1. 已知集合，，若，則a的值是（ ）
A. 1或2B. 或0C. 1D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)集合相等有求參數(shù)，結(jié)合集合元素的互異性確定參數(shù)值.
【詳解】由題設，可得或，
當時，，滿足題設；
當時，，不符合集合元素的互異性；
所以.
故選：C
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】利用量詞命題的否定規(guī)則即可得解.
【詳解】量詞命題的否定規(guī)則為：改量詞，否結(jié)論，
所以“，”的否定是，.
故選：C.
3. 已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】求出集合，由求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】集合；
，.
.
則實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
4. 若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】舉出反例可得A、B、D錯誤；借助作差法計算可得C.
【詳解】對A：若，，則有，，
此時，故A錯誤；
對B：若，，則有，，
此時，故B錯誤；
對C：，
由，故，，，故，
即，故C正確；
對D：若，，則，，
此時，故D錯誤.
故選：C.
5. 若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次不等式恒成立問題求解.
詳解】當時，恒成立，則；
當時，，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：D
6. 若、都有恒成立，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】推導出，，將代入各選項中的代數(shù)式，利用基本不等式逐項判斷即可.
【詳解】顯然不滿足等式，所以，，則，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，故，A對B錯；
，
當且僅當時，即當時，等號成立，即，CD都錯.
故選：A.
7. 若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值為（ ）
A. 9B. 6C. D. 5
【正確答案】D
【分析】問題化為在區(qū)間上有解，應用基本不等式求右側(cè)最小值，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，
等價于在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，
又，當且僅當時，取最小值6.
故，可得.
故選：D
8. 設為正實數(shù)，若，，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由題意可得進而，則，解得，即可求解.
【詳解】由，得，
由，且為正實數(shù)，所以，
于是，故，
所以，所以，
解得.
故選：A
二、多選題（每題6分，錯選0分，少選扣分）
9. 已知且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ACD
【分析】先化簡式子得到，應用基本不等式的乘“1”法可判斷BD，A直接應用基本不等式即可判斷，C轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可判斷.
【詳解】根據(jù)題意:
，
，
，又，，
，
對A，，則，
當且僅當且，即時等號成立，A正確；
對B，，
當且僅當且，即時等號成立，B錯誤；
對C，由，又，
故，所以，當且僅當時等號成立，C正確；
對D，，
當且僅當且，即時等號成立，D正確.
故選：ACD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小值為2
B. 已知正實數(shù)滿足，則的最大值為
C. 已知正實數(shù)滿足，則的最小值為8
D. 設為實數(shù)，若，則的最大值為
【正確答案】BD
【分析】利用均值不等式來求最值，注意取等號條件是否滿足，再利用函數(shù)思想求最值，即可作出判斷．
【詳解】對于A，由，
其中取等號條件為：，此時無解，故等號不成立，所以A錯誤；
對于B，因，所以，
即，所以，
所以恒成立，
則，
取等號條件：，又由，可得，，
即等號條件成立，此時有，故B正確；
對于C，由，
由于，且，可得，
利用反比例函數(shù)單調(diào)性可知在上遞增，
利用復合函數(shù)單調(diào)性思想，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷在上遞增，
所以，即無最小值，故C錯誤；
對于D,由
，
即，
當且僅當時等號成立，即能取到最大值，故D正確；
故選：BD．
11. 已知，關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 最大值為
C. 的最小值為4D. 的最小值為
【正確答案】ABC
【分析】依題意可得和為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達定理得到，即可得到，從而判斷A；再利用基本不等式判斷B、C、D.
【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，
所以和為關(guān)于的方程的兩根且，
所以，所以，所以，故A正確；
又，所以，解得，當且僅當，即，時取等號，
所以的最大值為，故B正確；
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故C正確；
因為，所以，
所以
，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為，故D錯誤.
故選：ABC
三、填空題（每題5分共15分）
12. 已知全集，集合或，則______.
【正確答案】或
【分析】數(shù)形結(jié)合得出補集即可.
【詳解】在數(shù)軸上表示出全集,集合,
根據(jù)補集的概念可知或.
故或.
13. 已知，，，則的取值范圍為_______.
【正確答案】
【分析】由已知計算可得，再結(jié)合不等式的性質(zhì)計算即可求解.
【詳解】，，
解得，
則，
，，
，，
，
即，
的取值范圍為.
故答案為.
14. 若不等式對一切正實數(shù)，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)不等式恒成立可得，利用基本不等式求得其最小值即可得出結(jié)論.
【詳解】由不等式對一切正實數(shù)，，恒成立可得,恒成立，
令，
當且僅當時，等號成立，此時的最小值為2；
因此可得即可，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為:
四、解答題（共77分）
15. 設命題：對任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立．
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若有且只有一個為真，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）；
（2）或.
【分析】（1）求出函數(shù)在的最小值，再由恒成立建立不等式求解.
（2）化簡命題，由（1）結(jié)合條件列不等式即可求出取值范圍.
【小問1詳解】
當時，的最小值為，
由為真命題，即對任意，不等式恒成立，
得，解得，
所以的取值范圍.
【小問2詳解】
當時，，當且僅當時取等號，
由為真命題，即存在，使得不等式成立，
得，解得，即，由（1）知，
而有且只有一個為真，則當真假時，，解得；
當假真時，或，解得，
所以的取值范圍為或.
16. 如圖所示，某高中校運動會，擬在一張矩形海報紙上設計大小相等的左右兩個矩形宣傳欄發(fā)布預賽成績與決賽成績，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報上四周空白的寬度均為，兩個宣傳欄之間的空隙的寬度為，設海報紙的長和寬分別為.
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）為節(jié)約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙是最少？
【正確答案】（1）
（2）海報長，寬時，用紙量最少
【分析】（1）根據(jù)宣傳欄的面積列出解析式；
（2）結(jié)合基本不等式求解出海報面積的最小值即的最小值；
【小問1詳解】
由題知，兩個矩形宣傳欄的長為，寬為，
，
整理得.
【小問2詳解】
由（1）知，即，
，由基本不等式可得，
令，則，
解得（舍去）或.
，當且僅當，即時等號成立，
∴海報長，寬時，用紙量最少，最少用紙量為.
17. 已知關(guān)于的不等式的解集為，其中．
（1）若，求的值；
（2）求不等式的解集.
【正確答案】（1）
（2）答案見解析
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系，結(jié)合韋達定理可得結(jié)果.
（2）討論的范圍，解一元二次不等式可得結(jié)果.
【小問1詳解】
當時，關(guān)于的方程的兩根為，
由韋達定理可得，解得.
【小問2詳解】
原不等式可化為.
當時，原不等式為，解得，；
當時，方程的根為，，
當時，不等式可化為，解得或，
；
當，即時，原不等式為，；
當，即時，不等式可化為，解得，；
當，即時，不等式可化為，解得，.
綜上所述，當時，；當時，；
當時，；當時，；當時，.
18. 已知關(guān)于的不等式的解集為，集合.
（1）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍；
（2）當時，恒成立，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題1和是方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理求解集合A，又“”是“”的充分不必要條件，可得是的真子集，利用集合的包含關(guān)系求解.
（2）由（1）可得，結(jié)合恒成立問題和基本不等式，，故而得解.
【小問1詳解】
由題意知，1和是方程的兩個實數(shù)根，且，
得，解得，
是的充分不必要條件，
是的真子集，而
，解得
故的取值范圍為
【小問2詳解】
由（1）可得：，
所以，當且僅當時，
取得最小值為，此時.
依題意有，即，
整理得，解得
所以的取值范圍為.
19. 已知集合，．
（1）若集合，求此時實數(shù)的值；
（2）已知命題，命題，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）依題意、為關(guān)于的方程的兩根，利用韋達定理計算可得；
（2）由是的充分條件，知，分，、三種情況求出，利用集合的包含關(guān)系求實數(shù)的取值范圍.
小問1詳解】
因為，
所以、為關(guān)于的方程的兩根，
所以，解得；
【小問2詳解】
由，即，解得，
所以，
由命題，命題且是的充分條件，
所以，
由，可得，
當時，解得，即，所以（等號不同時取到），解得；
當時，解得，即，顯然不符合題意；
當時，解得，即，所以（等號不同時取到），解得；
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.

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