(1)以線段拼成三角形為背景考查新定義問題,倍長中線證明線段數(shù)量關(guān)系；
(2)以正方形為背景,結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn),證明線段數(shù)量關(guān)系；
(3)以一般三角形為背景,作倍長中線或平行倍長中線,
當已知條件中出現(xiàn)中線時,常常將此中線倍長構(gòu)造全等三角形解決問題.如圖,在△ABC中,D為BC的中點,
延長AD到點E,使DE=AD,連接BE,則△ADC≌△EDB
找到三角形中線,倍長中線證明8字形三角形全等,從而得到線段數(shù)量關(guān)系.
【例1】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,延長BE交AC于點F,AF=EF,求證：AC=BE.
②延長ED到點G,使得DG=DE,構(gòu)造△CGD全等于△BED.
【思 考 】 你 能 想 到 哪 些 作 輔 助 線 的 方 法 ：
①延長AD到點G,使得DG=AD,構(gòu)造△GDB全等于△ADC；
證法一：如圖,延長AD到點G,使得DG=AD,連接BG.
∵∠BDG=∠CDA.AD=GD.
∴△ADC≌△GDB.
∴AC=GB.∠G=∠EAF.
∴∠EAF=∠AEF.
∵∠AEF=∠BED.
證法二：如解圖②,延長ED到點G,使得DG=DE,連接CG.
∵∠BDE=∠CDG,DG=DE.
∴△BED≌△CGD.
∴∠G=∠BED,BE=CG.
∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.
延長ED到點F,使DF=ED,連接CF,則有△BED≌△CFD
【例2】已知：如圖,點E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠D. 求證：AB=CD.
證明：延長DE到點F,使EF=DE,連接BF.
在△FEB和△DEC中,
∴△FEB≌△DEC(SAS).
∴∠F=∠D,BF=CD.
2.一邊的垂線過這邊中點
1.中線或與中點有關(guān)線段
垂徑定理或圓周角定理．
6.多個中點或平行+中點
4.直角三角形+斜邊中點
5.等腰三角形+底邊中點
直角三角形斜邊中線性質(zhì)；
1.已知：如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于點F.求證：AF=EF.
∴△ADC≌GDB(SAS)
證明：延長AD到點G,使得DG=AD,連接BG.
∵AD是BC邊上的中線,
在△ADC和△GDB中
∴∠CAD=∠G,AC=BG.
∵∠BED=∠AEF.
∴∠AEF=∠CAD, 即∠AEF=∠FAE.
2.如圖,在四邊形ABCD中,∠A+∠B=90o,AD=6,BC=8,點E為AB的中點，DE⊥CE,求CD的長.
證明：延長CE到點F,使得EF=CE,連接AF,DF.
∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌BEC(SAS)
∴AF=BC=8,∠FAE=∠B.
∵∠A+∠B=90o.
∴∠A+∠FAE=90o.即∠FAD=90o.
∵DE⊥CE,EF=CE.
3.E是BC中點,EF∥DA,若BG=CF,求證：AD平分∠BAC.
解：延長FE到點H,使EH=EF,連接BH.
在△FEC和△HEB中
∴△FEC≌△HEB(SAS)
∴∠H=∠F,BH=CF
∴∠H=∠3=∠4=∠F
∴∠4=∠6,∠F=∠5
3.如圖,在△ABC中,AB=3,AC=5,則BC邊上中線AD的范圍是_________.
10.如圖,CB是△AEC中線,CD是△ABC中線,AC=AB.求證：(1)2CD=CE； (2)CB平分∠DCE.
13.在△ABC中,D為BC的中點.(1)如圖1,AB=5,AC=3,AD=2,求△ABC的面積；
(1)解：如解圖1,延長AD至點E,使得DE=AD,連接BE,CE.
∵BD=DC,DE=AD.
∴四邊形ABEC是平行四邊形.
∴BE=AC=3,AE=2AD=4.
在△ABE中,三條邊的長度3、4、5是勾股數(shù).
∴△ABE是直角三角形.
∴S△ABE=1/2×3×4=6.
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知S△ABC=S△ABE.

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