當三角形一邊垂線過這邊中點時,可以考慮用垂直平分線的性質得到(如圖)：BE=CE,證明線段間的數量關系.
【例3】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,BC=3,AC=4,點D是AB的中點,過點D作DE⊥AB交BC的延長線于點E,則CE的長為_____.
【思考】點D是AB的中點且DE⊥AB,你想到了哪些學過的知識：______________________________________________________________.
DE是線段AB的垂直平分線,垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等
設CE=x,連接AE.
∵DE是線段AB的垂直平分線.
∴AE=BE=BC+CE=3+x.
∴在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2.
即(3+x)2=42+x2,
【思考】在直角三角形中遇到斜邊上的中點,你想到了哪些學過的知識：___________________________________.
直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半
解：如圖,∵BF∥DE,點D是AB的中點.
∴ED是△AFD的中位線.
∴ED=CE+CD=4.
∵∠ACB=90o,D為AB的中點.
∴CD=0.5AB.
【思考】在等腰三角形中遇到底邊上的中點,你想到了哪些學過的知識：__________________________________________________.
【例5】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點M為BC的中點,MN⊥AC于點N.則MN的長為____．
等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”
∵AB=AC=5,點M為BC的中點.
∵0.5AM×MC=0.5AC×MN.
“角平分線,中點,垂直”只要出現了兩個條件,考慮補全為等腰三角形三線合一模型.
【思考】在一般三角形中看到中點,你想到了哪些學過的知識： _____________________________________________________________.
過中點作平行線可構造中位線,中位線平行于底邊且等于底邊的一半.
【例6】如圖,M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,BN⊥AN于點N,且AB=8，MN=3.則AC的長為()A.3 B.7 C.8 D.14
∴AC=AD+DC=8+6=14.
解析：∵AN平分∠BAC.
∴∠BAN=∠DAN,AN=AN,∠ANB=∠AND=90o.
∴△ABN≌△AEN.
∴AD=AB=8,BN=ND.
∵M是△ABC的邊BC的中點.
∴CD=2MN=2×3=6.
2.一邊的垂線過這邊中點
1.中線或與中點有關線段
垂徑定理或圓周角定理．
6.多個中點或平行+中點
4.直角三角形+斜邊中點
5.等腰三角形+底邊中點
直角三角形斜邊中線性質；
1.如圖,在四邊形ABCD中,M,N分別是CD,BC的中點,且AM⊥CD,AN⊥BC.(1)求證：∠BAD=2∠MAN；(2)連接BD,若∠MAN=70o,∠DBC=40o,求∠ADC.
(1)證明：如解圖,連接AC.
∵M是CD的中點,AM⊥CD.
∴AM是線段CD的垂直平分線.
(2)解：∵AM⊥CD,AN⊥BC,∠MAN=70o.
∴∠BCD=360o-90o-90o-70o=110o.
∴∠BDC=180o-∠DBC-∠BCD=30o,∠BAD=2∠MAN=140o.
∵AB=AC,AD=AC.
∴∠ADB=∠ABD=20o.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50o.
2.如圖,已知AB=24,AB⊥BC于點B,AB⊥AD于點A,AD=10,BC=20.若點E是CD的中點,則AE的長是_____.
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90o,CD為AB邊上的高,若點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點,則∠BCE的度數是( ) A.60oB.45o C.30o D.75o
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD為AB邊上的高, 點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點.
∴∠CED=∠A,CE=BE=AE.
∴∠ECA=∠A,∠B=∠BCE.
∴△ACE是等邊三角形.
∴∠B=∠CED=30o．
如圖,在矩形ABCD中,點E為AB邊上一點,EC平分∠DEB,點F為CE的中點,連接AF,BF.過點E作EH∥BC分別交AF,CD于G,H兩點.求證：(1)DE=DC；(2)AF⊥BF.
證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形
∴∠DCE=∠CEB.
∴∠DCE=∠DEC.
∵DE=DC,點F為CE的中點,
在矩形ABCD,AB=DC,∠ABC=90o,
∴BF=CF=EF=0.5EC
∴∠ABF=∠CEB.
∵∠DCE=∠CEB,
∴∠ABF=∠DCF.
在△ABF和△DCF中
∴△ABF≌△DCF(SAS)
∴∠AFB=∠DFC=90o
在△ABC中,CD平分∠ACB,AD⊥CD,E是AB中點,AC=15,BC=27,求DE的長.
等腰中,造三線,兩個條件快補全.
【分析】本題中,點E已經是AB的中點,由CD平分∠ACB,AD⊥CD,想到可以構造等腰三角形,利用三線合一,使點D成為另一個中點,從而讓ED變成“看得見”的中位線.
∴DE=0.5BF=0.5(BC-CF)=0.5(BC-AC)=6.
解：延長AD交BC于F.
∵CD平分∠ACB,AD⊥CD
∴∠ACD=∠FCD,∠ADC=∠FDC=90o,
∴AC=CF,AD=FD
∵E是AB的中點，D是FA的中點.
∴DE是△ABF的中位線，
1.如圖1,在△ABC中,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分線l交AC于點D,則∠CBD的度數為( ) A.30o B.45o C.50o D.75o2.如圖2,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別是邊AB,AC的中點,延長BC至點F,使CF=0.5BC,若AB=10,則EF的長是____.
4.如圖,D是△ABC內一點,BD⊥CD,AD=12,BD=8,CD=6,點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,BD的中點,則四邊形EFGH的周長是____. 5.如圖,△ABC的面積是12,點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,則△AFG的面積是____.6.如圖,在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點,E為BD上一點,F為CE的中點.若AE=AD,DF=2,則BD的長為____.
7.如圖,點M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,BN⊥AN于點N,延長BN交AC于點D,已知AB=10,AC=16,則MN=____.8.如圖,在△ABC中,D是AB上一點,AD=AC,AE平分∠CAD,交CD于點E,F是BC的中點,若BD=16,則EF的長為____．9.如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD,AE分別是其角平分線和中線,點C作CG⊥AD于點F,交AB于點G,連接EF,則線段EF的長為____.
11.如圖,在△ABC中,若∠B=2∠C,AD⊥BC,E為BC邊中點,求證：AB=2DE.
EF為中位線,綜合已知條件易得：DE=DF
【變式】如圖,在△ABC中,AB=2,AC=3,E為BC的中點,AD平分∠BAC,CF⊥AD交AD的延長線于點F,求EF的長.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=4,CE=10,求CD的長.
解：在Rt△ABC中∠ACB=90o,CE為AB邊上的中線,CE=10,
∵CD為AB邊上的高,
14.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC⊥BC,點E,F分別在AB,BC上,且滿足AC=AE=CF,連接CE,AF,EF. (1)若∠ABC=35°,求∠EAF的度數；(2)若CE⊥EF,求證：CE=2EF.
(1)解：∵AC⊥BC,AC=CF.
∴△ACF為等腰直角三角形，則∠AFC=45o.
∵∠AFC=∠B+∠EAF,∠B=35o.
(2)證明：如解圖①,取CF的中點M,連接EM、AM.
∴EM=CM=FM=0.5CF.
∴AM為EC的中垂線.
∴∠CAM+∠ACE=90o.
∵∠ECF+∠ACE=90o.
∴∠CAM=∠FCE.
∵∠CEF=∠ACM=90o.
∴△ACM∽△CEF.
∵CF=AC=2CM.
∴AC:CM=CE:EF=2:1
∴AC:CM=CE:EF

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