊的垂線.
⑤利用勾股定理求出正多邊形的邊長(或面積).
1.已知P為等邊三角形ABC的邊BC上的一點(diǎn),若∠APC＝104o,則在以線段AP、BP、CP為邊的三角形中,最小內(nèi)角的大小為( 　) A.14o B.16o C.24o D.26o
2.閱讀材料:小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題,一天楊老師給他一道幾何問題：如圖1,△ABC和△BDE都是等邊三角形,且點(diǎn)A在DE上.求證：以AE,AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.探究發(fā)現(xiàn):(1)小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC.根據(jù)已知條件,可以證明DC=AE,∠ADC=120o,從而得出△ADC是鈍角三角形,故以AE,AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.請你根據(jù)小明的思路,寫出完整的證明過程；
(1)證明：如圖1,連接DC.
∴以AE,AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形.
∴AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60o.
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD,即∠CBD=∠ABE.
∴△CBD≌△ABE(SAS).
∴CD=AE,∠BDC=∠E=60o.
∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120o.
∴△ADC為鈍角三角形.

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