1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（ ）
A．B．C．D．
2．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺，石瓢壺，潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約為（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知一組數(shù)據(jù)：55，64，92，76，88，67，76，90，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
A．90B．88C．82D．76
5．點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A．；B．；
C．；D．；
6．若第一象限內(nèi)的點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則的最小值為（ ）
A．1B．4C．10D．16
7．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面
B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角
C．若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則l//
D．若空間向量
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．已知曲線，則以下說法正確的是（ ）
A．點在曲線內(nèi)部B．曲線關(guān)于原點對稱
C．曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積為D．曲線的周長是
10．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值且的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C與圓有且僅有三條公切線
B．曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為
C．若點在曲線C上，則的取值范圍是
D．在x軸上存在異于A，B的兩點E，F(xiàn)，使得
11．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．點到平面的距離為定值
B．直線與所成角的取值范圍為
C．的最小值為
D．若為線段上的動點，且平面，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4,則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
方差為 .
13．已知圓臺的上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則該圓臺的外接球的體積為 .
14．一條光線從點射出，與x軸相交于點，經(jīng)x軸反射，反射光線所在的直線為l.若曲線上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知圓心為C的圓經(jīng)過點，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l過點且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．
16．（15分）某學(xué)校為提高學(xué)生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)約為多少；
(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.
17．（15分）甲、乙兩位隊員進(jìn)行某種球類對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為， 乙發(fā)球甲贏的概率為， 不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．
(1)求該局打4個球甲贏的概率;
(2)求該局打5個球結(jié)束的概率．
18．（17分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，，二面角的大小為，點為線段上一點.
(1)證明：平面平面.
(2)若，求四棱錐的體積.
(3)點為線段上一動點，求直線與平面所成角的正弦的最大值.
答案
1．D
【分析】根據(jù)直觀圖運(yùn)用斜二測畫法，還原原圖即可解決.
【詳解】因為，由直觀圖可知，，
所以還原平面圖形中，，
在中，，則三角形的周長為．
故選：D．
2．B
【分析】根據(jù)題意可知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，由圓臺的結(jié)構(gòu)可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，設(shè)大圓錐的高為，所以，求出的值，最后利用圓錐的體積公式進(jìn)行運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】解：根據(jù)題意，可知石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，
圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，高為4，
可知該壺的容積為大圓錐的體積減去小圓錐的體積，
設(shè)大圓錐的高為，所以，解得：，
則大圓錐的底面半徑為5，高為10，小圓錐的底面半徑為3，高為6，
所以該壺的容積.
故選：B.
3．C
【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.
【詳解】當(dāng)時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；
當(dāng)與直線平行時，，則
∴或，
當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時，，，
整理后與重合，故舍去，
∴，滿足必要條件；
∴“”是“直線與直線平行”的充要條件
故選：C
4．A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：55，64，67，76，76，88，90，92，
又，
所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.
故選：A
5．A
【分析】求出直線所過的定點，再確定最大值條件即可求解.
【詳解】將直線變形得，
由，解得，因此直線過定點，
當(dāng)時，點到直線的距離最大，
最大值為，又直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
故選：A

6．A
【分析】設(shè)對稱點的坐標(biāo)，由對稱的定義建立等量關(guān)系，將求得的對稱點坐標(biāo)代入解析式，求得關(guān)系，由基本不等式求得最小值.
【詳解】設(shè)點是點關(guān)于直線的對稱點，
則兩點的中點在對稱直線上且兩點的直線與對稱直線垂直，
則，解得
點在直線上，∴，即，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.
故選：A.
7．A.
【詳解】
A：在中，故P，A，B，C四點共面，對；
B：當(dāng)，同向共線時也成立，但與夾角不為銳角，錯；
C：由，即，故
D：在上的投影向量為
8．B
【分析】設(shè)點坐標(biāo)，然后表示出和，建立方程后得到點的軌跡方程，由兩個圓存在公共點，得到圓與圓的位置關(guān)系，從而得到圓心距和半徑的關(guān)系，求出的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，.
因為，所以，
即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.
又因為點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，
即，解得.
故選：B.
9．BC
【分析】選項A，結(jié)合圖象，當(dāng)時，或，可判斷；選項B，將換成，將換成，方程不變，可得；選項C，結(jié)合方程的對稱性，在第一象限時，圖象為圓的一部分，根據(jù)圓的方程可得其在第一象限與坐標(biāo)軸圍成的面積，進(jìn)而可得；選項D，同C結(jié)合方程的對稱性，求在第一象限部分的長度即得.
【詳解】
選項A：當(dāng)時，得，即，
因，故，故或，
因，故點在曲線外部，故A錯誤；
選項B：將換成，將換成，方程不變，
故曲線關(guān)于原點對稱，故B正確；
選項C：將將換成，方程不變，故曲線關(guān)于軸對稱，
設(shè)曲線在第一象限與坐標(biāo)軸圍成的面積為， 則曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積為，
當(dāng)時，方程，即，
其圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖，
當(dāng)時，得或，故弦長，
由，故，
則，故，故C正確；
選項D：由題意可知曲線的周長為，故D錯誤，
故選：BC
10．ACD
【分析】設(shè)點，由，得，即曲線為圓心為，半徑為2的圓，再結(jié)合選項依次判斷即可．
【詳解】設(shè)點，因為，所以，
整理得，，
即曲線為圓心為，半徑為2的圓，
對于A，圓，即，
該圓的圓心為，半徑為3，
兩圓的圓心距為：，
所以兩圓外切，故兩圓有且僅有三條公切線，故A正確；
對于B，曲線C的圓心關(guān)于直線對稱的點為，
所以曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為：，故B錯誤；
對于C，設(shè)，即，
由圖知當(dāng)直線與圓相切時，t取得最大值或最小值，
此時圓心到直線的距離為2，
由，解得或，
所以的取值范圍是：，故C正確；
對于D，設(shè)，
則，
化簡得，，
依題意，需使，
解得，或（因點E，F(xiàn)異于A，B，應(yīng)舍去）
所在存在滿足題意，故D正確．
故選：ACD.
11．ABD
【分析】選項A：由，從而平面判斷；選項B：由直線與所成的角即直線與所成的角，由為的中點和與（或）重合角最大和最小判斷；選項C：將沿直線翻折，使其與平面共面，連接，再在中，利用余弦定理求解判斷；選項D：過作于點，連接，則，從而平面，再由平面，得到平面平面，從而平面求解.
【詳解】選項A：如圖1，由題易知，因為平面，平面，
所以平面，
所以動點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，A正確.
選項B：直線與所成的角即直線與所成的角，
當(dāng)為的中點時，所成的角最大，為，
當(dāng)與（或）重合時，所成的角最小，為，
所以與所成角的取值范圍為，B正確.
選項C：將沿直線翻折，使其與平面共面，
記翻折后點對應(yīng)的點為，連接，如圖2，
則，在中，由余弦定理可得：
，
即的最小值為，C錯誤.
選項D：如圖3，過作于點，連接，
則，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，
所以平面平面，則平面，
又平面，平面平面，所以.
設(shè)，則，，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確.
故選；ABD
12.13;64
13．/
【分析】作出圖形，設(shè)圓臺上、下底面的圓心分別為、，則外接球球心在直線上，設(shè)，根據(jù)圓臺的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解出的值，可求出球的半徑，結(jié)合球體的體積公式可求得球的體積.
【詳解】設(shè)圓臺上、下底面的圓心分別為、，取該圓臺的軸截面，
則該圓臺的外接球球心在直線上，連接、，
設(shè)，則，
由，即，
即，解得，
因為該圓臺的外接球半徑為，
因此，所以該圓臺的外接球的體積為.
故答案為；.
14．
【分析】先根據(jù)對稱確定直線的方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過點，
設(shè)反射光線的所在直線的方程為，點，在直線方程上，
，解得，
反射光線的所在直線的方程為，即.
曲線可化為，
可得其圓心為，半徑,
根據(jù)點到直線的距離公式可得點到的距離.
因為圓上有且僅有兩個點到直線l的距離為1，
所以或.
故答案為.
15．(1)
(2)或
【分析】根據(jù)圓心在弦的中垂線上，也在直線上求解可得圓心，進(jìn)而求得半徑即可得圓的方程；
先討論直線l斜率不存在時，再設(shè)直線l的點斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.
【詳解】（1）由題意圓心在弦的中垂線上，
又中點，，
則弦的中垂線斜率，故中垂線方程：，即，
聯(lián)立可得，，即，
故圓的半徑.
故圓的方程：
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，直線l與圓不相交；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程，
因為直線l截圓C所得的弦長為2，故圓心到的距離.
則到的距離，
則，即，解得或.
故方程，即或.
16．(1)0.030
(2)79分
(3)，
【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1列式即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.
【詳解】（1）由，
解得；
（2）因為，
，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，
可得，
所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；
（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個數(shù)為，
落在的個數(shù)為，
，
總方差.
17．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)相應(yīng)事件，可知，結(jié)合獨立事件概率乘法法則運(yùn)算求解；
（2）設(shè)相應(yīng)事件，可知事件D，E為互斥事件，且，根據(jù)獨立事件以及互斥事件概率求法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，
由題意可知：，，且，
可得，
所以該局打4個球甲贏的概率為．
（2）設(shè)該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，
可知事件D，E為互斥事件，且，
則，
，
可得，
所以該局打5個球結(jié)束的概率為．
18．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取的中點，利用二面角的定義及余弦定理推理證得，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理得證.
（2）由（1）結(jié)合錐體體積公式計算得解.
（3）以為原點建立空間直線坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角正弦的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最大值即可.
【詳解】（1）設(shè)的中點分別為，連接，
由，得，由，得，
正方形中，，則二面角的平面角為，
由余弦定理，得，
，則，由，平面，
得平面，而平面，因此，又，
平面，于是平面，而平面，
所以平面平面．
（2）由（1）知，四棱錐的高為，點在線段上，且，
則點到平面的距離是點到平面距離的，
所以四棱錐的體積為．
（3）由（1）知，直線兩兩垂直，
以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，設(shè)，
，設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦的最大值為.
19.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
A
A
A
B
BC
ACD
題號
11








答案
ABD








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