1．（5分）坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（sin5，cs5），則點(diǎn)P位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（5分）在△ABC中，BD→=23BC→，E為AD的中點(diǎn)，則CE→等于（ ）
A．16AB→?23AC→B．23AB→?16AC→C．13AB→?56AC→D．56AB→?13AC→
3．（5分）已知A（2，﹣1），B（1，4），C（sin3π2，cs5π3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．AB→=（1，﹣5）B．A，O，C三點(diǎn)共線
C．A，B，C三點(diǎn)共線D．OA→+OB→=3OC→
4．（5分）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率可能是0.2
B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是4
C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是27
D．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的標(biāo)準(zhǔn)差是4
5．（5分）如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)1039海里，在A處看燈塔S在船的北偏東θ(sinθ=34)的方向上．1小時(shí)后，船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東3θ的方向上，則船航行到B處時(shí)與燈塔S之間的距離為（ ）
A．103海里B．203海里C．1013海里D．2013海里
6．（5分）若cs（α﹣β）=55，cs2α=1010，且α，β均為銳角，α＜β，則α+β＝（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
7．（5分）函數(shù)y＝3sinx+12cs2x?94（x∈R）的最小值是（ ）
A．14B．12C．?234D．?414
8．（5分）將函數(shù)y=sin2x+3cs2x的圖象向右平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到f（x）的圖象，若f（x）在(π，4π3)上單調(diào)遞增，則φ的取值范圍為（ ）
A．(π8，3π8)B．(π4，π2)C．[π4，5π12]D．[π4，π2)
二、多選題（共3小題，每題6分，全選對(duì)6分，選對(duì)但不全得部分分，選錯(cuò)0分，共18分）
（多選）9．（6分）若復(fù)數(shù)z＝2+i，則下列命題是真命題的是（ ）
A．z?z=5
B．zi2024=?2?i
C．5|?i|=|z|
D．若z是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，則mn＝﹣20
（多選）10．（6分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?3π8，π8]上是增函數(shù)
B．點(diǎn)(3π8，0)是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度得到
D．若x∈[0，π2]，則f（x）的值域?yàn)閇?1，2]
（多選）11．（6分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c＝6，點(diǎn)D滿足AD→=2DB→，且csinA=3acsC，O是△ABC外心，則下列判斷正確的是（ ）
A．C=π3
B．△ABC的外接圓半徑是23
C．OD＝2
D．CD的最大值為27
三、填空題（本小題共3題，每題5分，共15分）
12．（5分）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，﹣3），則sin(π?α)+cs(α?π)sin(π2+α)+cs(π2?α)= ．
13．（5分）在△ABC中，AB=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延長(zhǎng)BC到D，使得CD＝10，則AD的長(zhǎng)度為 ．
14．（5分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若O為△ABC的重心，OB⊥OC，3b＝4c，則csA＝ ．
四、解答題（本題共5題，共77分）
15．（13分）已知向量a→=(?1，0)，b→=(m，1)，且a→與b→的夾角為π4．
（1）求m及|a→+2b→|；
（2）若a→+λb→與a→+2b→所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bcsC＝（2a﹣c）csB．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)a＝2，c＝3．
①求b的值；
②求sin（2A+B）的值．
17．（15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值及樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；
（2）求樣本成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（3）已知落在[50，60）的平均成績(jī)是54，方差是7，落在[60，70）的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)合并后的平均數(shù)z和方差s2．
18．（17分）已知a→=(?1，23)，b→=(sin2x?cs2x，sinxcsx)，函數(shù)f(x)=a→?b→．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及對(duì)稱中心；
（2）若f(π12+α2)=?233，且5π6＜α＜π，求sinα的值．
（3）在銳角△ABC中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對(duì)的角，若b=3，f（B）＝1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
19．（17分）如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π2)圖象的一部分．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）記方程f(x)=?34在x∈[?π12，17π12]上的根從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn（n∈N*），若m＝x1+x2+x3+?+xn，試求n與m的值．
答案與試題解析
一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）
1．（5分）坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（sin5，cs5），則點(diǎn)P位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】利用角的范圍，得出三角函數(shù)值的正負(fù)，判斷出點(diǎn)所在的象限．
解：∵3π2＜5＜2π，
∴sin5＜0，cs5＞0，
平面內(nèi)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（sin5，cs5），則點(diǎn)P位于第二象限．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了象限角的概念，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）在△ABC中，BD→=23BC→，E為AD的中點(diǎn)，則CE→等于（ ）
A．16AB→?23AC→B．23AB→?16AC→C．13AB→?56AC→D．56AB→?13AC→
【分析】運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)的表示，計(jì)算可得所求向量．
解：BC→=AC→?AB→，
BD→=23BC→=23（AC→?AB→），
AD→=AB→+BD→=AB→+23(AC→?AB→)=13AB→+23AC→，
AE→=12AD→=16AB→+13AC→，
CE→=AE→?AC→=16AB→+13AC→?AC→=16AB→?23AC→．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知A（2，﹣1），B（1，4），C（sin3π2，cs5π3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．AB→=（1，﹣5）B．A，O，C三點(diǎn)共線
C．A，B，C三點(diǎn)共線D．OA→+OB→=3OC→
【分析】先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷選項(xiàng)A，D的正誤，把三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題，可判斷選項(xiàng)B，C的正誤．
解：∵sin3π2=?1，cs5π3=12，∴C（﹣1，12），
對(duì)于選項(xiàng)A：AB→=（1﹣2，4﹣（﹣1））＝（﹣1，5），故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B：OA→=（2，﹣1），OC→=（﹣1，12），則OA→=?2OC→，所以A，O，C三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C：AB→=（﹣1，5），BC→=（﹣2，?72），不存在實(shí)數(shù)k，使得AB→=kBC→，則A，B，C三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D：OA→+OB→=（3，3），OC→=（﹣1，12），所以：OA→+OB→≠3OC→，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了三點(diǎn)共線問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率可能是0.2
B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是4
C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是27
D．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的標(biāo)準(zhǔn)差是4
【分析】A由題意可得m被抽到的概率；B由平均數(shù)可得m，后由方差計(jì)算公式可得方差；C由百分位數(shù)概念可得答案；D由方差性質(zhì)可得新數(shù)據(jù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．
解：對(duì)于A，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，
則個(gè)體m被抽到的概率可能是550=0.1，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，
則1+2+m+6+75=4?m=4，
則數(shù)據(jù)方差為：15[(4?1)2+(4?2)2+(4?6)2+(4?7)2]=265，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序得：12，14，15，17，19，23，27，30．
因8×0.7＝5.6，則第70百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)據(jù)23，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因x1，x2，…，x10的方差為4，則2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差為16，
標(biāo)準(zhǔn)差為4，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)1039海里，在A處看燈塔S在船的北偏東θ(sinθ=34)的方向上．1小時(shí)后，船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東3θ的方向上，則船航行到B處時(shí)與燈塔S之間的距離為（ ）
A．103海里B．203海里C．1013海里D．2013海里
【分析】由題意可知△ABS的角和邊，再由正弦定理可得BS的值．
解：由題意可知AB＝1×1039=1039海里，∠SAB＝θ，∠SBA＝π﹣3θ，
所以∠ASB＝π﹣θ﹣（π﹣3θ）＝2θ，
所以sinθ=34，csθ=134，所以sin2θ＝2sinθcsθ=398，
在△ABS中，由正弦定理可得BSsinθ=ABsin2θ，
即BS34=1039398，解得BS＝203海里，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）若cs（α﹣β）=55，cs2α=1010，且α，β均為銳角，α＜β，則α+β＝（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【分析】利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β）
∴cs（α+β）＝cs[2α﹣（α﹣β）]＝cs2αcs（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β），
∵α，β均為銳角，α＜β，
∴0＜2α＜π，?π2＜α﹣β＜0，
則sin2α=1?10100=90100=31010，
sin（α﹣β）=?255，
則cs（α+β）=1010×55?31010×255=5250?30250=?22，
則α+β=3π4，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力，難度中等．
7．（5分）函數(shù)y＝3sinx+12cs2x?94（x∈R）的最小值是（ ）
A．14B．12C．?234D．?414
【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)，由自變量的范圍求出函數(shù)的最小值．
解：y＝3sinx+12cs2x?94=3sinx+12（1﹣2sin2x）?94=?sin2x+3sinx?74=?（sinx?32）2+12，
因?yàn)閟inx∈[﹣1，1]，所以當(dāng)sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)值最小，且ymin=?234，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）將函數(shù)y=sin2x+3cs2x的圖象向右平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到f（x）的圖象，若f（x）在(π，4π3)上單調(diào)遞增，則φ的取值范圍為（ ）
A．(π8，3π8)B．(π4，π2)C．[π4，5π12]D．[π4，π2)
【分析】根據(jù)輔助角公式和圖象的平移變換得到f(x)=2sin(2x?2φ+π3)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
解：由y=sin2x+3cs2x=2sin(2x+π3)，
將函數(shù)y=2sin(2x+π3)的圖象向右平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到f（x）的圖象，
則f(x)=2sin[2(x?φ)+π3]=2sin(2x?2φ+π3)，
由?π2+2kπ≤2x?2φ+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得kπ?5π12+φ≤x≤kπ+π12+φ，k∈Z，
又f（x）在(π，4π3)上單調(diào)遞增，
則kπ+π12+φ≥4π3kπ?5π12+φ≤π，k∈Z，
解得φ≤17π12?kπφ≥5π4?kπ，
即5π4?kπ≤φ≤17π12?kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π2，
則當(dāng)k＝1時(shí)，π4≤φ≤5π12，
即φ的取值范圍是[π4，5π12]．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二、多選題（共3小題，每題6分，全選對(duì)6分，選對(duì)但不全得部分分，選錯(cuò)0分，共18分）
（多選）9．（6分）若復(fù)數(shù)z＝2+i，則下列命題是真命題的是（ ）
A．z?z=5
B．zi2024=?2?i
C．5|?i|=|z|
D．若z是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，則mn＝﹣20
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判定A；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算可判定B；根據(jù)復(fù)數(shù)的?？膳卸–；根據(jù)方程的根及復(fù)數(shù)相等的條件可判定D．
解：對(duì)于A，復(fù)數(shù)z＝2+i，
∴z?z=（2+i）（2﹣i）＝4﹣i2＝5，故A正確；
對(duì)于B，∵i2024＝（i2）1012＝（﹣1）1012＝1，
∴zi2024=z＝2+i，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵|z|=4+1=5，|﹣i|＝1，
∴5|﹣i|＝|z|，故C正確；
對(duì)于D，若z是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，
則（2+i）2+m（2+i）+n＝0，
∴3+2m+n+（m+4）i＝0，
∴3+2m+n=0m+4=0，∴m=?4n=5，
∴mn＝﹣20，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模、方程的根及復(fù)數(shù)相等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?3π8，π8]上是增函數(shù)
B．點(diǎn)(3π8，0)是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度得到
D．若x∈[0，π2]，則f（x）的值域?yàn)閇?1，2]
【分析】根據(jù)三角函數(shù)中的恒等變換即可求解．
解：函數(shù)f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1＝sin2x+cs2x=2sin(2x+π4)，
A項(xiàng)，若x∈[?3π8，π8]，則2x+π4∈[?π2，π2]，
因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[?3π8，π8]上是增函數(shù)，因此A正確；
B項(xiàng)，因?yàn)閒(3π8)=2sin(3π4+π4)=2sinπ=0，
因此點(diǎn)(3π8，0)是函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，因此B正確；
C項(xiàng)，由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：
y=2sin[2（x+π4）]=2cs2x，
因此由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度不能得到函數(shù)f（x）的圖象，因此C不正確；
D項(xiàng)，若x∈[0，π2]，則2x+π4∈[π4，5π4]，所以sin(2x+π4)∈[?22，1]，
所以f（x）的值域?yàn)閇?1，2]，因此D不正確．
故選：AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（6分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c＝6，點(diǎn)D滿足AD→=2DB→，且csinA=3acsC，O是△ABC外心，則下列判斷正確的是（ ）
A．C=π3
B．△ABC的外接圓半徑是23
C．OD＝2
D．CD的最大值為27
【分析】根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)csinA=3acsC，可得sinC=3csC，從而求出tanC=3，結(jié)合C∈（0，π）算出角C，即可判斷A項(xiàng)的正誤；直接利用正弦定理算出△ABC的外接圓半徑大小，即可判斷出B項(xiàng)的正誤；取AB的中點(diǎn)M，連接OM，分別在Rt△AOM、Rt△DOM中利用勾股定理加以計(jì)算，可得OD的長(zhǎng)，從而判斷出C項(xiàng)的正誤；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，結(jié)合圖形求出CD的最大值，即可判斷出D項(xiàng)的正誤．
解：對(duì)于A，在△ABC中，由正弦定理asinA=csinC，可得csinA＝asinC，
結(jié)合csinA=3acsC，可得asinC=3acsC，所以sinC=3csC，
即tanC=sinCcsC=3，結(jié)合C∈（0，π），可知C=π3，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，由C=π3且c＝6，可得△ABC的外接圓半徑R滿足2R=csinC=6sinπ3=43，
解得R=23，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，如圖所示，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥AB，
在Rt△AOM中，OA＝R=23，AM=12AB=3，可得OM=OA2?AM2=(23)2?(3)2=3，
在Rt△DOM，DM＝AD﹣AM=23AB?12AB=16AB=1，可得OD=OM2+DM2=3+1=2，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，根據(jù)題意，可得CD≤CO+OD=23+2，當(dāng)且僅當(dāng)圓心O在線段CD上時(shí)，等號(hào)成立，
所以CD的最大值為23+2，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、三角恒等變換公式、三角形外接圓的性質(zhì)與勾股定理等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．
三、填空題（本小題共3題，每題5分，共15分）
12．（5分）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，﹣3），則sin(π?α)+cs(α?π)sin(π2+α)+cs(π2?α)= 5 ．
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可求tanα的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可求解．
解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，﹣3），
所以tanα=?32，
則sin(π?α)+cs(α?π)sin(π2+α)+cs(π2?α)=sinα?csαcsα+sinα=tanα?11+tanα=?32?11+(?32)=5．
故5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）在△ABC中，AB=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延長(zhǎng)BC到D，使得CD＝10，則AD的長(zhǎng)度為 14 ．
【分析】在△ABC中，由正弦定理求出AC；再在△ACD中，利用余弦定理，即可求出結(jié)果．
解：在△ABC中，由正弦定理可得，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，
因?yàn)锳B=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，所以3632=AC22，所以AC＝6，
在△ACD中，CD＝10，AC＝6，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，
由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2?2AC×CD×cs120°=36+100?2×6×10×(?12)=196，
所以AD＝14．
故14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若O為△ABC的重心，OB⊥OC，3b＝4c，則csA＝ 56 ．
【分析】根據(jù)∠ADB+∠ADC＝π及余弦定理建立方程得出b2+c2＝5a2，再由余弦定理求解，即可得出答案．
解：連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于D，如圖所示：
∵O為△ABC的重心，
∴D為BC的中點(diǎn)，
又OB⊥OC，
則OD=BD=CD=12a，AD=32a，
∵∠ADB+∠ADC＝π，
∴由余弦定理得cs∠ADB+cs∠ADC=94a2+14a2?c22×32a×12a+94a2+14a2?b22×32a×12a=0，即b2+c2＝5a2，
又3b＝4c，則bc=43，
故csA=b2+c2?a22bc=b2+c2?15b2?15c22bc=25(bc+cb)=25×(43+34)=56．
故56．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
四、解答題（本題共5題，共77分）
15．（13分）已知向量a→=(?1，0)，b→=(m，1)，且a→與b→的夾角為π4．
（1）求m及|a→+2b→|；
（2）若a→+λb→與a→+2b→所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)a→與b→的夾角列方程，由此求得m，進(jìn)而求得|a→+2b→|．
（2）根據(jù)a→+λb→與a→+2b→所成的角是銳角列不等式，由此求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解：（1）因?yàn)閍→=(?1，0)，b→=(m，1)，且a→與b→的夾角為π4，
所以cs＜a→，b→＞=csπ4=?m1×m2+1=22，?2m=m2+1，解得m＝﹣1，
則a→=(?1，0)，b→=(?1，1)，a→+2b→=(?1，0)+(?2，2)=(?3，2)，
所以|a→+2b→|=9+4=13；
（2）因?yàn)閍→=(?1，0)，b→=(?1，1)，
所以a→+2b→=(?3，2)，a→+λb→=(?1，0)+λ(?1，1)=(?1，0)+(?λ，λ)=(?1?λ，λ)，
由于a→+λb→與a→+2b→所成的角是銳角，
所以?3×(?1?λ)+2λ＞0?3×λ≠2×(?1?λ)，λ＞?35λ≠2，
解得λ＞?35且λ≠2，
所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(?35，2)∪(2，+∞)．
【點(diǎn)評(píng)】本題平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于中檔題．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bcsC＝（2a﹣c）csB．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)a＝2，c＝3．
①求b的值；
②求sin（2A+B）的值．
【分析】（1）根據(jù)bcsC＝（2a﹣c）csB，利用正弦定理化簡(jiǎn)得sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsB，由此求得csB，結(jié)合B∈（0，π），算出角B的值．
（2）①利用余弦定理列式求得邊b的值；
②根據(jù)正弦定理求出sinA的值，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出csA，根據(jù)二倍角公式算出sin2A、cs2A，進(jìn)而根據(jù)兩角和的正弦公式算出答案．
解：（1）∵bcsC＝（2a﹣c）csB，即bcsC+ccsB＝2acsB，
∴由正弦定理，可得sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsB，即sin（B+C）＝2sinAcsB，
∵sinA＝sin（π﹣A）＝sin（B+C），
∴sinA＝2sinAcsB，結(jié)合sinA＞0，化簡(jiǎn)得csB=12，
又∵B∈（0，π），∴B=π3．
（2）①∵a＝2，c＝3，∴b2＝a2+c2﹣2accsB＝7，可得b=7（舍負(fù)）；
②根據(jù)正弦定理bsinB=asinA，得sinA=asinBb=2sinπ37=217，
根據(jù)a＜c，可知A為銳角，csA=1?sin2A=277（舍負(fù)），
可得sin2A＝2sinAcsA＝2×217×277=437，cs2A＝2cs2A﹣1=17，
∴sin（2A+B）＝sin2AcsB+cs2AsinB=437×12+17×32=5314．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理與余弦定理、三角函數(shù)恒等變換及其應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
17．（15分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值及樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；
（2）求樣本成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；
（3）已知落在[50，60）的平均成績(jī)是54，方差是7，落在[60，70）的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)合并后的平均數(shù)z和方差s2．
【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求得a＝0.030，結(jié)合百分?jǐn)?shù)定義求第75百分位數(shù)；
（2）根據(jù)直方圖，及眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)求法求值；
（3）根據(jù)已知求樣本總均值，再由總方差公式求樣本總方差．
解：（1）根據(jù)題意可得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1＝1，解得a＝0.030；
∵前幾組的頻率依次為0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，
∴第75百分位數(shù)m∈（80，90），由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，解得m＝84，
所以第75百分位數(shù)為84；
（2）由70+802=75，得樣本成績(jī)的眾數(shù)為75，
成績(jī)落在[40，70）內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2＝0.35，
成績(jī)落在[40，80）內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，
故中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，由70+0.5??0.35×10=75，得樣本成績(jī)的中位數(shù)為75，
由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74．
得樣本成績(jī)的平均數(shù)為74；
（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)赱50，60）的市民人數(shù)為100×0.1＝10，成績(jī)?cè)赱60，70）的市民人數(shù)為100×0.2＝20，
所以z=54×10+66×2030=62，
總方差為s2=110+20{10×[7+(54?62)2]+20×[4+(66?62)2]}=37．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題．
18．（17分）已知a→=(?1，23)，b→=(sin2x?cs2x，sinxcsx)，函數(shù)f(x)=a→?b→．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及對(duì)稱中心；
（2）若f(π12+α2)=?233，且5π6＜α＜π，求sinα的值．
（3）在銳角△ABC中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對(duì)的角，若b=3，f（B）＝1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）由f(π12+α2)=?233得出sin(α+π3)=?33，再根據(jù)兩角差的正弦公式計(jì)算即可；
（3）由f（B）＝1得出B=π3，根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及輔助角公式，將a+c轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，根據(jù)△ABC為銳角三角形得出A的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出a+c范圍即可求解．
解：（1）由a→=(?1，23)，b→=(sin2x?cs2x，sinxcsx)，
可得f(x)=a→?b→=(cs2x?sin2x)+23sinxcsx=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=kπ，則x=?π12+kπ2，k∈Z，
故函數(shù)的對(duì)稱中心為(?π12+kπ2，0)，k∈Z；
（2）由f(π12+α2)=?233可得，2sin[2(π12+α2)+π6]=?233，
化簡(jiǎn)得sin(α+π3)=?33，
因?yàn)?π6＜α＜π，所以7π6＜α+π3＜4π3，
所以cs(α+π3)=?63，
則sinα=sin[(α+π3)?π3]=sin(α+π3)csπ3?cs(α+π3)sinπ3=?33×12+63×32=32?36；
（3）由f（B）＝1可得2sin(2B+π6)=1，即sin(2B+π6)=12，
又0＜B＜π，所以B=π3，
由正弦定理有bsinB=csinC=asinA=332=2，
所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3?A)=2sinA+2(32csA+12sinA)
=3sinA+3csA=23sin(A+π6)，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0＜A＜π20＜C＜π2，解得A∈(π6，π2)，
所以A+π6∈(π3，2π3)，則23sin(A+π6)∈(3，23]，
所以3＜a+c≤23，則3+3＜a+b+c≤33，
所以△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為(3+3，33]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，屬中檔題．
19．（17分）如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π2)圖象的一部分．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）記方程f(x)=?34在x∈[?π12，17π12]上的根從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn（n∈N*），若m＝x1+x2+x3+?+xn，試求n與m的值．
【分析】（1）根據(jù)圖像得出A，T，ω，再根據(jù)φ的取值范圍求出φ即可確定解析式．
（2）根據(jù)第一問(wèn)所求函數(shù)解析式求出單調(diào)增區(qū)間以及單調(diào)減區(qū)間即可．
（3）將f（x）=?34代入解析式并結(jié)合圖象判斷出在[0，6π]有6個(gè)解，再根據(jù)已知分別求解即可．
解：（1）由圖可得A=f(x)max=3，
函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=4×(π6?π24)=π2，
則ω=2πT=2ππ2=4，
所以f(x)=3sin(4x+φ)，
因?yàn)閒(π24)=3sin(π6+φ)=3，則sin(π6+φ)=1，
因?yàn)?＜|φ|＜π2，所以φ+π6=π2，解得φ=π3，
所以f(x)=3sin(4x+π3)．
（2）令2kπ?π2≤4x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ2?5π24≤x≤kπ2+π24，k∈Z，
令2kπ+π2≤4x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ2+π24≤x≤kπ2+7π24，k∈Z．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ2?5π24，kπ2+π24]，k∈Z，單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ2+π24，kπ2+7π24]，k∈Z．
（3）方程f(x)=?34，即3sin(4x+π3)=?34，即sin(4x+π3)=?34，
因?yàn)閤∈[?π12，17π12]，所以4x+π3∈[0，6π]，
設(shè)θ=4x+π3，其中θ∈[0，6π]，即sinθ=?34，
結(jié)合正弦函數(shù)y＝sinθ的圖象，可得方程sinθ=?34在區(qū)間[0，6π]有6個(gè)解，即n＝6，
其中θ1+θ2＝3π，θ3+θ4＝7π，θ5+θ6＝11π，
即4x1+π3+4x2+π3=3π，4x3+π3+4x4+π3=7π，4x5+π3+4x6+π3=11π，
解得x1+x2=7π12，x3+x4=19π12，x5+x6，=3112π．
所以m=x1+x2+x3+?+x6=19π4，
所以m=19π4，n＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用以及根據(jù)三角函數(shù)圖象確定解析式，屬于中檔題．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
B
C
C
C

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